第二章 整式的加减（选拔卷）-【单元测试】2021-2022学年七年级数学上册尖子生选拔卷（人教版）

第二章 整式的加减（人教版）

选拔卷

（考试时间：90分钟  试卷满分：120分）

一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2021·浙江七年级期末）若是一个五次多项式，是一个四次多项式，则一定是（    ）

A．次数不超过五次的多项式 B．五次多项式或单项式

C．九次多项式 D．次数不低于五次的多项式

【答案】B

【分析】利用整式的加减法则判断即可．

【详解】解：若A是一个五次多项式，B是一个四次多项式，

则A-B一定是五次多项式或单项式．故选：B．

【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

2．（2021·安徽合肥市·七年级期中）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如就是完全对称式，下列四个代数式：①；②；③；④其中是完全对称式的有（    ）

A．①②③ B．①②④ C．②④ D．②③④

【答案】D

【分析】若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，加法、乘法具有交换律，据此逐项判断即可．

【详解】①把b、c两个字母交换，不一定等于，减法没有交换律，故①不是完全对称式；③把a、b两个字母交换，变为：，不一致，故③不是完全对称式； 在②；④三个代数式中，若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，故②④都是完全对称式，故选：C．

【点睛】本题考查代数式、完全对称式的含义及应用，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

3．（2021·苏州市初一期中）如果一个多项式的各项的次数都相同，那么这个多项式叫做齐次多项式．如：x3+3xy2+4xz2+2y3 是 3 次齐次多项式，若 ax+3b2﹣6ab3c2 是齐次多项式，则 x 的值为（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据齐次多项式的定义一个多项式的各项的次数都相同,得出关于m的方程,解方程即可求出x的值.

【解析】由题意,得,解得.所以C选项是正确的.

【点睛】本题考查了学生的阅读能力与知识的迁移能力.正确理解齐次多项式与单项式的次数的定义是解题的关键.

4．（2021·浙江七年级期末）有四个有理数1,2,3，，把它们平均分成两组，假设1,3分为一组，2，分为另一组，规定：，已知，数轴上原点右侧从左到右有两个有理数，再取这两个数的相反数，那么，所有的和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，分情况讨论，再将所有A相加即可．

【详解】解：依题意，m，n（n＞m＞0）的相反数为0＞-m＞-n，则有如下情况：

m，n为一组，-m，-n为一组，有A=|m+n|+|（-m）+（-n）|=2m+2n，

m，-m为一组，n，-n为一组，有A=|m+（-m）|+|n+（-n）|=0，

m，-n为一组，n，-m为一组，有A=|m+（-n）|+|n+（-m）|=n-m+n-m=2n-2m，

所以，所有A的和为2m+2n+0+2n-2m=4n，故选：B．

【点睛】此题考查了绝对值的意义和整式的加减，运用分类讨论的思想，每一个情况都要考虑周到，同时要特别要注意绝对值的运算．

5．（2021·河南七年级期末）如图，直线上的四个点，，，分别代表四个小区，其中小区和小区相距，小区和小区相距，小区和小区相距，某公司的员工在小区有人，小区有人．小区有人，小区有人，现公司计划在，，，四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（    ）

