考点6.2　等差数列（解析版）练习题

6.2　等差数列

【基础集训】

考点一　等差数列的有关概念及运算

1.已知等差数列{an}中,a2=1,前5项和S5=-15,则数列{an}的公差为(　　)

A.-3　　　B.-　　　C.-2　　　D.-4

【答案】　D

2.已知在等差数列{an}中,a1=1,a3=2a+1,a5=3a+2,若Sn=a1+a2+…+an,且Sk=66,则k的值为　(　　)

A.9　　　B.11　　　C.10　　　D.12

【答案】　B

3.设等差数列{an}满足3a8=5a15,且a1>0,Sn为其前n项和,则数列{Sn}的最大项为(　　)

A.S23　　　B.S24　　　C.S25　　　D.S26

【答案】　C

4.已知数列{an}满足a1=,且an+1=.

(1)求证:数列是等差数列;

(2)若bn=anan+1,求数列{bn}的前n项和Sn.

【解析】　(1)证明:易知an≠0,∵an+1=,

∴=,∴-=,

又∵a1=,∴=2,

∴数列是以2为首项,为公差的等差数列.

(2)由(1)知,=2+(n-1)=,即an=,

∴bn==4,

∴Sn=4

=4=.

考点二　等差数列的性质

5.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=(　　)

A.1　　　B.-1　　　C.2　　　D.

【答案】　A

6.设{an}是任意等差数列,它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是(　　)

A.2X+Z=3Y　　　　　B.4X+Z=4Y

C.2X+3Z=7Y　　　　　D.8X+Z=6Y

【答案】　D

7.已知数列{an}是公差为d的等差数列,Sn为其前n项和,若- =100,则d的值为(　　)

A.　　　B.　　　C.10　　　D.20

【答案】　B

8.在等差数列{an}中,a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8=　　　　. 

【答案】　74

9.已知An及Bn是等差数列{an}、{bn}的前n项和,且=,则=　　　　. 

【答案】　

10.已知数列{an}是等差数列.

(1)前四项和为21,末四项和为67,且各项和为286,求项数;

(2)项数为奇数,奇数项和为44,偶数项和为33.求数列的中间项和项数.

【解析】　(1)由已知得a1+a2+a3+a4=21,an-3+an-2+an-1+an=67,∴a1+a2+a3+a4+an-3+an-2+an-1+an=88,∴a1+an==22.

∵Sn=286,∴=286,∴11n=286,∴n=26.

(2)解法一:设项数为2k+1,则a1+a3+…+a2k+1=44=(a1+a2k+1),a2+a4+…+a2k=33=(a2+a2k),

又∵a1+a2k+1=a2+a2k,∴=,∴k=3,项数为7,

∴中间项为=11.

解法二:记等差数列{an}的中间项为a中,奇数项和为S奇,偶数项和为S偶,前n项和为Sn.

根据题意得∴Sn=77,a中=11,

又na中=Sn,∴n=7.

【综合集训】

考法一　等差数列的判定与证明

1.设数列{an}满足a1=1,a2=2,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n≥2且n∈N*),则a18=(　　)

A.　　　B.　　　C.3　　　D.

【答案】　B

2.已知{an},{bn}均为等差数列,且a2=4,a4=6,b3=3,b7=9,由{an},{bn}的公共项组成新数列{cn},则c10=(　　)

A.18　　　B.24　　　C.30　　　D.36

【答案】　C

3.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n-1.数列{bn}满足b1=2,bn+1-2bn=8an.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)证明数列为等差数列,并求{bn}的通项公式.

【解析】　(1)当n=1时,a1=S1=21-1=1;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1.

因为a1=1适合上式,所以an=2n-1(n∈N*).

(2)因为bn+1-2bn=8an,所以bn+1-2bn=2n+2,即-=2.又=1,所以是首项为1,公差为2的等差数列,所以=1+2(n-1)=2n-1.所以bn=(2n-1)×2n.

