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初中人教版27.2.1 相似三角形的判定精品同步练习题
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这是一份初中人教版27.2.1 相似三角形的判定精品同步练习题，文件包含专题274相似三角形的判定与性质二举一反三人教版原卷版docx、专题274相似三角形的判定与性质二举一反三人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共87页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc25165" 【题型1 尺规作图与相似三角形综合运用】 PAGEREF _Tc25165 \h 1
\l "_Tc27128" 【题型2 三角板与相似三角形综合运用】 PAGEREF _Tc27128 \h 2
\l "_Tc23141" 【题型3 裁剪与相似三角形综合运用】 PAGEREF _Tc23141 \h 3
\l "_Tc11649" 【题型4 折叠与相似三角形综合运用】 PAGEREF _Tc11649 \h 6
\l "_Tc22258" 【题型5 判断与相似有关结论的正误】 PAGEREF _Tc22258 \h 7
\l "_Tc637" 【题型6 用相似三角形的判定与性质证明】 PAGEREF _Tc637 \h 8
\l "_Tc6069" 【题型7 用相似三角形的判定与性质求线段比值】 PAGEREF _Tc6069 \h 9
\l "_Tc8755" 【题型8 利用相似三角形的判定与性质求最值】 PAGEREF _Tc8755 \h 11
\l "_Tc12087" 【题型9 利用相似三角形的判定与性质解决几何动点问题】 PAGEREF _Tc12087 \h 12
【题型1 尺规作图与相似三角形综合运用】
【例1】（2023春·福建福州·九年级校考阶段练习）已知菱形ABCD中，E是BC边上一点．
(1)在BC的右侧求作△AEF，使得EF∥BD，且EF=12BD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若∠EAF=12∠ABC，求证：AE=2EF．
【变式1-1】（2023·陕西·九年级校考阶段练习）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，请你利用尺规在BC边上求一点P，使△PAB∽△ABC（不写画法，保留作图痕迹）
【变式1-2】（2023·陕西西安·西安行知中学校考模拟预测）如图，在△ABC中，AM∥BC．请用尺规作图法，在射线AM上求作一点D，使得△DCA∼△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式1-3】（2023春·河北保定·九年级统考期末）在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规在边AB上确定一点D，使△ACD∽△ABC，根据下列作图痕迹判断，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型2 三角板与相似三角形综合运用】
【例2】（2023春·上海·九年级专题练习）等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．
(1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；
(2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积；
(3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长．
【变式2-1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=23，AD=10，直角三角板的直角顶点P在AD上滑动，(点P与A，D不重合)，一直角边经过点C，另一直角边与射线AB交于点E．
(1)求证：△AEP∽△DPC；
(2)当∠CPD=30°时，求PE的长；
(3)是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍？若存在，求出BE的长；若不存在，请说明理由．
【变式2-2】（2023春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．则DP DQ（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他条件不变．
①如图2，若PQ＝5，求AP长．
②如图3，若BD平分∠PDQ．则DP的长为 ．
【变式2-3】（2023春·广东广州·九年级校考阶段练习）一副三角板按如图1放置，图2为简图，D为AB中点，E、F分别是一个三角板与另一个三角板直角边AC、BC的交点，已知AE=2，CE=5，连接DE，M为BC上一点，且满足∠CME=2∠ADE，EM= ．
【题型3 裁剪与相似三角形综合运用】
【例3】（2023春·全国·九年级期中）如图1所示，一个木板余料由一个边长为6的正方形和一个边长为2的正方形组成，甲、乙两人打算采用剪拼的办法，把余料拼成一个与它等积的正方形木板．
甲：如图2，沿虚线剪开可以拼接成所需正方形，并求得AM＝2．
乙：如图3，沿虚线剪开可以拼接成所需正方形，并求得AM＝32
下列说法正确的是（ ）
A．甲的分割方式不正确
B．甲的分割方式正确，AM的值求解不正确
C．乙的分割方式与所求AM的值都正确
D．乙的分割方式正确，AM的值求解不正确
【变式3-1】（2023·河北保定·统考二模）如图为三角形纸片ABC，其中D点和E点将AB三等分，F点为DE中点．若小慕从AB上的一点P，沿着与直线BC平行的方向将纸片剪开后，剪下的小三角形纸片面积为△ABC的13，则下列关于P点位置的叙述正确的是（ ）
A．在FE上，但不与F点也不与E点重合B．在DF上，但不与D点也不与F点重合
C．与E点重合D．与D点重合
【变式3-2】（2023·福建泉州·中考真题）（1）如图1是某个多面体的表面展开图．
①请你写出这个多面体的名称，并指出图中哪三个字母表示多面体的同一点；
②如果沿BC、GH将展开图剪成三块，恰好拼成一个矩形，那么△BMC应满足什么条件？（不必说理）
（2）如果将一个三棱柱的表面展开图剪成四块，恰好拼成一个三角形，如图2，那么该三棱柱的侧面积与表面积的比值是多少？为什么？（注：以上剪拼中所有接缝均忽略不计）