A．小区 B．小区 C．小区 D．小区

【答案】B

【分析】分别列出停靠点设在不同小区时，所有员工步行路程总和的代数式，选出其中最小的那个．

【详解】解：若停靠点设在A小区，

则所有员工步行路程总和是：（米），

若停靠点设在B小区，则所有员工步行路程总和是：

（米），

若停靠点设在C小区，则所有员工步行路程总和是：

（米），

若停靠点设在D小区，则所有员工步行路程总和是：

（米），

其中是最小的，故停靠点应该设在B小区．故选：B．

【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是根据题意列出路程和的代数式，然后比较大小．

6．（2021.西安交大附中七年级期末）如图，观察表1，寻找规律，表1、表2、表3分别是从表1中截取的一部分，其中m为整数且，则 （    ）

表1

表2

表3

表4

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】只要找出截取表一的那部分，并找出其规律即可解．

【详解】解：表1中的规律可知：第x行第y列的数字为xy，（x，y为正整数），

表2截取的是其中的一列：上下两个数字的差相等，所以a=15+3=18；

表3截取的是两行一列的两个数字：在第m行，第m列，

则上一行的数b在第（m-1）行第m列，∴b=m（m-1）=m2-m；

表4中截取的是两行三列中的6个数字：18是3的6倍，则c应是4的7倍，即c=28．

∴a+b+c=18+m2-m+28=m2-m+46，故选C．

【点睛】本题考查了数字的变化，认真观察表格，熟知各个数字之间的关系：第一列是1，2，3，…；第二列是对应第一列的2倍；第三列是对应第一列的3倍．

7．（2020·江苏省初三二模）当时，代数式的值为2021，则当时，代数式的值为（    ）

A．2020 B．-2020 C．2019 D．-2019

【答案】D

【分析】先将x=1代入代数式中，得到p、q的关系式，再将x=-1代入即可解答．

【解析】将x=1代入代数式中，得：，

将x=-1代入代数式中，得：

=，故答案为：D．

【点睛】本题考查的是代数式求值，会将所得关系式适当变形是解答的关键．

8．（2021·重庆九年级一模）把黑色小圆圈按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有3个黑色小圆圈，第②个图案有8个黑色小圆圈，第③个图案有15个黑色小圆圈，…，按照规律排下去，则第⑥个图案中黑色小圆圈的个数是（    ）

A．35 B．48 C．63 D．67

【答案】B

【分析】由题意易得第①个图案中有个黑色小圆圈，第②个图案中有个黑色小圆圈，第③个图案中有个黑色小圆圈，…….；由此规律可得第n个图案中黑色小圆圈的个数为，进而问题可求解．

【详解】解：由题意得：第①个图案中有个黑色小圆圈，第②个图案中有个黑色小圆圈，第③个图案中有个黑色小圆圈，…….；

∴第n个图案中黑色小圆圈的个数为，

∴第⑥个图案中黑色小圆圈的个数是；故选B．

【点睛】本题主要考查图形规律，解题的关键是根据题中所给图形得到一般规律，进而求解即可．

9．（2021·浙江七年级期末）如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为5小块，除D、E外，其余3块都是正方形，若阴影E的周长为8，下列说法中正确的是（　　）

①x的值为4；②若阴影D的周长为6，则正方形A的面积为1；③若大长方形的面积为24，则三个正方形周长的和为24．

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③

【答案】B

【分析】设正方形A的边长为a， 正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，表示出阴影E的长和宽，阴影D的长和宽，然后结合图形逐项分析即可．

【详解】设正方形A的边长为a， 正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，则x=a+b,y=b+c，阴影E的长为c，宽为a+b-c，阴影D的长为a，宽为b-a，

①∵阴影E的周长为8，∴2(c+a+b-c)=8，∴a+b=4，即x=4，故①正确；

②∵阴影D的周长为6，∴2(a+b-a)=6，∴b=3，

∵a+b=4，∴a=1，∴正方形A的面积为1，故②正确；

③∵大长方形的面积为24，∴xy=24，∵x=4，∴y=6，∴b+c=6，

假设三个正方形周长的和为24，则4a+4b+4c=24，∴a+b+c=6，

∴a=0，不合题意，故③错误；故选B．

【点睛】本题考查了整式加减的应用，用a，b，c表示出x，y是解答本题的关键．

10．（2021·山东九年级三模）如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：，，，，，，，……，则的值为（　　）

A．1275 B．1326 C．1378 D．1431

【答案】B

【分析】由题将已知数列分为两个新数列，找出两个新数列的变化规律即可计算．

【详解】∵，，，，

∴是新数列第50项，

∵，，，，∴是新数列第50项，，

∴，故选．

【点睛】本题考查根据图形数字变化找规律；能将已知数列分成两个新数列寻找规律是解题的关键．

二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。

11．（2021·射洪县射洪中学外国语实验学校七年级月考）已知：，，则的值为______．

【答案】-5

【分析】原式去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值．

【详解】解：∵a-b=3，c+d=2，

∴原式=2b-2a+c+d-1=-2（a-b）+（c+d）-1=-6+2-1=-5．故答案为：-5．

【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

12．（2021·广西贺州市·七年级期末）现规定，则______．

【答案】-11

【分析】直接根据题意中所表示的计算方法进行计算即可；

【详解】∵

∴ 原式=

故答案为：-11．

【点睛】本题考查了整式的加减，正确理解题意并掌握整式的加减是解题的关键．

13．（2021·湖北七年级期末）历史上数学家欧拉最先把关于的多项式用记号来表示，把等于某数时的多项式的值用来表示．例如，对于多项式，当时，多项式的值为，若，则的值为__________．

