第1章预备知识 基础检测-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册期末复习

北师大新版数学必修第一册第一章预备知识基础检测题

一、单选题

1．设全集，集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．命题“，”的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

3．集合的真子集的个数为（    ）

A．3 B．4 C．7 D．8

4．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知全集，，则集合（    ）

A． B． C． D．

6．已知aR且a>b，则下列不等式一定成立的是（    ）

A．> B．>ab C．> D．a(a—b)>b(a—b)

7．已知集合，，则等于（    ）

A． B． C． D．

8．不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

9．若，则的取值集合为（　　）

A． B．

C． D．

10．设正实数，满足(其中为正常数)，若的最大值为3，则（    ）

A．3 B． C． D．

11．若则不等式的解是（    ）

A． B． C．或 D．或

12．的最小值是（    ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

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二、填空题

13．函数，的最大值为________.

14．设集合，集合，若，则的取值范围是_____________

15．已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值集合是__________________

16．函数在区间，单调递减，则实数的取值范围为__．

三、解答题

17．已知集合，．

（1）求；

（2）求．

18．已知非空集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}．

（1）求a的取值范围；

（2）若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

19．已知.

（1）已知x＞0，求y的最小值；

（2）已知x＜0，求y的最大值．

20．已知.

（1）当时，求关于的不等式大于0的解集；

（2）若不等式的解集为，求实数，的值.

21．已知全集，集合，集合．

（1）求及；

（2）若集合，，求实数的取值范围．

22．已知命题p：“方程有两个不相等的实根”，命题p是真命题．

（1）求实数m的取值集合M；

（2）设不等式的解集为N，若x∈N是x∈M的充分条件，求a的取值范围．

参考答案

1．A

【分析】

首先求，再求

【详解】

,故．

故选：A

2．A

【分析】

先修改量词，再否定结论，从而可得答案.

【详解】

特称命题“，”的否定是：

把改为，其它条件不变，然后否定结论，变为一个全称命题．

即“，”．

故选：．

3．C

【分析】

先化简集合，再列举出所有真子集，从而可得答案．

【详解】

因为，

所以A的真子集为

可得真子集的个数为，

故选：．

4．A

【分析】

利用一元二次不等式的解法求出的解集，再根据充分条件与必要条件的定义求解即可.

【详解】

记“”的解集为集合B，

则或

所以“”能推出“”

“”不能推出“”

所以“”是“”的的充分不必要条件.

故选：A.

5．A

【分析】

利用集合补集的性质直接求解即可

【详解】

由于，，所以，

故选A

6．D

【分析】

对于A，B，C举反例判断即可，对于D，利用不等式的性质判断

【详解】

解：对于A，若，则，所以A错误；

对于B，若，则，此时，所以B错误；

对于C，若，则，此时，所以C错误；

对于D，因为，所以，所以，所以D正确，

故选：D

7．D

【分析】

根据集合运算求解即可.

【详解】

解：.

故选：D.

8．D

【分析】

利用分式不等式的解法求解即可.

【详解】

解：，

即，

即，

等价于，

解得：，

即原不等式的解集为：.

故选：D.

9．B

【分析】

由已知条件可得或，结合集合中的元素满足互异性可得出结论.

【详解】

由于，则或，解得或，

因此，实数的取值集合为.

故选：B.

10．D

【分析】

由于，，为正数，且，所以利用基本不等式可求出结果

【详解】

解：因为正实数，满足(其中为正常数)，

所以，则，所以，

所以

故选：D.

11．A

【分析】

转化原不等式可得，结合及一元二次不等式的解法求解即可.

【详解】

由可得，

，

，

，

故选：．

12．B

【分析】

由，再利用基本不等式可得最小值.

【详解】

，

当且仅当，即时取等号．有最小值．

故选：B.

13．.

【分析】

直接利用二次函数的性质求解.

【详解】

∵，且，

∴当时，取最大值16.

故答案为：16

14．

【分析】

根据集合的包含关系求解即可．

【详解】

因为集合，，如图所示，当时，只需.

故答案为：.

15．

【分析】

设，求出，设，由题意可得：，即可求解.

【详解】

设，则，

设，

若是的充分不必要条件，则，

当时，，满足，

当时，，若则或，

解得：或，

故答案为：

16．，．

【分析】

由已知结合二次函数的单调性与对称轴的位置关系，求出实数的取值范围．

【详解】

解：因为在区间，单调递减，

所以，解得，．

故答案为：，．

17．（1）；（2）= ．

【分析】

（1）直接利用并集的定义求解即可；

（2）先求出集合B的补集，再求

【详解】

解：（1）因为，，

所以，

（2）因为，所以，

因为，

所以=

18．（1）a≥0；（2）{a|0≤a≤2}．

【分析】

（1）因为P是非空集合，所以2a＋1≥a＋1，即可得出结果.

（2）根据充分、必要条件的知识得到PQ，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.

【详解】

解　（1）因为P是非空集合，所以2a＋1≥a＋1，即a≥0．           

（2）若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，即PQ，

即                                                 

且a＋1≥－2和2a＋1≤5的等号不能同时取得，                     

解得0≤a≤2，

即实数a的取值范围为{a|0≤a≤2}．

【点睛】

本小题主要考查集合的概念，考查根据充分、必要条件求参数的取值范围.

19．（1）2；（2）－2.

【分析】

（1）直接利用基本不等式求解即可

（2）由于x＜0，所以先对式子变形，然后再利用基本不等式即可

【详解】

（1）因为x＞0，所以，当且仅当，即x＝1时等号成立．

所以y的最小值为2.

（2）因为x＜0，所以－x＞0.所以，当且仅当，即x＝－1时等号成立．

所以y的最大值为－2.

【点睛】

此题考查基本不等式的应用，属于基础题.

20．（1）；（2）.

【分析】

（1）当时，得，解此不等式即可；

（2）由题意可知是方程的两根，再利用根与系数的关系可得，从而可求出，的值.

【详解】

（1）当时，.

∴不等式为，解得，

∴所求不等式的解集为.

（2）∵，

∴，

∴是方程的两根，

∴，解得

21．（1），；（2）.

【分析】

（1）解出集合中的不等式，化简集合即可.

（2）由条件建立不等式即可.

【详解】

（1）由得，所以，

由

所以

所以

（2）因为，且

所以，

所以的取值范围为：

【点睛】

本题为基础题，考查集合的运算.

22．（1）M={m|或}；（2）或.

【分析】

（1）利用判别式即可求出；

（2）由题可得，根据包含关系建立关系即可求解.

【详解】

(1) 命题：方程有两个不相等的实根，

，解得，或．

M={m|或}．    

(2) 因为x∈N是x∈M的充分条件，所以

N=，可知，

则或，

综上，或.

【点睛】

结论点睛：本题考查根据充分条件求参数，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含．