【变式3-3】（2023·吉林长春·一模）综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．
折一折：把边长为2的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF.如图①；点M为CF上一点，将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，展开后连接DN，MN，AN，如图②．
(1)图②中，∠CMD=______；线段NF=______．
(2)图②中，试判断△AND的形状，并给出证明．
剪一剪、折一折：将图②中的△AND剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点A'处，分别得到图③、图④．
(3)图③中，阴影部分的周长为______．
(4)图③中，若∠A'GN=80°，则∠A'HD=______°.
(5)图③中，相似三角形(包括全等三角形)共有______对．
(6)如图④，点A'落在边ND上，若A'N=2A'D，则AGAH=______．
【题型4 折叠与相似三角形综合运用】
【例4】（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，C′E与AD交于F，点N为DE中点，射线AN交CD边于点G，连接AE，若∠FAE=∠FEC，AB=15，BC=6，则DG长为______
【变式4-1】2023·上海·九年级假期作业）如图，在矩形ABCD中，AB=3，点E在边AB上，AE=2，连接DE，将△ADE沿着DE翻折，点A的对应点为P，连接EP、DP，分别交边BC于点F、G，如果BF=14BC，那么CG的长是 ．
【变式4-2】（2023·安徽·九年级专题练习）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）求证EG2＝12GF•AF；
（3）若AG＝3，EG＝5，求BE的长．
【变式4-3】（2023·安徽·模拟预测）如图，将矩形ABCD折叠，使点D落在AB上点D′处，折痕为AE；再次折叠，使点C落在ED′上点C′处，连接FC′并延长交AE于点G．若AB=8，AD=5，则FG长为（ ）
A．52B．29C．203D．4
【题型5 判断与相似有关结论的正误】
【例5】（2023春·湖北襄阳·九年级统考期中）如图所示，边长为4的正方形．ABCD．中，对角线，BD交于点O，E在线段OD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于点H，则下列结论：①EF=EC；②CF2=CG⋅CA；③BE⋅DH=16；④若BF=1，则DE=322，正确的是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④
【变式5-1】（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点C与AB延长线上的点Q重合．DE交BC于点F，交AB延长线于点E．DQ交BC于点P，DM⊥AB于点M，AM=4，则下列结论，①DQ=EQ，②BQ=3，③BP=158，④BD∥FQ．正确的是（ ）
A．①②③B．②④C．①③④D．①②③④
【变式5-2】（2023·山东泰安·统考二模）如图，正△ABC的边长为2，沿△ABC的边AC翻折得△ADC，连接BD交AC于点O，点M为BC上一动点，连接AM，射线AM绕点A逆时针旋转60°交BC于点N，连接MN、OM．以下四个结论：①△AMN是等边三角形：②MN的最小值是3；③当MN最小时S△CMN=18S菱形ABCD；④当OM⊥BC时，OA2=DN⋅AB．正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【变式5-3】（2023春·四川绵阳·九年级统考期末）如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，∠FOG=120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB，BC于D，E两点，连接DE．有下列四个结论：①OD=OE；②S△ODE=S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于433；④△BDE周长的最小值为6，其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【题型6 用相似三角形的判定与性质证明】
【例6】（2023春·安徽·九年级专题练习）在正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD上的点，连接EF，EF⊥FG且EF=FG．
(1)如图1，当点G在CD上时，求证：DG=BE；
(2)如图2，当点B与点E重合时，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2=MN⋅MD．
【变式6-1】（2023春·山东泰安·九年级统考期末）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在CB、AC的延长线上，∠ADE=60°．
(1)求证：AD2=AE⋅AC；
(2)求证：△ABD∽△DCE．
【变式6-2】（2023春·湖南益阳·九年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE=a．
(1)求BF的长（用含a的代数式表示）；
(2)连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：EA=EC．
【变式6-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE=14AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D．求证：BC＝2CD．
【题型7 用相似三角形的判定与性质求线段比值】
【例7】（2023·广东佛山·佛山市华英学校校考一模）把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E为AD的中点，连接BE交AC于点F．若CD＝2，则AFAC= ．
【变式7-1】（2023春·安徽宿州·九年级校考期中）如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=8，点E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE相交于点G，则AGGF的值是 ．