【答案】4

【分析】由得到，整体代入求出结果．

【详解】解：∵，∴，即，

∴．故答案是：4．

【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入求值的思想．

14．（2021·清远市清新区凤霞中学九年级一模）已知两个单项式与的和为0，则的值是__________．

【答案】3

【分析】两个单项式3xym与-3xny2的和为0则两个单项式是同类项，根据同类项的定义可得答案．

【详解】解：∵两个单项式3xym与-3xny2的和为0，

∴两个单项式是同类项，即m=2，n=1，∴m+n=3．故答案为：3．

【点睛】本题考查同类项的定义，掌握同类项的定义是解题关键．

15．（2021·江苏七年级期末）如图，已知图①是一块边长为1，周长记为C1的等边三角形卡纸，把图①的卡纸剪去一个边长为的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为的等边三角形后得到图③，依次剪去一个边长为、、…的等边三角形后，得到图④、⑤、⑥、…，记图n（n≥3）中的卡纸的周长为Cn，则Cn﹣Cn﹣1＝_____．

【答案】

【分析】利用等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长C1，C2，C3，C4，根据周长相减的结果能找到规律即可求出答案．

【详解】解：∵C1＝1+1+1＝3，C2＝1+1+＝，C3＝1+1+×3＝，C4＝1+1+×2+×3＝，…

∴C3﹣C2= ，C3﹣C2＝﹣＝＝（）2；C4﹣C3＝﹣＝＝（）3，…

则C n﹣Cn﹣1＝（）n﹣1＝．故答案为：．

【点睛】此题考查图形的变化规律，通过观察图形，分析、归纳发现其中的运算规律，并应用规律解决问题．

16．（2021·河北保定市·七年级期末）定义：若，则称a与b是关于整数n的“平衡数”比如3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．请回答下列问题：

（1）与是关于________的“平衡数”．

（2）现有与（k为常数），且a与b始终是整数n的“平衡数”，与x取值无关，则________．

【答案】－5    12   

【分析】（1）利用“平衡数”的定义进行计算即可．

（2）利用“平衡数”的定义先求出，再根据a与b始终是整数n的“平衡数”，与x取值无关得出关于k的方程，求解后即可得出n的值．

【详解】解：（1）＋（）＝－5，∴与是关于－5的“平衡数”．故答案为：－5．

（2）∵与（k为常数）始终是数n的“平衡数”，

∴即，解得，∴．故答案为：12 ．

【点睛】此题考查了整式的加减，弄清题中的新定义是解答此题的关键．

17．（2021·江苏七年级期末）在无限大的正方形网格中按规律涂成的阴影如图所示，第1、2、3个图中阴影部分小正方形的个数分别为5个、9个、15个，根据此规律，则第20个图中阴影部分小正方形的个数是_____．

【答案】423

【分析】根据每一个图形都是第几个图形的平方，再加上第几个图形数，每个图形都多出3，再加上3，即可求出答案．

【详解】解：根据所给的图形可得：第一个图有：5=1+1+3（个），

第二个图有：9=4+2+3（个），第三个图有：15=9+3+3（个），…，则第n个为n2+n+3，

第20个图有：400+20+3=423（个），故答案为：423．

【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，根据规律进行解答．

18．（2021·湖南七年级期中）已知：，求的值为 _____．

【答案】90

【分析】先令x＝1，即可求出a+b+c+d+e+f＝243①；再令x＝﹣1，得到﹣a+b﹣c+d﹣e+f＝1②，①+②可得b+d+f＝122，最后令x＝0，可得f＝32，由此即可求得b+d的值．

【详解】解：令x＝1，得：a+b+c+d+e+f＝243①；

令x＝﹣1，得﹣a+b﹣c+d﹣e+f＝1②，

①+②得：2b+2d+2f＝244， 即b+d+f＝122，

令x＝0，得f＝32，则b+d＝b+d+f﹣f＝122﹣32＝90，故答案为：90．

【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

三、解答题：本题共8个小题，19-24每题10分，25-26每题10分，共66分。

19．（2021绵阳市·七年级期中）先化简，再求值．

①，其中

②已知，求的值，其中．

【答案】①，；②，0

【分析】①原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值；

②把A、B与C代入A-（B+C）中，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．

【详解】解：①

==

将代入，原式==；

②=

==

将代入，原式==0．

【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（2021·江苏盐城市·七年级期末）对于任意实数，，定义一种新的运算公式：，如．（1）计算；（2）已知，求的值．

