人教版新课标A必修43.2 简单的三角恒等变换课时作业

这是一份人教版新课标A必修43.2 简单的三角恒等变换课时作业，共5页。

1．计算sin 105°cs 75°的值是( )．
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(2),4)
解析 sin 105°cs 75°＝sin 75°cs 75°＝eq \f(1,2)sin 150°＝eq \f(1,4)，故选B.
答案 B
2．(2012·佛山高一检测)使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋eq \r(3)cs(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )．
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,2) D.eq \f(2π,3)
解析 f(x)＝sin(2x＋θ)＋eq \r(3)cs(2x＋θ)
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)＋θ)).
当θ＝eq \f(2,3)π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin 2x.
答案 D
3．函数f(x)＝sin x－eq \r(3)cs x(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )．
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－π，－\f(5π,6))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)，－\f(π,6)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，0)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))
解析 f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(5,6)π))(k∈Z)，
令k＝0得增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5,6)π)).
答案 D
4．化简 eq \r(\f(1＋cs3π－θ,2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)<θ<2π))＝________.
解析 原式＝ eq \r(\f(1－cs θ,2))＝ eq \r(sin2\f(θ,2))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2))).
∵eq \f(3π,2)<θ<2π，∴eq \f(3,4)π答案 sin eq \f(θ,2)
5．已知函数f(x)＝eq \r(a)sin[(1－a)x]＋cs[(1－a)x]的最大值为2，则f (x)的最小正周期为________．
解析 ∵f(x)＝eq \r(a＋1)sin[(1－a)x＋φ]，
由已知得eq \r(a＋1)＝2，所以a＝3.
∴f(x)＝2sin(－2x＋φ)，∴T＝eq \f(2π,|－2|)＝π.
答案 π
6．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝3，求5sin2θ－3sin θcs θ＋2cs2θ的值．
解 tan θ＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－\f(π,4)))
＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－tan \f(π,4),1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))·tan \f(π,4))＝eq \f(1,2)，
∴原式＝eq \f(5sin2θ－3sin θcs θ＋2cs2θ,sin2θ＋cs2θ)
＝eq \f(5tan2θ－3tan θ＋2,tan2θ＋1)＝eq \f(7,5).
综合提高 限时25分钟
7．在△ABC中，若sin C＝2cs Asin B，则此三角形必是( )．
A．等腰三角形 B．正三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析 因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acs B＋cs Asin B，所以已知方程可化为sin Acs B－cs Asin B＝0，即sin(A－B)＝0.又－π答案 A
8．(2012·汕尾高一检测)若cs α＝－eq \f(4,5)，α是第三象限的角，则eq \f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))等于( )．
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．2 D．－2
解析 ∵α是第三象限角，cs α＝－eq \f(4,5)，∴sin α＝－eq \f(3,5).
∴eq \f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))＝eq \f(1＋\f(sin\f(α,2),cs\f(α,2)),1－\f(sin\f(α,2),cs\f(α,2)))＝eq \f(cs\f(α,2)＋sin\f(α,2),cs\f(α,2)－sin\f(α,2))
＝eq \f(cs\f(α,2)＋sin\f(α,2),cs\f(α,2)－sin\f(α,2))·eq \f(cs\f(α,2)＋sin\f(α,2),cs\f(α,2)＋sin\f(α,2))
＝eq \f(1＋sin α,cs α)＝eq \f(1－\f(3,5),－\f(4,5))＝－eq \f(1,2).
答案 A
9．化简eq \f(sin 4x,1＋cs 4x)·eq \f(cs 2x,1＋cs 2x)·eq \f(cs x,1＋cs x)＝________.
解析 原式＝eq \f(2sin 2xcs 2x,2cs22x)·eq \f(cs 2x,1＋cs 2x)·eq \f(cs x,1＋cs x)＝eq \f(sin 2x,1＋cs 2x)·eq \f(cs x,1＋cs x)＝eq \f(2sin xcs x,2cs2x)·eq \f(cs x,1＋cs x)＝eq \f(sin x,1＋cs x)＝tan eq \f(x,2).
答案 tan eq \f(x,2)
10．(2012·天津高一检测)如果a＝(cs α＋sin α，2 008)，b＝(cs α－sin α，1)，且a∥b，那么eq \f(1,cs 2α)＋tan 2α＋1的值是________．
解析 由a∥b，得cs α＋sin α＝2 008(cs α－sin α)，∴eq \f(cs α＋sin α,cs α－sin α)＝2 008.
eq \f(1,cs 2α)＋tan 2α＝eq \f(1,cs 2α)＋eq \f(sin 2α,cs 2α)＝eq \f(1＋sin 2α,cs2α－sin2α)＝eq \f(sin α＋cs α2,cs α＋sin αcs α－sin α)＝eq \f(cs α＋sin α,cs α－sin α)＝2 008.
∴eq \f(1,cs 2α)＋tan 2α＋1＝2 008＋1＝2 009.
答案 2 009
11．已知函数f(x)＝ eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
解 (1)∵f(x)＝eq \r(3)sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))＋1－cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))
＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin 2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))－\f(1,2)cs 2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))＋1
＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))－\f(π,6)))＋1
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋1，∴T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)当f(x)取得最大值时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＝1，
有2x－eq \f(π,3)＝2kπ＋eq \f(π,2)，即x＝kπ＋eq \f(5π,12)(k∈Z)，
∴所求x的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝kπ＋\f(5π,12)，k∈Z)).
12．(创新拓展)已知向量m＝(cs θ，sin θ)和n＝(eq \r(2)－sin θ，cs θ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝eq \f(8\r(2),5)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)＋\f(π,8)))的值．
解 m＋n＝(cs θ－sin θ＋eq \r(2)，cs θ＋sin θ)，
|m＋n|＝eq \r(cs θ－sin θ＋\r(2)2＋cs θ＋sin θ2)
＝eq \r(4＋2\r(2)cs θ－sin θ)＝ eq \r(4＋4cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))
＝2 eq \r(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))).由已知|m＋n|＝eq \f(8\r(2),5)，得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(7,25).
又cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)＋\f(π,8)))－1，
所以cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)＋\f(π,8)))＝eq \f(16,25).
∵π<θ<2π，∴eq \f(5π,8)∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)＋\f(π,8)))<0.
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)＋\f(π,8)))＝－eq \f(4,5).