必修42.5 平面向量应用举例当堂检测题

【巩固练习】

1．设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，则与(　　)

A．反向平行       B．同向平行

C．互相垂直       D．既不平行也不垂直

2．设、、是单位向量，且·=0，则(―)·(―)的最小值为（    ）

A．―2    B．    C．―1    D．

3．若平行四边形满足,则平行四边形一定是（    ）

A．正方形       B．矩形        C． 菱形       D．等腰梯形

4．一质点受到平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状状，已知，成60°角，且，的大小分别为2和4，则的大小为（    ）

A．6    B．2    C．    D．

5．在水流速度为自西向东，10km/h的河中，如果要使船以10km/h的速度从河南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（   ）

A．北偏西，20km/h          B．北偏西，20km/h  

C．北偏东，20km/h          D．北偏东，20km/h

6．已知非零向量与满足且，则为（    ）

A．三边均不相等的三角形          B．直角三角形       

C． 等腰非等边三角形             D．等边三角形

7．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且，，，则点O，N，P依次是△ABC的（    ）

A．重心、外心、垂心    B．垂心、外心、内心

C．外心、重心、垂心    D．外心、重心、内心

8.已知向量≠，||=1，对任意t∈R，恒有|-t|≥|-|，则(     )

A.⊥       B.⊥(-)   　　 C.⊥(-)   　　D.(＋)⊥(-)

9．如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则x=________，y=________。

10．如图，在正六边形ABCDEF中，有下列四个论断：

    ①；②；

③；④

其中正确的序号是________。（写出所有正确的序号）

11．一艘船以5 km / h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成30°角，则水流速度为________km / h。

12．夹角为的两个力和作用于同一点，且，则和的合力的大小为            

          ，与的夹角为           。

13．已知两恒力F1=（3，4），F2=（6，―5）作用于同一质点，使之由点A（20，15）移动到点B（7，0）。试求：

（1）力F1，F2分别对质点所做的功；

（2）F1，F2的合力对质点所做的功。

14．如图，边长为2的正方形OABC的顶点O在对角线OB上，DE⊥OA于点E，DF⊥AB于点F，连接CD、EF。

（1）求证：CD⊥EF；

（2）当OD=OC时，求经过点C且与向量平行的直线的方程。

15．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量，又点

(1)若且，求向量；

(2)若向量与向量共线，当时，且取最大值为4时，求.

【答案与解析】

1．【答案】A

【解析】由向量的三角形法则得：，，，上面三式相加得：。

2．【答案】D

【解析】  ∵·=0，且，，均为单位向量，、、

∴，||=1。

∴(―)·(―)= ·―(+)·+2。

设+与的夹角为，

则。

故(―)·(―)的最小值为。

3. 【答案】B

4．【答案】D

【解析】，∴，∴。

5．【答案】A

6. 【答案】D

【解析】设, ,则| |+| |=1。

由已知（+）

，

B=C

又由已知·=

| |·| |，，又

，为等边三角形。

7．【答案】C 

【解析】 如图，∵，∴。

依向量加法的平行四边形法则，知，故N为重心。

∵，∴，

同理，，∴点P为△ABC的垂心。

由，知O为△ABC的外心。

8. 【答案】C

【解析】已知向量≠，||=1，对任意t∈R，恒有|-t|≥|-|

即 |-t|2≥|-|2    ∴

即

9．【答案】 

【解析】 作DF⊥AB交AB的延长线于点F，设AB=AC=1，则，

∵∠DEB=60°，∴，

又∠DBF=180°―45°―90°=45°，

∴，

故，。

10．【答案】①②④

【解析】对于①，；对于②，令，，以和为邻边的四边形为平行四边形，AD正好为其对角线；

对于③，；

对于④，且，设，，

。即，。

11．【答案】 

【解析】如图，船速v1=5，水流v2，实际速度v=10，∴

12．【答案】 

13．【解析】（1），从而W1=F1·s=（3，4）·（―13，－15）=3×（－13）+4×（―15）=―99，W2=F2·s=（6，―5）·（―13，―15）=6×（―13）+（―5）×（―15）=―3。

    （2）W=（F1+F2）·s=F1·s+F2·s=W1+W2=―102。

14．（1）【证明】根据题意，，

设，则，，，

，

因为，

所以，因此CD⊥EF。

（2）解：当OD=OC时，即，

∴，，即，

所以可设直线方程为，

又直线经过点C（0，2）。

所以直线的方程为。

15．【解析】

又，得.

或

与向量共线，

，当时，取最大值为  

由，得，此时

.