2022-2023学年辽宁省辽阳市灯塔实验中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2022-2023学年辽宁省辽阳市灯塔实验中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列方程是一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    一元二次方程的解是(    )

A. 或 B.  C. 或 D.

4.    下面真命题的是(    )

A. 矩形的对角线互相垂直
B. 菱形是中心对称图形，不是轴对称图形
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D. 依次连接矩形各边的中点，所得四边形是菱形

5.    直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个或个

6.    根据下列表格的对应值：

由此可判断方程必有一个解满足(    )

A.  B.
C.  D.

7.   小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图所示正方形，则图中对角线的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.   如图，正方形中，点为上一点，与交于点，连接，若，则的度数(    )

A.
B.
C.
D.

9.   如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，以的三边为边分别作等边、、，则下列结论正确的是(    )

A. ≌
B. 四边形为矩形
C. 四边形为菱形
D. 当，时，四边形是正方形
 

二、填空题（本大题共8小题，共24 分）

11. 在平行四边形中，请你添加一个条件，使它成为矩形，则你添加的条件是______．
12. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．
13. 已知矩形的对角线长为，且两条对角线相交所成的锐角为，则该矩形的面积为______．
14. 若关于的一元二次方程的其中一根为，则关于的方程的根为______．
15. 菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则菱形的周长为______．
16. 现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为，设小道的宽为，则根据题意，可列方程为______．

17. 如图，点是中斜边不与，重合上一动点，分别作点，作于点，点是的中点，若，，当点在上运动时，则的最小值是______ ．

18. 如图，正方形的边长为，点从点出发沿着线段向点运动不与点，重合，同时点从点出发沿着线段向点运动不与点，重合，点与点的运动速度相同．与相交于点，为中点、则有下列结论：
    是定值；平分；当运动到中点时，；当时，四边形的面积是其中正确的结论序号是______．

三、解答题（本大题共8小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    按要求解方程．
    配方法；
    公式法．
20. 本小题分
    已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
    如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
    如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由．
21. 本小题分
    已知，如图，在菱形中，对角线、相交于点，，．
    求证：四边形是矩形：
    若，，求四边形的面积．

22. 本小题分
    阅读材料并解决下列问题：
    材料若一元二次方程的两根为、，则，．
    材料已知实数，满足，，且，求的值．
    解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料，得，，
    ．
    根据上述材料解决下面的问题：
    一元二次方程的两根为，，则______，______．
    已知实数，满足，，且，求的值．
    已知实数，满足，，且，求的值．
23. 本小题分
    矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点，在菱形的对角线上．
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    求证：；
    若为中点，，求菱形的周长．
24. 本小题分
    某超市销售一种衬衫．平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低元，平均每天可多售出件．
    若每件衬衫降价元时，平均每天可售出______件衬衫，此时每天销售获利______元．
    在每件盈利不少于元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为元，问每件衬衫应降价多少元？
    该衬衫每天的销售获利能达到元吗？如果能，请写出降价方案，如果不能，请说明理由．
25. 本小题分
    如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线与，垂足为，连接，．
    求证：；
    当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明理由；
    在满足的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由．
     
26. 本小题分
    综合与实践
    问题情境：
    如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到点的对应点为点延长交于点，连接．
    猜想证明：
    试判断四边形的形状，并说明理由；
    如图，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；
    解决问题：
    如图，若，，请直接写出的长．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足三个条件：
是整式方程；
含有一个未知数，且未知数的最高次数是；
二次项系数不为．
以上三个条件必须同时成立，据此即可作出判断．在做此类判断题时，要特别注意二次项系数这一条件．
【解答】
解：、不是方程，错误；
B、符合一元二次方程的定义，正确；
C、原式可化为，是一元四次方程，错误；
D、是分式方程，错误．
故选B．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了一元二次方程的解根的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
把代入方程就得到一个关于的方程，就可以求出的值．
【解答】
解：根据题意，得，
解得，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
则或，
解得或，
故选：．
先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

