九年级下册27.2.1 相似三角形的判定习题

这是一份九年级下册27.2.1 相似三角形的判定习题，共10页。

27.2　相似三角形
27.2.1　相似三角形的判定
第2课时　平行线分线段成比例
一、选择题
1.如图，△ABC∽△ADE，则下列比例式正确的是(　　)
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2.如图,已知△ABC∽△BDC,其中AC＝4,CD＝2,则BC＝( )
A.2 B.22 C.23 D.4
3.如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是(　　)
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
4.如图,l1∥l2∥l3,直线a,b与l1,l2,l3分别相交于点A,B,C和点D,E,F.若AB＝3,DE＝2,BC＝6,则EF的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.【2021·哈尔滨】如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6

第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
6.【中考·恩施州】如图，在▱ABCD中，EF∥AB交BD于F，交AD于E.DE∶EA＝3∶4，EF＝3，则CD的长是(　　)
A．4 B．7 C．3 D．12
7.【2020·哈尔滨】如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是(　　)
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
8.【中考·潍坊】如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且＝，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为( )
A．21 B．28 C．34 D．42
9.如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在边AD,BC上,且EF∥CD,G为边AD延长线上一点,连接BG,则图中与△ABG相似的三角形有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
10.如图,AD∥BC,在△ABC中,点E在AB边上,EF∥BC,交AC边于点F,DE交AC边于点G,则下列结论错误的是( )
A.AEBE＝AFCF B.AGGF＝DGEG C.AGGF＝AEEB D.AEAB＝AFAC
11.如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF∶FC＝( )
A.1∶4 B.1∶3 C.1∶2 D.1∶1
12.【中考·凉山州】如图，在△ABC中，D在AC边上，AD ∶DC＝1 ∶2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE ∶EC＝(　　)
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶3
二、填空题
13.若△ABC∽△A'B'C',△ABC与△A'B'C'的相似比为2,那么△A'B'C'与△ABC的相似比为  　.
14.(1)如图,l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1,l2,l3于点A,B,C,过点B的直线DE分别交l1,l3于点D,E.若AB＝2,BC＝4,BD＝3,则线段BE的长为　　. 
(2)如图,a∥b∥c,直线m,n交于点O,且分别与直线a,b,c交于点A,B,C和点D,E,F.若OA＝1,OB＝2,BC＝4,EF＝5,则DE的值为 　. 

第14(1)题图 第14(2)题图 第15题图 第16题图
15.如图,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D,AD与BC相交于点E,EF⊥BD,垂足为F.试回答:图中△DEF∽　 　,△BEF∽　 　,△ABE∽　 　. 
16.如图,在△ABC中,若DE∥BC,EF∥CD,AE＝2EC,则AF∶FD∶DB＝　 　. 
17.【2021·连云港】如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，连接AF并延长交BC于点D.若BF＝3FE，则＝________.
18.【2021·营口】如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝∠EDC，则CF＝________．

第17题图 第18题图
三、解答题
19.如图,点E,F分别在线段AD,BC上,AB∥CD∥EF.已知BF＝4,CF＝6,AE＝5,求DE的长.



20.如图,已知AC∥FE∥BD,求证:AEAD+BEBC＝1.



21.【中考·泰州】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点(与B，C不重合)，PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S.
(1)用含x的代数式表示AD的长；
(2)求S与x的函数解析式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围．



22.【2021·鄂州】如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且∠ABE＝∠CDF.
(1)探究四边形BEDF的形状，并说明理由；
(2)连接AC，分别交BE，DF于点G，H，连接BD交AC于点O.若＝，AE＝4，求BC的长．



23.如图,O是△ABC内任意一点,DE∥AB,DF∥AC,EF∥BC,那么△ABC与△DEF相似吗?说明理由.




24.阅读与计算,请阅读以下材料,并完成相应的问题.
角平分线分线段成比例定理:如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC,则ABAC＝BDCD.下面是这个定理的部分证明过程.
证明:如图2,过点C作CE∥AD,交BA的延长线于点E……
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;
(2)如图3,在Rt△ABC中,AB＝3,BC＝4,∠ABC＝90°,AD平分∠BAC,求△ABD的周长.