【变式7-2】（2023·安徽亳州·校联考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，F在BC边上，且EF=EC，垂足为点H，连接FG．
(1)若∠GCB=20°，求∠BEC的度数；
(2)求证：BG=2DE；
(3)若F为BC的中点，求GHHF的值．
【变式7-3】（2023·江苏苏州·统考三模）【问题探究】
课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：
如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是边DC，BC上的点，连接AE，DF，且AE⊥DF于点G，若AB=6，BC=8，求DFAE的值．
(1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．
【初步运用】
(2)如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，ABAC=34，点D为AC的中点，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，交BC于点F，求AFBD的值．
【灵活运用】
(3)如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，ABAD=34，AB=BC，AD=CD，点E，F分别在边AB，AD上，且DE⊥CF，垂足为G，则CFDE=__________________．
【题型8 利用相似三角形的判定与性质求最值】
【例8】（2023春·黑龙江大庆·九年级校考开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=1，AC=22 点D，E分别是边BC,AC上的动点，则DA+DE的最小值为（ ）
A．89B．169C．29D．1629
【变式8-1】（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是OD、OC上的两个动点，且EF=4，P是EF的中点，连接OP、PC、PD，若AC=12,BD=16，则PC+14PD的最小值为 ．
【变式8-2】（2023·广东广州·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3，E，F分别为AB，CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ于点H，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段DH长度的最小值为 ．
【变式8-3】（2023春·江苏镇江·九年级统考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，E是AB上一点，BE=2．F是BC上的动点，连接EF，H是CF上一点且HFCF=k（k为常数，k≠0），分别过点F，H作EF，BC的垂线，交点为G．设BF的长为x，GH的长为y．
(1)若x=4，y=6，则k的值是
(2)若k=1时，求y的最大值．
(3)在点F从点B到点C的整个运动过程中，若线段AD上存在唯一的一点G，求此时k的值．
【题型9 利用相似三角形的判定与性质解决几何动点问题】
【例9】（2023春·江苏宿迁·九年级南师附中宿迁分校校联考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=23，∠CAB=60°，点E是对角线AC上的一个动点，连接DE，以DE为斜边作Rt△DEF，使得∠DEF=60°，且点F和点A位于DE的两侧，当点E从点A运动到点C时，动点F的运动路径长是 ．
【变式9-1】（2023春·山东青岛·九年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=8，AD=10，AB和CD之间的距离是8，动点P在线段AB上从点A出发沿AB方向以每秒2个单位的速度匀速运动；动点Q在线段BC上从点B出发沿BC的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，过点P作PE⊥AB，交线段AD于点E，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒(0
(1)当BE平分∠ABC时，求t的值；
(2)连接CE，设四边形PBCE的面积为S，求出S与t的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使得CE∥QP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【变式9-2】（2023春·吉林白山·九年级校联考期中）如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，动点P从点A出发，沿折线AC−CB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，D是AB的中点，以PA，AD为邻边作▱APED，设点P的运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示线段PC的长；
(2)当点E落在边BC上时，求t的值；
(3)当点P在线段AC上运动时，连接PD，若△PDE为钝角三角形，求t的取值范围．
【变式9-3】（2023春·重庆永川·九年级重庆市永川中学校校考阶段练习）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是射线BA上一动点，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得线段CE，连接DE，点F是线段DE的中点，连接BF．
(1)如图1，若点D在线段BA延长线上，连接BE，若DE=6，求BF的长；
(2)如图2，若点D在线段AB上，连接CF，求证：CF=BF；
(3)如图3，点P是BC的中点，连接CF，AF，PF，若BC=4，当△ACF为等腰三角形时，求PF的长．（直接写出答案即可）
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc25165" 【题型1 尺规作图与相似三角形综合运用】 PAGEREF _Tc25165 \h 1
\l "_Tc27128" 【题型2 三角板与相似三角形综合运用】 PAGEREF _Tc27128 \h 2