【答案】（1）；（2）-5

【分析】（1）结合题意，根据有理数混合运算的性质计算，即可得到答案；

（2）结合题意，通过合并同类项计算，即可得到答案．

【详解】（1）；

（2）∵∴∴∴．

【点睛】本题考查了有理数运算、合并同类项的知识；解题的关键是熟练掌握有理数混合运算、合并同类项的性质，从而完成求解．

21．（2021·河北九年级一模）老师写出一个整式（其中、为常数，且表示为系数），然后让同学给、赋予不同的数值进行计算，

（1）甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为，则甲同学给出、的值分别是_______，_______；（2）乙同学给出了，，请按照乙同学给出的数值化简整式；

（3）丙同学给出一组数，计算的最后结果与的取值无关，请直接写出丙同学的计算结果．

【答案】（1），；（2）；（3）-1

【分析】（1）整式进行整理后，利用等式的性质求解即可；（2）把，代入求解即可；

（3）计算的最后结果与的取值无关，则含x项的系数为0，据此求解即可．

【详解】解：（1），

∴，，∴，，故答案为：，；

（2）当，时，

原式；

（3）

∵计算的最后结果与的取值无关，∴，，∴原式．

【点睛】本题考查了整式的加减－化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．

22．（2021·成都市七年级期中）根据等式和不等式的性质，可以得到：若，则；若，则；若，则．这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小．

（1）试比较代数式与的值之间的大小关系；

解：，

因为所以

所以_______．（用“＞”或“＜”填空）

（2）已知，，请你运用前面介绍的方法比较代数式A与B的大小．

（3）已知，比较A，B的大小．

【答案】（1）＞；（2）A＜B；（3）当m＞1时，A＞B；当m=1时，A=B；当m＜1时，A＜B

【分析】（1）根据之差大于0，即可做出判断；（2）利用作差法判断即可；（3）利用作差法计算，再根据m值判断即可．

【详解】解：（1）（5m2-4m+2）-（4m2-4m-7）=5m2-4m+2-4m2+4m+7=m2+9，

∵m2≥0，∴m2+9＞0，∴5m2-4m+2＞4m2-4m-7；故答案为：＞；

（2）∵，，

∴A-B==5m2-7m+2-7m2+7m-3=-2m2-1≤-1＜0，则A＜B；

（3）∵，

∴A-B===

当m＞1时，＞0，则A＞B；

当m=1时，=0，A=B；

当m＜1时，＜0，A＜B．

【点睛】此题考查了整式的加减，理解题干中的作差法是解本题的关键．

23．（2021·江苏七年级期末）已知代数式，当时，该代数式的值为．

（1）求c的值；（2）已知当时，该代数式的值为，试求的值；

（3）已知当时，该代数式的值为，试求当时该代数式的值；

（4）在第（3）小题的已知条件下，若有成立，试比较与c的大小？

【答案】（1）-1；（2）-4；（3）-8；（4）

【分析】（1）将x=0代入代数式求出c的值即可；（2）将x=1代入代数式即可求出a+b+c的值；

（3）将x=3代入代数式求出35a+33b的值，再将x=-3代入代数式，变形后将35a+33b的值代入计算即可求出值；（4）由35a+33b的值，变形得到27a+3b=-2，将5a=3b代入求出a的值，进而求出b的值，确定出a+b的值，与c的值比较大小即可．

【详解】解：（1）把x=0代入代数式，得到c=-1；

（2）把x=1代入代数式，得到a+b+3+c=-1，∴a+b+c=-4；

（3）把x=3代入代数式，得到35a+33b+9+c=-10，即35a+33b=-10+1-9=-18，

当x=-3时，原式=-35a-33b-9-1=-（35a+33b）-9-1=18-9-1=8；

（4）由（3）得35a+33b=-18，即27a+3b=-2，

又∵5a=3b，∴27a+5a=-2，∴a=，则b=a=，

∴a+b==＞-1，∴a+b＞c．

【点睛】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

24．（2021·浙江七年级期中）已知多项式是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上两点对应的数分别为．

（1）______，______，线段______；

（2）若数轴上有一点，使得，点为的中点，求的长；

（3）有一动点从点出发，以1个单位每秒的速度向终点运动，同时动点从点出发，以个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为秒()，点为线段的中点，点为线段的中点，点在线段上且，在的运动过程中，求的值．

【答案】（1）；（2）或75；（3）．

【分析】（1）根据题意可知，=0，b=20，再用求差法求出AB即可；

（2）根据C点的位置不同，进行分类讨论，再求各线段长即可；

（3）用运动时间表示G、H两点在数轴上的所表示的数，根据题意表示出求和即可．

【详解】（1）．

（2）①当在AB之间时，如图．

若．则．．

为中点  ．．

②当在延长线上时，如图．

若．则．．

为中点．．．综上或75．

（3）

由题得，对应的数为．对应的数为．

为中点，．同理，为中点，则．

在上且．且．对应的数为．

为中点，在上，且．在右侧．．

．．

【点睛】本题考查了整式的加减、数轴上两点之间的距离和数轴上的动点问题等，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，会用运动时间表示数轴上的点，属于中考常考题型．