参考答案
一、选择题
1.如图，△ABC∽△ADE，则下列比例式正确的是(　D　)
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2.如图,已知△ABC∽△BDC,其中AC＝4,CD＝2,则BC＝( B )
A.2 B.22 C.23 D.4
3.如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是(　A　)
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
4.如图,l1∥l2∥l3,直线a,b与l1,l2,l3分别相交于点A,B,C和点D,E,F.若AB＝3,DE＝2,BC＝6,则EF的值为( D )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.【2021·哈尔滨】如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为(　B　)
A．3 B．4 C．5 D．6

第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
6.【中考·恩施州】如图，在▱ABCD中，EF∥AB交BD于F，交AD于E.DE∶EA＝3∶4，EF＝3，则CD的长是(　B　)
A．4 B．7 C．3 D．12
7.【2020·哈尔滨】如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是(　C　)
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
8.【中考·潍坊】如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且＝，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为( C )
A．21 B．28 C．34 D．42
9.如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在边AD,BC上,且EF∥CD,G为边AD延长线上一点,连接BG,则图中与△ABG相似的三角形有( D )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
10.如图,AD∥BC,在△ABC中,点E在AB边上,EF∥BC,交AC边于点F,DE交AC边于点G,则下列结论错误的是( C )
A.AEBE＝AFCF B.AGGF＝DGEG C.AGGF＝AEEB D.AEAB＝AFAC
11.如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF∶FC＝( C )
A.1∶4 B.1∶3 C.1∶2 D.1∶1
12.【中考·凉山州】如图，在△ABC中，D在AC边上，AD ∶DC＝1 ∶2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE ∶EC＝(　B　)
A．1 ∶2 B．1 ∶3 C．1 ∶4 D．2 ∶3
【点拨】过点O作OG∥BC，交AC于点G.
∵O是BD的中点，∴G是DC的中点．
∵AD∶DC＝1∶2，∴AD＝DG＝GC.
∴AG∶GC＝2∶1.∴AO∶OE＝2∶1.
∴S△AOB∶S△BOE＝2∶1.
设S△BOE＝S，S△AOB＝2S，
又BO＝OD，∴S△AOD＝2S.∴S△ABD＝4S.
∴S△BDC＝2S△ABD＝8S. ∴S四边形CDOE＝7S.∴S△AEC＝9S.
又∵S△ABE＝3S，∴＝＝＝.
二、填空题
13.若△ABC∽△A'B'C',△ABC与△A'B'C'的相似比为2,那么△A'B'C'与△ABC的相似比为 12(或1∶2)　. 
14.(1)如图,l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1,l2,l3于点A,B,C,过点B的直线DE分别交l1,l3于点D,E.若AB＝2,BC＝4,BD＝3,则线段BE的长为　6　. 
(2)如图,a∥b∥c,直线m,n交于点O,且分别与直线a,b,c交于点A,B,C和点D,E,F.若OA＝1,OB＝2,BC＝4,EF＝5,则DE的值为 154　. 

第14(1)题图 第14(2)题图 第15题图 第16题图
15.如图,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D,AD与BC相交于点E,EF⊥BD,垂足为F.试回答:图中△DEF∽　△DAB　,△BEF∽　△BCD　,△ABE∽　△DCE　. 
16.如图,在△ABC中,若DE∥BC,EF∥CD,AE＝2EC,则AF∶FD∶DB＝　4∶2∶3　. 
17.【2021·连云港】如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，连接AF并延长交BC于点D.若BF＝3FE，则＝________.
【答案】

第17题图 第18题图
18.【2021·营口】如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝∠EDC，则CF＝________．
【点拨】如图，连接EC，过点D作DH⊥EC于H.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝5.
∵AE＝3，
∴DE＝＝＝5，
∴DE＝DC.