\l "_Tc23141" 【题型3 裁剪与相似三角形综合运用】 PAGEREF _Tc23141 \h 3
\l "_Tc11649" 【题型4 折叠与相似三角形综合运用】 PAGEREF _Tc11649 \h 6
\l "_Tc22258" 【题型5 判断与相似有关结论的正误】 PAGEREF _Tc22258 \h 7
\l "_Tc637" 【题型6 用相似三角形的判定与性质证明】 PAGEREF _Tc637 \h 8
\l "_Tc6069" 【题型7 用相似三角形的判定与性质求线段比值】 PAGEREF _Tc6069 \h 9
\l "_Tc8755" 【题型8 利用相似三角形的判定与性质求最值】 PAGEREF _Tc8755 \h 11
\l "_Tc12087" 【题型9 利用相似三角形的判定与性质解决几何动点问题】 PAGEREF _Tc12087 \h 12
【题型1 尺规作图与相似三角形综合运用】
【例1】（2023春·福建福州·九年级校考阶段练习）已知菱形ABCD中，E是BC边上一点．
(1)在BC的右侧求作△AEF，使得EF∥BD，且EF=12BD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若∠EAF=12∠ABC，求证：AE=2EF．
【变式1-1】（2023·陕西·九年级校考阶段练习）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，请你利用尺规在BC边上求一点P，使△PAB∽△ABC（不写画法，保留作图痕迹）
【变式1-2】（2023·陕西西安·西安行知中学校考模拟预测）如图，在△ABC中，AM∥BC．请用尺规作图法，在射线AM上求作一点D，使得△DCA∼△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式1-3】（2023春·河北保定·九年级统考期末）在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规在边AB上确定一点D，使△ACD∽△ABC，根据下列作图痕迹判断，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型2 三角板与相似三角形综合运用】
【例2】（2023春·上海·九年级专题练习）等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．
(1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；
(2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积；
(3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长．
【变式2-1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=23，AD=10，直角三角板的直角顶点P在AD上滑动，(点P与A，D不重合)，一直角边经过点C，另一直角边与射线AB交于点E．
(1)求证：△AEP∽△DPC；
(2)当∠CPD=30°时，求PE的长；
(3)是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍？若存在，求出BE的长；若不存在，请说明理由．
【变式2-2】（2023春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．则DP DQ（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他条件不变．
①如图2，若PQ＝5，求AP长．
②如图3，若BD平分∠PDQ．则DP的长为 ．
【变式2-3】（2023春·广东广州·九年级校考阶段练习）一副三角板按如图1放置，图2为简图，D为AB中点，E、F分别是一个三角板与另一个三角板直角边AC、BC的交点，已知AE=2，CE=5，连接DE，M为BC上一点，且满足∠CME=2∠ADE，EM= ．
【题型3 裁剪与相似三角形综合运用】
【例3】（2023春·全国·九年级期中）如图1所示，一个木板余料由一个边长为6的正方形和一个边长为2的正方形组成，甲、乙两人打算采用剪拼的办法，把余料拼成一个与它等积的正方形木板．
甲：如图2，沿虚线剪开可以拼接成所需正方形，并求得AM＝2．
乙：如图3，沿虚线剪开可以拼接成所需正方形，并求得AM＝32
下列说法正确的是（ ）
A．甲的分割方式不正确
B．甲的分割方式正确，AM的值求解不正确
C．乙的分割方式与所求AM的值都正确
D．乙的分割方式正确，AM的值求解不正确
【变式3-1】（2023·河北保定·统考二模）如图为三角形纸片ABC，其中D点和E点将AB三等分，F点为DE中点．若小慕从AB上的一点P，沿着与直线BC平行的方向将纸片剪开后，剪下的小三角形纸片面积为△ABC的13，则下列关于P点位置的叙述正确的是（ ）
A．在FE上，但不与F点也不与E点重合B．在DF上，但不与D点也不与F点重合
C．与E点重合D．与D点重合
【变式3-2】（2023·福建泉州·中考真题）（1）如图1是某个多面体的表面展开图．
①请你写出这个多面体的名称，并指出图中哪三个字母表示多面体的同一点；
②如果沿BC、GH将展开图剪成三块，恰好拼成一个矩形，那么△BMC应满足什么条件？（不必说理）
（2）如果将一个三棱柱的表面展开图剪成四块，恰好拼成一个三角形，如图2，那么该三棱柱的侧面积与表面积的比值是多少？为什么？（注：以上剪拼中所有接缝均忽略不计）
【变式3-3】（2023·吉林长春·一模）综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．
折一折：把边长为2的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF.如图①；点M为CF上一点，将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，展开后连接DN，MN，AN，如图②．
(1)图②中，∠CMD=______；线段NF=______．
(2)图②中，试判断△AND的形状，并给出证明．
剪一剪、折一折：将图②中的△AND剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点A'处，分别得到图③、图④．
(3)图③中，阴影部分的周长为______．
(4)图③中，若∠A'GN=80°，则∠A'HD=______°.