考法二　等差数列前n项和的最值问题

4.在等差数列{an}中,已知a3+a8>0,且S9<0,则S1、S2、…、S9中最小的是(　　)

A.S5　　　B.S6　　　C.S7　　　D.S8

【答案】　A

5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=9,-=-4,则Sn取最大值时的n为(　　)

A.4　　　B.5　　　C.6　　　D.4或5

【答案】　B

6.已知数列{an}是等差数列,前n项和为Sn,满足a1+5a3=S8,给出下列结论:

①a10=0;②S10最小;③S7=S12;④S20=0.

其中一定正确的结论是(　　)

A.①②　　　B.①③④　　　C.①③　　　D.①②④

【答案】　C

7.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n=　　　　. 

【答案】　6

考点一　等差数列的有关概念及运算

1.(2016课标Ⅰ,3,5分)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=(　　)

A.100　　　B.99　　　C.98　　　D.97

【答案】　C

2.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=(　　)

A.-12　　　B.-10　　　C.10　　　D.12

【答案】　B

3.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为(　　)

A.1　　　B.2　　　C.4　　　D.8

【答案】　C

4.等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为(　　)

A.-24　　　B.-3　　　C.3　　　D.8

【答案】　A

5.记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则(　　)

A.an=2n-5　　　　　B.an=3n-10

C.Sn=2n2-8n　　　　　D.Sn=n2-2n

【答案】　A

6.记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1≠0,a2=3a1,则=　　　　. 

【答案】　4

7.设{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为　　　　　　. 

【答案】　an=6n-3

8.已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是　　　　. 

【答案】　16

9.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5=　　　　,Sn的最小值为　　　　. 

【答案】　0;-10

10.记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求Sn,并求Sn的最小值.

【解析】　(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.

由a1=-7得d=2.

所以{an}的通项公式为an=2n-9.

(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.

所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.

11.已知{an}是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n∈N*,bn是an和an+1的等比中项.

(1)设cn=-,n∈N*,求证:数列{cn}是等差数列;

(2)设a1=d,Tn=(-1)k,n∈N*,求证:<.

【证明】　(1)由题意得=anan+1,有cn=-=an+1·an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,

所以{cn}是等差数列.

(2)Tn=(-+)+(-+)+…+(-+)

=2d(a2+a4+…+a2n)

=2d·=2d2n(n+1).

所以===·<.

考点二　等差数列的性质

12.在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=　　　　. 

【答案】　10

巩固训练

考点一　等差数列的有关概念及运算

1.如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*.(P≠Q表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则(　　)

A.{Sn}是等差数列　　　　　B.{}是等差数列

C.{dn}是等差数列　　　　　D.{}是等差数列

【答案】　A

2.已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn.若a3,a4,a8成等比数列,则(　　)

A.a1d>0,dS4>0　　　　　B.a1d<0,dS4<0

C.a1d>0,dS4<0　　　　　D.a1d<0,dS4>0

【答案】　B

3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=(　　)

A.3　　　B.4　　　C.5　　　D.6

【答案】　C

4.已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+=-3,S5=10,则a9的值是　　　　. 

【答案】　20

5.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数,

(1)证明:an+2-an=λ;

(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.

【解析】　(1)证明:由题设anan+1=λSn-1,知an+1an+2=λSn+1-1.两式相减得,an+1(an+2-an)=λan+1.

由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.

(2)存在.由a1=1,a1a2=λa1-1,可得a2=λ-1,由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.

故an+2-an=4,由此可得,{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=1+(n-1)·4=4n-3;

{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=3+(n-1)·4=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.

因此存在λ=4,使得{an}为等差数列.

思路分析　(1)已知anan+1=λSn-1,用n+1代替n得an+1·an+2=λSn+1-1,两式相减得结论.

(2)利用a1=1,a2=λ-1,a3=λ+1及2a2=a1+a3,得λ=4.进而得an+2-an=4.故数列{an}的奇数项和偶数项分别组成公差为4的等差数列,分别求通项公式,进而求出{an}的通项公式,从而证出等差数列.

方法总结　对于含an、Sn的等式的处理,往往可转换为关于an的递推式或关于Sn的递推式;对于存在性问题,可先探求参数的值再证明.

