第5章函数的应用 基础测试-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册期末复习

北师大新版数学必修第一册第五章函数的应用基础测试题

一、单选题

1．函数零点是（    ）

A．和 B．和 C．和 D．和

2．下列函数中，没有零点的是（    ）

A． B．

C． D．

3．为了求函数的一个零点，某同学利用计算器得到自变量和函数的部分对应值，如表所示：

则方程的近似解（精确到0.1）可取为（   ）

A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5

4．把函数的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到函数的图像，则函数的零点是（    ）

A．3 B．5 C． D．

5．方程的根所在区间是（    ）

A． B． C． D．

6．若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：

那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（    ）

A．1.2 B．1.3 C．1.41 D．1.5

7．函数的零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

8．某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后，空气中每立方米药物残留量 （单位：毫克）与时间（单位：小时）的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如下散点图.现拟从下列四个函数模型中选择一个估计与的关系，则应选用的函数模型是（    ）

A． B．

C． D．

9．已知函数，，若恰有2个零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

10．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间间的关系为，如果在前5个小时消除了的污染物，则污染物减少需要花多少时间(精确到(参考数据：，)（    ）

A． B． C． D．

11．若函数的零点是（），则函数的零点是（    ）

A． B．和 C． D．和

12．在平面直角坐标系中直线与反比例函数的图象有唯一公共点，若直线与反比例函数的图象有个公共点，则m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．或

二、填空题

13．函数的零点是________________.

14．若函数值有正有负，则实数a的取值范围为__________

15．如图，一个长为5，宽为3的矩形被平行于边的两条直线所割，其中矩形的左上角是一个边长为x的正方形，则阴影部分面积的最小值为______________.

16．某人根据经验绘制了2018年春节前后，从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿___________千克.

三、解答题

17．求下列函数的零点．

（1）；　

（2）．

18．已知关于的方程有两个实数根．

（1）求的取值范围；

（2）若，求的值．

19．已知函数

（1）求该函数的定义域；

（2）若该函数的零点为x=3，求a的值.

20．已知一次函数满足，．

（1）求这个函数的解析式；

（2）若函数，求函数的零点．

21．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于，设，的面积为．

（1）求的解析式及定义域；

（2）求的最大值．

22．已知函数且点在函数的图象上．

（1）求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象；

（2）求不等式的解集；

（3）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．

参考答案

1．B

【分析】

解方程，即可得出函数的零点.

【详解】

解方程，即，解得或.

因此，函数的零点是和.

故选：B.

2．C

【分析】

分别解函数对应的方程，逐项判断，即可得出结果.

【详解】

A选项，由可得，即函数有零点；

B选项，由得，即函数有零点；

C选项，由解得，不存在，即函数没有零点；

D选项，由解得或，即函数有零点.

故选：C.

3．C

【分析】

根据二分法结合零点存在定理求解.

【详解】

因为，

所以方程的解在区间内，

又精确到0.1，

所以可取1.4

故选：C

4．A

【分析】

根据平移变换得到，令，解方程可得结果.

【详解】

依题意得，

由得，得，得.

故选：A

【点睛】

关键点点睛：掌握函数零点的概念是本题解题关键.

5．C

【分析】

设，利用函数的零点存在定理可得出结果.

【详解】

设，可知函数为上的增函数，

由于，，

由零点存在定理可知，方程的根所在区间是.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用函数的零点存在定理判断方程的根所在的区间，在解题时可分析函数的单调性，便于确定函数的零点个数，考查计算能力，属于基础题.

6．C

【分析】

利用零点存在性定理，判断根的较小区间，即可求得近似解.

【详解】

因为，，

，

所以方程的近似根在，则近似根为1

故选：C

7．B

【分析】

结合题中选项，分别计算函数值，根据函数零点存在性定理，即可得出结果.

【详解】

易知函数是增函数，且，，

由函数零点存在性定理可得，函数的零点所在的区间是.

故选：B.

【点睛】

方法点睛：

在判定函数零点所在区间时，一般根据函数零点存在性定理来判断，要求学生要熟记零点存在性定理；另外，在根据判断函数零点时，有时也需要结合函数单调性进行判断.

8．B

【分析】

利用散点图的分布结合函数的单调性可选择合适的选项.

【详解】

由散点图可知，函数在上单调递减，且散点分布在在一条曲线附近，

函数的图象为一条直线，不合乎题意；

函数的图象为一条曲线，且当时，该函数单调递减；

函数在区间上单调递增，不合乎题意；

由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，不合乎题意.

故选：B.

9．B

【分析】

利用数形结合的方法，作出函数的图象，简单判断即可.

