人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换同步练习题

这是一份人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换同步练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1.()在△ABC中,若sin Asin B=cs2C2,则△ABC是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
2.()已知函数f(x)=sin 2x-2sin2x,给出下列四个结论:
①函数f(x)的最小正周期是2π;
②函数f(x)的图象关于直线x=π8对称;
③函数f(x)的图象可由函数y=2sin 2x的图象向左平移π4个单位长度,再向下平移1个单位长度得到.
其中正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(2021四川凉山州高一第一次诊断,)设函数f(x)=sin xcsx-π4-24,若对任意x∈R都满足f(c+x)=f(c-x),则c的值可以是( )
A.π8 B.3π8C.π2 D.5π8
4.(2021天津六校高一期末联考,)已知A是函数f(x)=2sin2018x+π4+cs2018x-π4的最大值,若存在实数x1,x2,使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则A·|x1-x2|的最小值为( )
A.11009 B.π1009C.3π2018 D.2π1009
二、填空题
5.(2020广东惠州高三调研,)函数f(x)=sin x+3cs x在[0,π]上的单调递减区间为 .
6.(2019广东东莞高一下期末,)已知y=sin θ+2cs θ,且θ∈(0,π),则当y取得最大值时,sin θ= .
7.(2020浙江杭州高级中学高一上期末,)函数y=cs x-sin2x-cs 2x+74的值域为 ;函数f(x)=3−sinx2+sinx的值域为 .
三、解答题
8.(2020湖北武昌高一上期末,)(1)求4cs 50°-tan 40°的值;
(2)已知3tan α=-2tanα+π4,求cs2α+π4的值.
9.(2020福建莆田第二十四中学高一开学考试,)请从①函数f(x)=cs ωxsinωx+π6-14(ω>0);②向量m=(3sin ωx,cs 2ωx),n=12csωx,14,且ω>0,f(x)=m·n;③函数f(x)=12sin(2ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的图象经过点π6,12这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.
已知 ,且函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.
(1)若0<θ<π2,且sin θ=12,求f(θ)的值;
(2)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递减区间.
答案全解全析
一、选择题
1.A ∵A+B+C=π,∴cs2C2=12+12cs C=12+12cs[π-(A+B)]=12-12cs(A+B)=12-
12cs Acs B+12sin Asin B,
∴sin Asin B=12-12cs Acs B+12sin A·sin B,∴cs(A-B)=1.∵0∴-π2.B 由题意得,f(x)=sin 2x-2sin2x=sin 2x+cs 2x-1=2sin2x+π4-1,则其最小正周期T=2π2=π,故①不正确;令2x+π4=π2+kπ(k∈Z),得x=π8+kπ2(k∈Z),当k=0时,x=π8,所以函数f(x)的图象关于直线x=π8对称,故②正确;将函数y=2sin 2x的图象向左平移π4个单位长度,再向下平移1个单位长度得到函数y=2sin2x+π2-1的图象,得不到函数f(x)的图象,故③不正确.故只有1个结论正确,故选B.
3.B f(x)=sin xcsx-π4-24=sin x·22csx+22sinx-24=24sin 2x+24(1-
cs 2x)-24=24sin 2x-24cs 2x=12sin2x-π4,
由对任意x∈R都满足f(c+x)=f(c-x),
得直线x=c为函数f(x)图象的对称轴.
令2x-π4=π2+kπ,k∈Z,
解得x=3π8+kπ2,k∈Z.
当k=0时,x=3π8,所以c的值可以为3π8.
C ∵f(x)=2sin2018x+π4+cs2018x-π4=2sin 2 018x+
2cs 2 018x+22·cs 2 018x+22sin 2 018x
=322cs2018x+22sin2018x
=3sin2018x+π4,
∴A=f(x)max=3,f(x)min=-3,f(x)的最小正周期T=2π2018=π1009.
又存在实数x1,x2,使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,
∴f(x2)=f(x)max=3,f(x1)=f(x)min=-3,
∴|x1-x2|的最小值为12T=π2018,又A=3,
∴A·|x1-x2|的最小值为3π2018.故选C.
二、填空题
5.答案 π6,π
解析 由题意得f(x)=212sinx+32csx=2sinx+π3,令2kπ+π2≤x+π3≤2kπ+3π2,k∈Z,得2kπ+π6≤x≤2kπ+7π6,k∈Z,因为x∈[0,π],所以函数的单调递减区间为π6,π.
6.答案 55
解析 令y=sin θ+2cs θ=5sin(θ+φ),其中tan φ=2.
当y取得最大值时,θ+φ=2kπ+π2,k∈Z,
则φ=2kπ+π2-θ,k∈Z,
∴tan2kπ+π2-θ=2,k∈Z,
即tanπ2-θ=2,
∴1tanθ=2,∴tan θ=12.
∵θ∈(0,π),∴sin θ=55.
7.答案 -14,2;23,4
解析 y=cs x-sin2x-cs 2x+74
=cs x-1+cs2x-2cs2x+1+74
=-cs2x+cs x+74
=-csx-122+2.
∵-1≤cs x≤1,∴ymax=2,ymin=-14,
∴其值域为-14,2.
f(x)=3−sinx2+sinx=5−(2+sinx)2+sinx=52+sinx-1.
∵-1≤sin x≤1,∴1≤2+sin x≤3,∴13≤12+sinx≤1,∴53≤52+sinx≤5,∴23≤52+sinx-1≤4,∴其值域为23,4.
三、解答题
8.解析 (1)4cs 50°-tan 40°
=4sin40°cs40°−sin40°cs40°
=2sin80°−sin40°cs40°
=2cs10°−sin(30°+10°)cs40°
=332cs10°−12sin10°cs40°
=3cs40°cs40°=3.
(2)因为3tan α=-2tan α+π4=-2(1+tanα)1−tanα,所以tan α=2或tan α=-13.
cs2α+π4=22(cs 2α-sin 2α)
=22·cs2α-sin2α-2sinαcsαsin2α+cs2α
=22·1−tan2α-2tanαtan2α+1.
将tan α=-13和tan α=2分别代入上式,得cs2α+π4=±7210.
9.解析 选条件①:因为f(x)=cs ωx·sinωx+π6-14
=cs ωxsinωxcsπ6+csωxsinπ6-14
=32sin ωxcs ωx+12cs2ωx-14
=34sin 2ωx+14cs 2ωx
=1232sin2ωx+12cs2ωx
=12sin2ωx+π6,
因为函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2,所以f(x)的最小正周期T=π,又T=2π2ω,所以ω=1,
所以f(x)=12sin2x+π6.
选条件②:因为m=(3sin ωx,cs 2ωx),n=
12csωx,14,
所以f(x)=m·n=32sin ωxcs ωx+14·cs 2ωx=34sin 2ωx+14cs 2ωx
=12sin2ωx+π6.
因为函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2,所以f(x)的最小正周期T=π,又T=2π2ω,所以ω=1,
所以f(x)=12sin2x+π6.
选条件③:因为函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2,所以f(x)的最小正周期T=π,又T=2π2ω,所以ω=1,所以f(x)=12sin(2x+φ).
又因为函数f(x)的图象经过点π6,12,所以12=12sin2×π6+φ.
因为|φ|<π2,所以φ=π6,
所以f(x)=12sin2x+π6.
(1)因为0<θ<π2,sin θ=12,所以θ=π6.
所以f(θ)=f π6=12sin π2=12.
(2)令π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z,
得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z,
令k=0,得π6≤x≤2π3,
令k=1,得7π6≤x≤5π3,
所以函数f(x)在[0,2π]上的单调递减区间为π6,2π3,7π6,5π3.