高中数学人教版新课标A必修43.2 简单的三角恒等变换同步达标检测题

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第2课时　三角恒等变换的应用基础巩固1.若函数f(x)=-sin2x+(x∈R),则f(x)是(　　)A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为2π的偶函数D.最小正周期为π的偶函数解析:f(x)=-cos 2x.故选D.答案:D2.函数y=cos2-sin2是(　　)A.周期为π的奇函数B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数解析:y=cos2-sin2=cos 2=-sin 2x,则其为奇函数,周期T==π.答案:A3.函数y=的最小正周期等于(　　)A. B.π C.2π D.3π解析:y==tan,T==2π.答案:C4.函数y=sin 2x+sin2x的值域是(　　)A.B.C.D.解析:∵y=sin 2x+sin2x=sin 2x+sin,∴值域为.答案:C5.设函数f(x)=2cos2ωx+sin(其中ω>0),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为,则ω的值为　　　　　. 解析:f(x)=1+cos 2ωx+sin 2ωx-cos 2ωx=sin+1.由2ωx+=2kπ+(k∈Z),得ωx=kπ+(k∈Z).又ω>0,∴当k=0时,f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x=,故ω=1.答案:16.函数f(x)=sin x-cos x的单调递增区间是　　　　　. 解析:f(x)=2=2sin,令-+2kπ≤x-+2kπ(k∈Z),则-+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z).即单调递增区间是(k∈Z).答案:(k∈Z)7.如图,圆心角为直角的扇形AOB,半径OA=2,点C是上任一点,且CE⊥OA于点E,CF⊥OB于点F,设∠AOC=x,矩形OECF的面积为f(x).求:(1)f(x)的解析式;(2)矩形OECF面积的最大值.解:(1)∵f(x)=OE·EC=OCcos x·OCsin x=4sin xcos x=2sin 2x,∴f(x)=2sin 2x,x∈.(2)∵f(x)=2sin 2x,x∈,∴0<2x<π.∴当x=时,f(x)取得最大值2,即矩形OECF面积的最大值为2.8.已知函数f(x)=2sin2x-cos.(1)求f的值;(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.解:(1)f(x)=2sin2x-cos=2sin2x+sin 2x=1-cos 2x+sin 2x=sin+1,所以fsin+1=1.(2)由(1)得f(x)=sin+1,所以周期T==π,令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故函数f(x)的单调递增区间为,kπ+(k∈Z).能力提升1.设奇函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos (ωx+φ)ω>0,|φ|<的最小正周期为π,则(　　)A.f(x)在上单调递减B.f(x)在上单调递减C.f(x)在上单调递增D.f(x)在上单调递增解析:f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=sin,∵函数的最小正周期是π,∴T==π,∴ω=2.∵f(x)是奇函数,∴φ+=kπ,k∈Z,即φ=kπ-,k∈Z.∵|φ|<,∴当k=0时,φ=-,即f(x)=sin 2x,则f(x)在上单调递减,故选B.答案:B2.已知函数f(x)=sin ωxcos ωx-cos2ωx(ω>0)的最小正周期为,则ω=(　　)A.1 B.2 C.3 D.4解析:f(x)=sin 2ωx-=sin 2ωx-cos 2ωx-=sin,则,∴ω=2.答案:B3.关于函数f(x)=sin 2x-cos 2x,有下列命题:①函数y=f(x)的最小正周期为π;②直线x=是y=f(x)图象的一条对称轴;③点是y=f(x)图象的一个对称中心;④将y=f(x)的图象向左平移个单位长度,可得到y=sin 2x的图象.其中真命题的序号是　　　　　. 解析:f(x)=sin 2x-cos 2x=sin,则T==π;fsin=1,f不是函数f(x)的最值,则直线x=不是y=f(x)的图象的一条对称轴;fsin=0,则点是y=f(x)的图象的一个对称中心;将y=f(x)的图象向左平移个单位长度,可得到y=sinsin的图象,不是y=sin 2x的图象,故①③正确,②④错误.答案:①③4.在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,则cos 2θ的值等于　　　　　. 答案:5.函数f(x)=sin+cos的最大值为　　　　　. 解析:函数f(x)=sin+cos=sin+cos=sin+sinsin.答案:6.已知函数f(x)=.(1)求f(x)的定义域及最小正周期;(2)求f(x)的单调递增区间.解:(1)由sin x≠0,得x≠kπ(k∈Z),故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}因为f(x)==2cos x(sin x-cos x)=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以f(x)的最小正周期T==π.(2)函数y=sin x的单调递增区间为(k∈Z).由2kπ-≤2x-≤2kπ+,x≠kπ(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+,x≠kπ(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).7.★已知函数f(x)=sin 2x-2sin2x,(1)若点P(1,-)在角α的终边上,求f(α)的值;(2)若x∈,求f(x)的值域.解:(1)因为点P(1,-)在角α的终边上,所以sin α=-,cos α=.所以f(α)=sin 2α-2sin2α=2sin αcos α-2sin2α=2-2×=-3.(2)f(x)=sin 2x-2sin2x=sin 2x+cos 2x-1=2sin-1,因为x∈,所以-≤2x+.所以-≤sin≤1.所以f(x)的值域为[-2,1].