4.【答案】 

【解析】解：、矩形的对角线互相垂直．错误矩形的对角线相等，不一定垂直，本选项不符合题意；
B、菱形是中心对称图形，不是轴对称图形．错误，菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项不符合题意；
C、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，错误，缺少对角线互相平分，本选项不符合题意；
D、依次连接矩形各边的中点，所得四边形是菱形，正确．本选项符合题意．
故选：．
根据特殊四边形的判定和性质一一判断即可．
本题考查命题与定理，矩形的性质，菱形的性质和判定，正方形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握特殊四边形的判定和性质，属于中考常考题型．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
利用一次函数的性质得到，再判断，从而得到方程根的情况．
【解答】
解：直线不经过第二象限，
，
当时，关于的方程是一元一次方程，解为，
当时，关于的方程是一元二次方程，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选D．  

6.【答案】 

【解析】解：时，，
时，，
时，，
即方程必有一个解满足，
故选：．
利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，图中，连接．

图中，四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
在图中，四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，
；
故选：．
连接在图中，证是等边三角形，得出在图中，由勾股定理求出即可．
本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
≌．
，
，，
，
，
，
故选：．
根据证≌，得出，根据，得即可．
本题主要考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
是边的中点，
是的中位线，
，
，
，
．
故选：．
根据矩形的性质和三角形中位线定理得出，进而利用勾股定理得出，再根据直角三角形的性质解答即可．
本题考查了矩形的性质以及勾股定理，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有； 角：矩形的四个角都是直角；边：邻边垂直；对角线：矩形的对角线相等．
 

10.【答案】 

【解析】解：、为等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
≌，
，
又为等边三角形，
，
，
同理可得≌，
，
四边形是平行四边形；
，
，即，
在和中，
．
≌，故A正确，
，．
和为等边三角形，
，，
，
四边形是平行四边形；
若，则，四边形是菱形，
故满足时，四边形是菱形；故C错误，
若，则平行四边形是矩形；故B错误；
当，，则有，，此时四边形是为菱形，选项D错误，
故选：．
由与都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，，利用等式的性质得到夹角相等，利用得到与全等；根据全等三角形的性质得到得到，再由三角形为等边三角形得到三边相等，等量代换得到，，利用对边相等的四边形为平行四边形得到为平行四边形；根据菱形的判定定理，矩形的判定定理，正方形的判定定理判断即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定，以及正方形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
 

11.【答案】或者 

【解析】解：四边形是平行四边形，
添加或者，
四边形是矩形，
故答案为：或者．
根据矩形的判定定理即可解决问题．
此题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的判定．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
解得：．
故答案为：．
由方程有实数根即，从而得出关于的不等式，解之可得．
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图：

四边形是矩形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
矩形的面积，
故答案为．
由矩形的性质可得，可证是等边三角形，可得，由勾股定理可求，即可求解．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
 

14.【答案】， 

【解析】解：关于的方程：，且关于的一元二次方程的一根为，
或，
解得或．
故答案为：，．
结合已知条件得到或，求得即可．
考查了一元二次方程的解的定义，根据题意得到或是解题的难点．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查菱形的性质，菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形三边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可．
边的长是方程的一个根，解方程求得的值，根据菱形的一条对角线长为，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形的周长．
【解答】
解：解方程
得：或
对角线长为，，不能构成三角形；
菱形的边长为．
菱形的周长为．
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】解：设小道的宽为 ，则种植花草的部分可合成长，宽的矩形，
依题意得：，
故答案为：．
设小道的宽为 ，则种植花草的部分可合成长，宽的矩形，根据种植花草的面积为，即可得出关于的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示：
于点，于点，
，
又，
四边形是矩形，，
与互相平分，
点是的中点，
是的中点，
，
当时，最小，则最小，
此时，的面积，
最小值，
的最小值，
故答案为：．
证四边形是矩形，得与互相平分，则，当时，最小，则最小，再由面积法求出的最小值即可．
本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明四边形为矩形是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
是定值；故正确；
不妨假设平分，
，，
，这个显然不可能，
故错误；
当运动到中点时，
当运动到中点，
，
，
为中点，
；故正确；
≌，
四边形的面积的面积，
当时，
，
，
，
，
，
四边形的面积是故正确．
故其中正确的是．
故答案为：．
根据全等三角形的判定与性质，正方形的性质、勾股定理逐一进行判断即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质、勾股定理，关键是能够根据正方形的性质找到全等的条件，利用三角形的全等的性质和勾股定理解决问题．
 