(5)图③中，相似三角形(包括全等三角形)共有______对．
(6)如图④，点A'落在边ND上，若A'N=2A'D，则AGAH=______．
【题型4 折叠与相似三角形综合运用】
【例4】（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，C′E与AD交于F，点N为DE中点，射线AN交CD边于点G，连接AE，若∠FAE=∠FEC，AB=15，BC=6，则DG长为______
【变式4-1】2023·上海·九年级假期作业）如图，在矩形ABCD中，AB=3，点E在边AB上，AE=2，连接DE，将△ADE沿着DE翻折，点A的对应点为P，连接EP、DP，分别交边BC于点F、G，如果BF=14BC，那么CG的长是 ．
【变式4-2】（2023·安徽·九年级专题练习）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）求证EG2＝12GF•AF；
（3）若AG＝3，EG＝5，求BE的长．
【变式4-3】（2023·安徽·模拟预测）如图，将矩形ABCD折叠，使点D落在AB上点D′处，折痕为AE；再次折叠，使点C落在ED′上点C′处，连接FC′并延长交AE于点G．若AB=8，AD=5，则FG长为（ ）
A．52B．29C．203D．4
【题型5 判断与相似有关结论的正误】
【例5】（2023春·湖北襄阳·九年级统考期中）如图所示，边长为4的正方形．ABCD．中，对角线，BD交于点O，E在线段OD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于点H，则下列结论：①EF=EC；②CF2=CG⋅CA；③BE⋅DH=16；④若BF=1，则DE=322，正确的是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④
【变式5-1】（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点C与AB延长线上的点Q重合．DE交BC于点F，交AB延长线于点E．DQ交BC于点P，DM⊥AB于点M，AM=4，则下列结论，①DQ=EQ，②BQ=3，③BP=158，④BD∥FQ．正确的是（ ）
A．①②③B．②④C．①③④D．①②③④
【变式5-2】（2023·山东泰安·统考二模）如图，正△ABC的边长为2，沿△ABC的边AC翻折得△ADC，连接BD交AC于点O，点M为BC上一动点，连接AM，射线AM绕点A逆时针旋转60°交BC于点N，连接MN、OM．以下四个结论：①△AMN是等边三角形：②MN的最小值是3；③当MN最小时S△CMN=18S菱形ABCD；④当OM⊥BC时，OA2=DN⋅AB．正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【变式5-3】（2023春·四川绵阳·九年级统考期末）如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，∠FOG=120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB，BC于D，E两点，连接DE．有下列四个结论：①OD=OE；②S△ODE=S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于433；④△BDE周长的最小值为6，其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【题型6 用相似三角形的判定与性质证明】
【例6】（2023春·安徽·九年级专题练习）在正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD上的点，连接EF，EF⊥FG且EF=FG．
(1)如图1，当点G在CD上时，求证：DG=BE；
(2)如图2，当点B与点E重合时，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2=MN⋅MD．
【变式6-1】（2023春·山东泰安·九年级统考期末）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在CB、AC的延长线上，∠ADE=60°．
(1)求证：AD2=AE⋅AC；
(2)求证：△ABD∽△DCE．
【变式6-2】（2023春·湖南益阳·九年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE=a．
(1)求BF的长（用含a的代数式表示）；
(2)连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：EA=EC．
【变式6-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE=14AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D．求证：BC＝2CD．
【题型7 用相似三角形的判定与性质求线段比值】
【例7】（2023·广东佛山·佛山市华英学校校考一模）把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E为AD的中点，连接BE交AC于点F．若CD＝2，则AFAC= ．
【变式7-1】（2023春·安徽宿州·九年级校考期中）如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=8，点E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE相交于点G，则AGGF的值是 ．
【变式7-2】（2023·安徽亳州·校联考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，F在BC边上，且EF=EC，垂足为点H，连接FG．
(1)若∠GCB=20°，求∠BEC的度数；