25．（2021·重庆八中七年级期中）2019 年，某葡萄园中“黑美人”喜获丰收，总产量为 24000 千克，且有两种销售方式①运往市区销售；②市民亲自去生态农业园采摘购买，若运往市区销售每千克售价为 a 元，市民亲自去生态园采摘购买每千克售价为 b 元（b＜a），若小张将葡萄运往生态区销售平均每天售出 1000 千克．需要请 6 名工人，每人每天付工资 300 元．农用车运费及其他各项税费平均每天 400 元，若市民亲自去生态农业园采摘则不再产生其他费用．

（1）请用 a 或 b 分表示出两种不同方式出售完该批葡萄的收入若采用方式①收入 　　；若采用方式②收入 　　　；

（2）由于 2019 年葡萄销售良好，小张计划 2020 大投理加种葡萄面积，但是现金不够，小张于 2020 年 1 月在工商银行借了 18 万元贷款，贷款期为 5 年，从开始贷款的下一个月起以等额本金的方式偿还：每月还贷款=平均每月应还的贷款本金+月利息．月利息=上月所剩贷款本金数额×月利率，贷款月利率是 0.5%．

①小张贷款后第一个月应还款额是多少元？

②假设贷款月利率不变，若小张在贷款后第 n（1≤n≤60，n 是正整数）个月的还款额为 y，请写出 y 与 n 之间的关系．

【答案】（1）()元，元；（2）①第一个月应还款额是元；②()

【分析】（1）按两种不同销售方式列式即可；

（2）①求得平均每月应还的贷款本金与月利息的和即可；

②同理求得平均每月应还的贷款本金与月利息的和即可．

【详解】（1）运往市区销售葡萄的收入是：

(元)，

亲自去生态园采摘葡萄的收入是：元，

故答案为：()元，元；

（2）①平均每月应还的贷款本金：(元)，

月利息是：(元)，

∴第一个月应还款额是：(元)；

答：第一个月应还款额是元；

②平均每月应还的贷款本金：(元)，

第个月的月利息是：(元)，

∴() ．

【点睛】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，正确理解并利用“每月还款数额=每月应还的贷款本金数额+月利息，月利息=上月所剩贷款本金数额×月利率“这些公式是解题关键．

26．（2021·北京一零一中石油分校七年级期末）如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．

其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以上图为例，其算法为：

步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和，即；

步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和，即；

步骤3：计算与的和，即；

步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即；

步骤5：计算与的差就是校验码，即．

请解答下列问题：

（1）《数学故事》的图书码为978753，则“步骤3”中的的值为______，校验码的值为______．

（2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，你能用只含有的代数式表示上述步骤中的吗？从而求出的值吗？写出你的思考过程．

（3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的差是4，这两个数字从左到右分别是多少？请直接写出结果．

【答案】（1）73，7；（2）3，过程见解析；（3）4、0或9、5或2、6

【分析】（1）根据特定的算法代入计算计算即可求解；
（2）根据特定的算法依次求出a，b，c，d，再根据d为10的整数倍即可求解；
（3）根据校验码为8结合两个数字的差是4即可求解．

【详解】（1）∵《数学故事》的图书码为978753Y，∴a=7+7+3=17，b=9+8+5=22，
则“步骤3”中的c的值为3×17+22=73，校验码Y的值为80-73=7．故答案为：73，7；
（2）依题意有：a=m+1+2=m+3，b=6+0+0=6，
c=3a+b=3(m+3)+6=3m+15，d=c+X=3m+15+6=3m+21，
∵d为10的整数倍，∴3m的个位数字只能是9，∴m的值为3；
（3）可设这两个数字从左到右分别是p，q，依题意有：
a=p+9+2=p+11，b=6+1+q=q+7，c=3(p+11)+(q+7)=3p+q+40，

∵校验码是8，则3p+q的个位是2，
∵|p-q|=4，∴p=4，q=0或p=9，q=5或p=2，q=6．
故这两个数字从左到右分别是4，0或9，5或2，6．

【点睛】本题考查了列代数式以及整式的加减，正确理解题意，学会探究规律、利用规律是解题的关键．