19.【答案】解：，
，
，即，
，
，；

，
，
，，，
，
，
，． 

【解析】利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答；
先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次方程公式法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 

20.【答案】解：为等腰三角形，理由如下：
是一元二次方程的根，
，
，
，
，
为等腰三角形；
为直角三角形，理由如下：
方程有两个相等的实数根，
，
，
为直角三角形． 

【解析】根据方程根的定义，把代入即可得出的形状；
根据根的判别式得出，即可得出，，的关系，即可根据勾股定理的逆定理判断的形状．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程、等腰三角形的判定、直角三角形的判定，掌握各个定理的内容是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形是矩形；
解：四边形是菱形，
，，，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
由得：四边形是矩形，
矩形的面积． 

【解析】先证四边形为平行四边形，再由菱形的性质得，即可得出结论；
证是等边三角形，得，则，再由勾股定理得，然后由矩形面积公式即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：在中，，，，
，．
故答案为：，；

，满足，，，
，可以看作的两个不等的实数根，
，，
；

由题意知与即为方程的两个不等的实数根，
，，
．
中，，，，则，．
由题意，可以看作的两个不等的实数根，由此可得结论；
由题意知与即为方程的两个不等的实数根，由此可得结论．
本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．
 

23.【答案】证明：在矩形中，，，
，
，，
，
在菱形中，，
，
在与中，

≌，
．
连结在菱形中，，，

为的中点，
，
，
且，
四边形是平行四边形，
，
，
，
菱形的周长为． 

【解析】根据矩形的性质得出，，进而利用证明≌，利用全等三角形的性质解答即可；
连结，根据菱形的性质解答即可．
本题考查矩形的性质、菱形的性质，解答本题的关键是利用证明≌．
 

24.【答案】   

【解析】解：若每件衬衫降价元时，平均每天可售出件，
此时每天销售获利元．
故答案为：；．
设每件衬衫降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：每件衬衫应降价元．
不能，理由如下：
设每件衬衫降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
，
该方程没有实数根，
即该衬衫每天的销售获利不能达到元．
利用平均每天的销售量每件衬衫降低的价格，可求出平均每天的销售量；利用每天的销售总利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出此时每天销售获利；
设每件衬衫降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，根据每天销售该衬衫获利元，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合每件盈利不少于元，即可得出每件衬衫应降价元；
不能，设每件衬衫降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，根据每天销售该衬衫获利元，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出该方程没有实数根，即该衬衫每天的销售获利不能达到元．
本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算以及根的判别式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列式计算；找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．
 

25.【答案】证明：，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
四边形是菱形，理由如下：
为中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，为中点，
，
四边形是菱形；
当是等腰直角三角形时，四边形是正方形；理由如下：
，
当是等腰直角三角形，
为的中点，
，
，
四边形是正方形． 

【解析】【试题解析】
本题考查了平行四边形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
证出，得出四边形是平行四边形，即可得出结论；
先证出，得出四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出，即可得出四边形是菱形；
当是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出，即可得出四边形是正方形．
 

26.【答案】解：四边形是正方形，
理由如下：
将绕点按顺时针方向旋转，
，，，
又，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形；
；
理由如下：如图，过点作于，

，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，，
≌，
，
将绕点按顺时针方向旋转，
，
四边形是正方形，
，
，
；
如图，过点作于，

四边形是正方形，
，
，，，
，
，
，
由可知：，，
，
． 

【解析】

【分析】
本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形；
过点作于，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得≌，可得，由旋转的性质可得，可得结论；
过点作于，利用勾股定理可求，再利用勾股定理可求的长．