【详解】

依题意，函数的图象与直线有两个交点，

作出函数图象如下图所示，

由图可知，要使函数的图象与直线有两个交点，则，即.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数零点问题，掌握三种等价形式：函数零点个数等价于方程根的个数等价于两个函数图象交点个数，属基础题.

10．B

【分析】

由题知，，可解得的值，再把代入中，结合指数和对数的运算法则即可得解.

【详解】

解：前5个小时消除了的污染物，

，即，

当污染物减少时，，

，

.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的实际应用，主要涉及指数和对数的运算法则，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.

11．B

【分析】

首先根据的零点是求得的关系式，对因式分解，由此求得的零点.

【详解】

由条件知，∴，∴的零点为和.

故选B.

【点睛】

本小题主要考查函数零点的知识运用，属于基础题.

12．D

【分析】

先用判别式求得，然后用判别式列不等式，解不等式求得的取值范围.

【详解】

由于直线与反比例函数的图象有唯一公共点，

即有唯一解，消去得，

.

直线与反比例函数的图象有个公共点，

即由两个不同的解，消去得，，

，解得或.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查函数图象交点个数求参数，属于基础题.

13．或

【分析】

解方程即可得答案.

【详解】

解：解方程得或.

所以函数的零点是或

故答案为：或.

14．

【分析】

先考虑的情况，再考虑 时，由求解.

【详解】

当时，，不成立；

当时，，即，

解得，

故答案为：

15．7

【分析】

由题可得，利用二次函数性质即可求解.

【详解】

解析：设阴影部分的面积为，其中

则

当时，有最小值为7.

故答案为：7.

16．

【分析】

利用待定系数法先求出前10天的解析式，然后令x＝6，即可求出12月26日卖出西红柿的数量．

【详解】

前10天满足一次函数，设f（x）＝ax+b，

将点（1，10），（10，30）代入函数解析式

得，得a，b，

则f（x）x，

则在12月26日，即当x＝6时，f（6）6

故答案为：

17．（1）；（2）和．

【分析】

（1）解方程，可得函数的零点；

（2）解方程，可得函数的零点.

【详解】

（1）由，得，所以函数的零点是；

（2）由于，因此方程的根为、，

故函数的零点是和．

【点睛】

本题考查函数零点的求解，考查计算能力，属于基础题.

18．（1）；（2）－3．

【分析】

（1）依题意，得，解出即可；

（2）由韦达定理得，，，再根据第一问的结论代入即可求出答案．

【详解】

解：（1）依题意，得，解得，

∴的取值范围是；

（2）由韦达定理得，，，

由得，，

∴由得，，

即，即，

解得，或（舍），

∴．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，属于基础题．

19．（1）

（2）

【分析】

（1）要使函数有意义，则需，求解即可；

（2）由该函数的零点为x=3，可得，求解即可得解.

【详解】

解：（1）要使函数有意义，则需，即，

即该函数的定义域为；

（2）由该函数的零点为x=3，

即，

即，

故.

【点睛】

本题考查了函数定义域的求法，重点考查了函数的零点，属基础题.

20．（1）（2）零点是2和1．

【分析】

（1）设，代入数据得到解得答案.

（2）函数，当时解得答案.

【详解】

解：（1）设

由条件得：，解得，

故；

（2）由（1）知，即，

令，解得或，

所以函数的零点是2和1．

【点睛】

本题考查了一次函数，函数的零点，意在考查学生的计算能力.

21．（1）（2）的最大值为.

【分析】

（1）利用周长，可以求出的长，利用平面几何的知识可得，再利用勾股定理，可以求出的值，由矩形的周长为，可求出的取值范围，最后利用三角形面积公式求出的解析式；

（2）化简（1）的解析式，利用基本不等式，可以求出的最大值．

【详解】

（1）如下图所示：

∵设，则，

又，

即，

∴，得

，

∵，

∴，

∴的面积．

（2）由（1）可得，

，

当且仅当，即时取等号，

∴的最大值为，此时．

【点睛】

本题考查了求函数解析式，考查了基本不等式，考查了数学运算能力.

22．（1），图像见解析（2）（3）

【分析】

（1）将点代入中,即可求解的值,进而求得函数的解析式,画出函数f（x）的图象.

（2）分为两种情况分别求解不等式,再取并集即可得不等式的解集.

（3）欲求满足方程有两个不相等的实数根的取值范围,可使函数与有两个不同的交点,画出二者的图象即可判断出实数的取值范围.

【详解】

解：（1）由的图象经过点,

可得,即,解得,

则,

函数的图象如下图：

（2）即为或,

即或,

则解集为；

（3）有两个不相等的实数根,

即有的图象和直线有两个交点,

由图象可得,即,

可得的取值范围是．

【点睛】

本题主要考查函数的概念与图象、对数与对数函数、函数与方程以及一次函数和二次函数.