考点二　等差数列的性质

6.中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为　　　　. 

【答案】　5

7.等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为　　　　. 

【答案】　-49

模拟预测

一、单项选择题(每题5分,共40分)

1.已知{an}为等差数列,若a3+a4+a8=12,则S9=(　　)

A.24　　　B.27　　　C.36　　　D.54

【答案】　C

2.已知等差数列{an}中,a2、a2 016是方程x2-2x-2=0的两根,则S2 017=(　　)

A.-2 017　　　B.-1 008　　　C.1 008　　　D.2 017

【答案】　D

3.设{an}是等差数列,则下列结论一定正确的是(　　)

A.若a1+a2>0,则a2+a3>0

B.若a1+a3<0,则a2+a3<0

C.若0<a1<a2,则a2>

D.(a2-a1)(a2-a3)<0

【答案】　C

4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S2=3,S3=6,则S2n+1=(　　)

A.(2n+1)(n+1)　　　　　B.(2n+1)(n-1)

C.(2n-1)(n+1)　　　　　D.(2n+1)(n+2)

【答案】　A

5.中国古诗词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是(　　)

A.174斤　　　B.184斤　　　C.191斤　　　D.201斤

【答案】　B

6.等差数列{an}的前n项和为Sn,若公差d>0,(S8-S5)(S9-S5)<0,则(　　)

A.a7=0　　　　　B.|a7|=|a8|           C.|a7|>|a8|　　　　　D.|a7|<|a8|

【答案】　D

7.已知等差数列{an}的各项都为整数,且a1=-5,a3a4=-1,则|a1|+|a2|+…+|a10|=(　　)

A.70　　　B.58　　　C.51　　　D.40

【答案】　B

8.Sn是等差数列{an}的前n项和,S2 018<S2 016,S2 017<S2 018,则Sn<0时n的最大值是(　　)

A.2 017　　　B.2 018　　　C.4 033　　　D.4 034

【答案】　D

二、多项选择题(每题5分,共10分)

9.设等差数列{an}满足a3+a7=36,a4a6=275,则(　　)

A.an=7n-17　　　　　B.an=-7n+53

C.anan+1的最小值为-12　　　　　D.anan+1无最小值

【答案】　ABC

10.记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S2=2,S3=-6,则(　　)

A.an=(-2)n

B.Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列

C.an=-2n

D.Sn+1,Sn,Sn+2不成等差数列

【答案】　AB

三、填空题(每题5分,共15分)

11.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=3,S4=16,则数列{an}的公差d=　　　　. 

【答案】　2

12.已知有穷数列{an}共有m项,记数列{an}的所有项的和为S(1),第二项及以后所有项的和为S(2),……,第n(1≤n≤m)项及以后所有项的和为S(n),若S(n)是首项为1,公差为2的等差数列的前n项和,则当1≤n<m时,an=　　　　. 

【答案】　-2n-1

13.已知正项数列{an}的前n项和为Sn,若{an}和{}都是等差数列,且公差相等,则a2=　　　　. 

【答案】　

四、解答题(共25分)

14.已知数列{an}的首项a1=1,2anan+1=an-an+1(n∈N*).

(1)证明:数列是等差数列;

(2)设bn=anan+1,数列{bn}的前n项和为Sn,求证:Sn<.

【证明】　(1)由于a1=1,2anan+1=an-an+1,显然anan+1≠0,

所以两边同除以anan+1可得,-=2,

所以数列是1为首项,2为公差的等差数列.

(2)由(1)知,=1+(n-1)×2=2n-1,所以an=.

所以bn=anan+1==,

所以Sn==<.

15.若数列{an}的前n项和为Sn,首项a1>0且2Sn=+an(n∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若an>0(n∈N*),令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.

【解析】　(1)当n=1时,2S1=+a1=2a1,又a1>0,则a1=1,

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-,

即(an+an-1)(an-an-1-1)=0⇒an=-an-1或an=an-1+1,∴an=(-1)n-1或an=n.

(2)∵an>0,∴an=n,∴bn==,

∴Tn==1+--=-.