人教版新课标A必修2第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率教案

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简析直线斜率的解题功效直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个值，只要深入研究就会发现：直线斜率数值意义的解题功效是多方面的，如果熟练掌握了用直线斜率来处理这些问题，可以大大简化解题速度． 1　借助直线的斜率巧解应用题例1　某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m，b m(a＞b)．问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？解　建立如图所示的直角坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点C(x,0)(x＞0)，欲使看画的效果最佳，应使∠ACB取得最大值．由三角函数的定义知：A、B两点坐标分别为(acosα，asinα)、(bcosα，bsinα)，于是直线AC、BC的斜率分别为：kAC=tanxCA=，．于是tanACB=由于∠ACB为锐角，且x＞0,则tanACB≤，当且仅当=x，即x=时，等号成立，此时∠ACB取最大值，对应的点为C(,0)，因此，学生距离镜框下缘 cm处时，视角最大，即看画效果最佳．点评　本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了两点连线的斜率公式、用不等式法求最值以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力．解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tanACB的最大值，从而转化为有关斜率的问题． 2　借助直线的斜率比较大小例2　设M=，则M与N的大小关系为(    )A．M＞N        B．M=N    C．M＜N         D．无法判断 解析　将问题转化为比较A(－1，－1）与B(102001，102000）及C(102002，102001）连线的斜率大小，因为B、C两点的直线方程为y=x，点A在直线的下方，∴kAB＞kAC,即M＞N．答案：A．点评　如果此题按常规方法处理直接作差将会比较难处理，而采用直线斜率的几何意义就直接明了，易处理．3　借助直线的斜率求直线的方程例3．过点P(2,1)作直线l分别交x,y的正半轴于A,B两点，求（1）△ABO面积的最小值，及相应的直线方程；（2）若︱PA︱·︱PB︱取最小值时，求直线的方程．解析　显然直线效率存在，设直线方程为y-1=k(x-2)(k<0)，得点A(),  B(0,1-2k)，（1）S△ABO=︱OA︱·︱OB︱=()(1-2k)=2+(-2k-)，∵k<0  ∴S△ABO≥4，此时即直线为x＋2y－4=0．（2）︱PA︱·︱PB︱=,  此时即直线为x＋y－3=0．4　构造直线斜率证明不等式问题例4．已知a、b、m都是正实数，并且a<b，求证：．证明　如图，在平面直角坐标系内，设点，点． 由m>0和0<a<b知点A在直线y=x在第三象限的图像上，点B在直线y=x在第一象限的图像的下方，于是可得斜率，即，原不等式得证．点评　这是新教材高二数学上册上的一道例题．教材上是用比较法去进行证明的，但细细研究会发现还可通过构造直线斜率来证明该不等式，因为所证式子酷似直线的斜率表达式，故可借助题设条件构造直线，然后运用倾斜角的大小与斜率的关系来证明不等式．5　构造直线斜率解决变量或参数范围问题例5　若在圆上运动，求的取值范围．解　因为是直线OP（的斜率，在圆上，当p点是由原点O向圆作切线的切点时，取到最大值与最小值．设直线OP的斜率为k，直线OP的方程为y=kx，圆心C的坐标为，半径为．由于圆心C到切线的距离等于半径，于是可得方程：，解得．所以的取值范围为．点评　可以看成是点与原点连线所在直线的斜率，则可以构造如下一个函数：设k=，得函数y=kx．于是所求的取值范围问题就可以转换为求函数y=kx所对应直线的斜率的取值范围问题．链接练习1．在等差数列中，．2．已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，直角边BC在直线2+3y-6=0上，顶点A的坐标是(5，4)，求边AB和AC所在的直线方程3．已知三角形三顶点坐标分别为A（2，－3），B（－7，9），C（18，9），求AB边上的中线．链接练习参考答案1．提示：从函数的观点来看，在等差数列中通项是自变量的一次函数，则两点即都在一次函数所对应的直线上，直线斜率为=3．由直线方程的点斜式可得：，整理得．所以．2．提示：点拨与提示：利用等腰直角三角形的性质，得出∠ABC＝45°，再利用夹角公式，求得直线AB的斜率，进而求得了直线AB的方程.直线BC的斜率kBC＝－，∵直线AC与直线BC垂直，∴直线AC的方程为y－4＝（－5）即3－2y－7＝0∵∠ABC＝45°，∴,即kAB＝－5或kAB＝∴AB边所在的直线方程为:y－4＝（－5）或y－4＝－5（－5）,即－5y＋15＝0或5＋y－29＝0.3．提示：①求中线方程，，那么AB边上的中线CD的方向向量为，也就是，因而  直线CD的斜率为，那么直线CD的方程为，整理得  ．