(2)求证：BG=2DE；
(3)若F为BC的中点，求GHHF的值．
【变式7-3】（2023·江苏苏州·统考三模）【问题探究】
课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：
如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是边DC，BC上的点，连接AE，DF，且AE⊥DF于点G，若AB=6，BC=8，求DFAE的值．
(1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．
【初步运用】
(2)如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，ABAC=34，点D为AC的中点，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，交BC于点F，求AFBD的值．
【灵活运用】
(3)如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，ABAD=34，AB=BC，AD=CD，点E，F分别在边AB，AD上，且DE⊥CF，垂足为G，则CFDE=__________________．
【题型8 利用相似三角形的判定与性质求最值】
【例8】（2023春·黑龙江大庆·九年级校考开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=1，AC=22 点D，E分别是边BC,AC上的动点，则DA+DE的最小值为（ ）
A．89B．169C．29D．1629
【变式8-1】（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是OD、OC上的两个动点，且EF=4，P是EF的中点，连接OP、PC、PD，若AC=12,BD=16，则PC+14PD的最小值为 ．
【变式8-2】（2023·广东广州·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3，E，F分别为AB，CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ于点H，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段DH长度的最小值为 ．
【变式8-3】（2023春·江苏镇江·九年级统考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，E是AB上一点，BE=2．F是BC上的动点，连接EF，H是CF上一点且HFCF=k（k为常数，k≠0），分别过点F，H作EF，BC的垂线，交点为G．设BF的长为x，GH的长为y．
(1)若x=4，y=6，则k的值是
(2)若k=1时，求y的最大值．
(3)在点F从点B到点C的整个运动过程中，若线段AD上存在唯一的一点G，求此时k的值．
【题型9 利用相似三角形的判定与性质解决几何动点问题】
【例9】（2023春·江苏宿迁·九年级南师附中宿迁分校校联考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=23，∠CAB=60°，点E是对角线AC上的一个动点，连接DE，以DE为斜边作Rt△DEF，使得∠DEF=60°，且点F和点A位于DE的两侧，当点E从点A运动到点C时，动点F的运动路径长是 ．
【变式9-1】（2023春·山东青岛·九年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=8，AD=10，AB和CD之间的距离是8，动点P在线段AB上从点A出发沿AB方向以每秒2个单位的速度匀速运动；动点Q在线段BC上从点B出发沿BC的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，过点P作PE⊥AB，交线段AD于点E，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒(0
(1)当BE平分∠ABC时，求t的值；
(2)连接CE，设四边形PBCE的面积为S，求出S与t的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使得CE∥QP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【变式9-2】（2023春·吉林白山·九年级校联考期中）如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，动点P从点A出发，沿折线AC−CB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，D是AB的中点，以PA，AD为邻边作▱APED，设点P的运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示线段PC的长；
(2)当点E落在边BC上时，求t的值；
(3)当点P在线段AC上运动时，连接PD，若△PDE为钝角三角形，求t的取值范围．
【变式9-3】（2023春·重庆永川·九年级重庆市永川中学校校考阶段练习）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是射线BA上一动点，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得线段CE，连接DE，点F是线段DE的中点，连接BF．
(1)如图1，若点D在线段BA延长线上，连接BE，若DE=6，求BF的长；
(2)如图2，若点D在线段AB上，连接CF，求证：CF=BF；
(3)如图3，点P是BC的中点，连接CF，AF，PF，若BC=4，当△ACF为等腰三角形时，求PF的长．（直接写出答案即可）
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