高二新课程数学第三章《数系的扩充与复数的引入》章《末质量评估（新人教A版）选修1-2 试卷

章末质量评估(三)

(时间：100分钟　满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的)

1．a＝0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的

(　　)．

A．充分但不必要条件   B．必要但不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

解析　复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.

答案　B

2．复数2＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a2－b2的值为

(　　)．

A．0  B．1  C．2  D．－1

解析　2＝＝－i＝a＋bi.

所以a＝0，b＝－1，所以a2－b2＝0－1＝－1.

答案　D

3．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·是实数，则实数t等于

(　　)．

A.   B. 

C．－   D．－

解析　z1·＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i.因为z1·是实数，所以4t－3＝0，所以t＝.因此选A.

答案　A

4．如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为

(　　)．

A．3＋i   B．3－i 

C．1－3i   D．－1＋3i

解析　O＝O＋O＝1＋2i－2＋i＝－1＋3i，所以C对应的复数为－1＋3i.

答案　D

5．设z∈C，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在

(　　)．

A．实轴上   B．虚轴上

C．直线y＝±x(x≠0)上   D．以上都不对

解析　设z＝x＋yi(x，y∈R)，

则z2＝(x＋yi)2＝x2－y2＋2xyi.

∵z2为纯虚数，∴

∴y＝±x(x≠0)．

答案　C

6．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R，x≥)，满足|z－1|＝x，那么z在复平面上对应的点(x，y)的轨迹是

(　　)．

A．圆   B．椭圆

C．双曲线   D．抛物线

解析　∵z＝x＋yi(x，y∈R，x≥)，满足|z－1|＝x，

∴(x－1)2＋y2＝x2，故y2＝2x－1.

答案　D

7．当z＝－时，z100＋z50＋1的值等于

(　　)．

A．1   B．－1 

C．i   D．－i

解析　∵z2＝2＝＝－i.

∴z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝i50－i25＋1＝－i.

答案　D

8．复数z在复平面内对应的点为A，将点A绕坐标原点，按逆时针方向旋转，再向左平移一个单位，向下平移一个单位，得到B点，此时点B与点A恰好关于坐标原点对称，则复数z为

(　　)．

A．－1   B．1 

C．i   D．－i

解析　设z＝a＋bi，B点对应的复数为z1，则z1＝(a＋bi)i－1－i＝(－b－1)＋(a－1)i，

∵点B与点A恰好关于坐标原点对称，

∴

∴ ∴z＝1.

答案　B

9．如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋1＋i|的最小值是

(　　)．

A．1   B. 

C．2   D.

解析　|z＋i|＋|z－i|＝2，则点Z在以(0,1)和(0，－1)为端点的线段上，|z＋1＋i|表示点Z到(－1，－1)的距离．由图知最小值为1.

答案　A

10．设z1，z2是复数，则下列结论中正确的是

(　　)．

A．若z＋z>0，则z>－z

B．|z1－z2|＝

C．z＋z＝0⇔z1＝z2＝0

D．|z|＝|1|2

解析　A错，反例：z1＝2＋i，z2＝2－i；

B错，反例：z1＝2＋i，z2＝2－i；

C错，反例：z1＝1，z2＝i；

D正确，z1＝a＋bi，

则|z|＝a2＋b2，|1|2＝a2＋b2，

故|z|＝|1|2.

答案　D

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把正确的答案填在题中横线上)

11．在复平面内，已知复数z＝x－i所对应的点都在单位圆内，则实数x的取值范围是________．

解析　∵z对应的点Z都在单位圆内，

∴|OZ|<1，即 <1.

∴x2＋<1，∴x2<，∴－<x<.

答案　－<x<

12．定义运算＝ad－bc，则对复数z＝x＋yi(x，y∈R)符合条件＝3＋2i的复数z等于________．

解析　由定义运算，得＝2zi－z＝3＋2i，则z＝＝＝－i.

答案　－i

13．设x，y为实数，且＋＝，则x＋y＝

________.

解析　＋＝⇒＋＝⇒x(1＋i)＋y(1＋2i)＝(1＋3i)⇒解得

所以x＋y＝4.

答案　4

14．已知复数z0＝3＋2i，复数z满足z·z0＝3z＋z0，则复数z＝________.

解析　z＝＝＝＝1－i

答案　1－i

三、解答题(本题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(10分)若f(z)＝2z＋－3i，f(＋i)＝6－3i，试求f(－z)．

解　f(z)＝2z＋－3i，

∴f(＋i)＝2(＋i)＋＋i－3i

＝2＋2i＋z－i－3i

＝2＋z－2i.

又知f(＋i)＝6－3i，

∴2＋z－2i＝6－3i，

设z＝a＋bi(a、b∈R)，则＝a－bi，

∴2(a－bi)＋(a＋bi)－2i＝6－3i，

即3a－(b＋2)i＝6－3i，

由复数相等的定义，得　解得

∴z＝2＋i.

故f(－z)＝f(－2－i)＝2(－2－i)＋(－2＋i)－3i

＝－6－4i.

16．(10分)设复数z＝，若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a、b的值．

解　z＝＝

＝＝＝1－i.

将z＝1－i代入z2＋az＋b＝1＋i，得

(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，(a＋b)－(a＋2)i＝1＋i，

所以

所以

17．(10分)已知z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

解　设z＝x＋yi(x，y∈R)，

∵z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.

∵＝＝(x－2i)(2＋i)

＝(2x＋2)＋(x－4)i.

由题意得x＝4，∴z＝4－2i.

∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i.

根据条件，可知，解得2<a<6.

∴实数a的取值范围是(2,6)．

18．(12分)在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.

(1)求A，B，A对应的复数；

(2)判断△ABC的形状；

(3)求△ABC的面积．

解　(1)A对应的复数为

zB－zA＝(2＋i)－1＝1＋i.

B对应的复数为

zC－zB＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.

A对应的复数为

zC－zA＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.

(2)|A|＝|1＋i|＝，

|B|＝|－3＋i|＝，

|A|＝|－2＋2i|＝.

∴|A|2＋|A|2＝|B|2，

∴∠A为直角，△ABC为直角三角形．

(3)S△ABC＝|A||A|＝××＝2.

19．(12分)已知z1＝x＋yi，1＝x－yi(x、y∈R)且x2＋y2＝1，z2＝(3＋4i)z1＋(3－4i)1.

(1)求证：z2∈R；

(2)求z2的最大值和最小值．

(1)证明　∵z1＝x＋yi，1＝x－yi(x，y∈R)，

∴z1＋1＝2x，z1－1＝2yi.

∴z2＝(3＋4i)z1＋(3－4i)1，

＝3(z1＋1)＋4i(z1－1)．

＝6x＋8yi2＝(6x－8y)∈R.

(2)解　∵x2＋y2＝1，

设u＝6x－8y，代入x2＋y2＝1消去y得

64x2＋(6x－u)2＝64.

∴100x2－12ux＋u2－64＝0.

∵x∈R，∴Δ≥0.

∴144u2－4×100(u2－64)≥0.

∴u2－100≤0.

∴－10≤u≤10.

∴z2的最大值是10，最小值是－10.