考点19 等比数列（讲解）（解析版）练习题

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考点19 等比数列【思维导图】           【常见考法】考法一：定义的运用1.已知数列，，，.求证：是等比数列；【解析】依题意，，所以，是首项为2、公比为2的等比数列. 2．已知数列的前项和为，且，.求证：为等比数列，并求的通项公式；【答案】（1）【解析】由得：，两式相减得：，即，∴，由，令得，而，故，所以为首项是2，公比是2的等比数列，故，.3．已知数列中，其前项和满足．求证：数列为等比数列，并求的通项公式；【答案】证明详见解析，；【解析】当时，，可得；当时，，即有，则数列为首项为2，公比为2的等比数列，可得， 考法二：中项性质1．已知实数依次成等比数列，则实数的值为        。【答案】-3【解析】因为实数依次成等比数列，所以有当时，，显然不存在这样的实数，故，因此本题选C.2．已知数列是等比数列，函数的两个零点是，则         。【答案】【解析】由韦达定理可知，，则，，从而，且，3．在等比数列中，，是方程的两根，则       。【答案】【解析】在等比数列中，由题意知：，，所以，，所以，即.4．在正项等比数列中，，则_______.【答案】【解析】由正项等比数列的的性质以及等比中项公式可得:,则:.故答案为:-2019.5．己知数列为正项等比数列，且，则        。【答案】2【解析】∵数列为等比数列，且∴，即，又，∴．6．实数数列为等比数列，则 。【答案】2【解析】由题意，，又与同号，∴．7．在等比数列中，，是方程的两个根，则的值为     。【答案】或【解析】等比数列中，，是方程的两个根8．已知，若2是与等比中项，则的最小值为     。【答案】【解析】∵2是与的等比中项，∴，∴，即，结合可得，，∴，当且仅当，即，时取等号，即的最小值为，9．已知四个实数成等差数列，五个实数成等比数列，则       。【答案】-8【解析】先由等差数列和等比数列的性质，得，；再利用等比数列中的第三项和第一项同号，得；所以.故选B.10．在中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列且，则    。【答案】【解析】由a，b，c成等比数列，可得，则，又，利用正弦定理可得，，则，故，所以，所以.11．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c成等比数列，则的取值范围是    。【答案】【解析】可得：即由，所以因为a、b、c成等比数列，所以即，令又，则化简可得：即，所以考法三：前n项和的性质1.已知等比数列的前n项和为，且，，则       。【答案】19【解析】因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，，故.2．已知等比数列的前项和为，，，则     。【答案】4【解析】因为成等比数列，所以代入数值所以，则.3．设等比数列的前项和记为,若,则     。【答案】【解析】∵数列为等比数列，且其前项和记为，∴成等比数列．∵，即，∴等比数列的公比为，∴，∴，∴．4．若等比数列的前项和为，已知，，则     。【答案】7【解析】依题意，显然数列的公比，所以，，也成等比数列，且公比为，所以，所以，所以，5．各项均为正数的等比数列的前项和，若，，则的最小值为。【答案】8【解析】因为，且等比数列各项均为正数，所以 公比首项 所以 ，通项 所以 当且仅当所以当时，的最小值为86．设正项等比数列的首项，前项和为，且，则公比的值为         。【答案】【解析】化简得因为为等比数列，为其前项和，所以所以7．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为         。【答案】10【解析】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶，则S奇=341,S偶=682,所以 ，∴ ，解得n=5，这个等比数列的项数为10，8．已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为   。【答案】20【解析】因为是等比数列，所以，且也是等比数列，所以 整理有 （当且仅当时取等号）所以的最小值为  考点四：实际运用 1．我国古代学者庄子在《庄子·天下篇》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，指一尺长的木棒，今天取其一半，明天取剩下的一半，后天再取剩下的一半，永远也取不尽.现有尺长的线段，每天取走它的，天后剩下的线段长度不超过尺，则的最小值为        。【答案】10【解析】由题意可知：第一天取走，剩下尺，第二天剩下尺，第三天剩下尺， 第九天剩下尺，第十天剩下尺， 2．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第三天走的路程里数为     。【答案】48【解析】由题意可知此人行走的里程数为等比数列设第一天行走的路程为,且等比数列的公比为则由等比数列的前n项和公式代入可得解得 根据等比数列的通项公式代入可得3．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分为十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率，则第八个单音频率为        。【答案】【解析】设从第一单音起，每个单音的频率记为，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，第一个单音的频率，所以是以为首项，公比为的等比数列，.4．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还          升粟。【答案】【解析】因为斗=升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为，由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且则，解得，所以马主人要偿还的量为：，5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要走189里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第二天走了        。【答案】48里【解析】记第天行走的路程为，则数列为等比数列，公比，依题意知，前项的和，即，所以，解得，所以，所以第二天行走了48里.6．某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了五个伙伴，第二天六只蜜蜂飞出去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是  。【答案】只【解析】设第天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂只，由题意可得：，即，所以数列为等比数列即所以第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是