∵DH⊥EC，∴∠CDH＝∠EDH，∴∠CDH＝∠EDC.
∵∠F＝∠EDC，∴∠CDH＝∠F.
∵∠BCE＋∠DCH＝90°，∠DCH＋∠CDH＝90°，
∴∠BCE＝∠CDH，
∴∠BCE＝∠F，∴EC∥AF，
∴＝，即＝，∴CF＝6.
【答案】6
三、解答题
19.如图,点E,F分别在线段AD,BC上,AB∥CD∥EF.已知BF＝4,CF＝6,AE＝5,求DE的长.

解:∵AB∥CD∥EF,
∴AEDE＝BFCF,即5DE＝46,解得DE＝152.
20.如图,已知AC∥FE∥BD,求证:AEAD+BEBC＝1.

证明:∵AC∥EF,∴BEBC＝BFBA.　①
∵FE∥BD,∴AEAD＝AFAB.　②
②+①,得AEAD+BEBC＝AFAB+BFAB＝ABAB＝1.
21.【中考·泰州】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点(与B，C不重合)，PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S.
(1)用含x的代数式表示AD的长；
(2)求S与x的函数解析式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围．

解：(1)∵PD∥AB，∴＝，∵AC＝3，BC＝4，CP＝x，∴＝，
∴CD＝x，∴AD＝AC－CD＝3－x，即AD＝－x＋3　
(2)根据题意得S＝AD·CP＝×(－x＋3)x＝－(x－2)2＋，
∴当x≥2时，S随x的增大而减小，又∵0＜x＜4，
∴当S随x增大而减小时，x的取值范围为2≤x＜4
22.【2021·鄂州】如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且∠ABE＝∠CDF.
(1)探究四边形BEDF的形状，并说明理由；

解：四边形BEDF为平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC.
∵∠ABE＝∠CDF，∴∠EBF＝∠EDF.
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC.
∴∠EDF＝∠DFC＝∠EBF.∴BE∥DF.
∵AD∥BC，
∴四边形BEDF为平行四边形．
(2)连接AC，分别交BE，DF于点G，H，连接BD交AC于点O.若＝，AE＝4，求BC的长．
解：设AG＝2a，∵＝，∴OG＝3a，AO＝5a.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO＝5a，∴CG＝8a.
∵AD∥BC，∴△AGE∽△CGB.∴＝＝.
∵AE＝4，∴BC＝16.
23.如图,O是△ABC内任意一点,DE∥AB,DF∥AC,EF∥BC,那么△ABC与△DEF相似吗?说明理由.

解:△ABC∽△DEF.
理由:∵DE∥AB,∴△ODE∽△OAB,
∴∠ODE＝∠OAB,∠OED＝∠OBA,DEAB＝ODOA＝OEOB.
同理可证∠ODF＝∠OAC,∠OFD＝∠OCA,∠OEF＝∠OBC,∠OFE＝∠OCB,DFAC＝ODOA＝OFOC,EFBC＝OEOB＝OFOC,
∴∠EDF＝∠BAC,∠DEF＝∠ABC,∠DFE＝∠ACB,DEAB＝DFAC＝EFBC,∴△ABC∽△DEF.
24.阅读与计算,请阅读以下材料,并完成相应的问题.
角平分线分线段成比例定理:如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC,则ABAC＝BDCD.下面是这个定理的部分证明过程.
证明:如图2,过点C作CE∥AD,交BA的延长线于点E……
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;
(2)如图3,在Rt△ABC中,AB＝3,BC＝4,∠ABC＝90°,AD平分∠BAC,求△ABD的周长.

解:(1)∵CE∥AD,∴ABAE＝BDCD,∠2＝∠ACE,∠1＝∠E.
∵AD平分∠BAC,∴∠1＝∠2,∴∠ACE＝∠E,
∴AE＝AC,∴ABAC＝BDCD.
(2)∵AB＝3,BC＝4,∠ABC＝90°,∴AC＝5.
∵AD平分∠BAC,∴ABAC＝BDCD,即35＝BDCD,
∴BD＝38BC＝32,
∴AD＝BD2+AB2＝322+32＝352,
∴△ABD的周长＝32+3+352＝9+352.