高中数学人教版新课标A必修42.2 平面向量的线性运算导学案及答案

平面向量的实际背景及基本概念

平面向量的线性运算——教材解读

  一、要点精讲

  1．向量的有关概念

  （1）向量：既有大小又有方向的量叫向量，一般用，，，…来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如。向量的大小，即向量的模（长度），记作。

  注：向量与数量不同，数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小。

  （2）零向量：长度为零的向量，记为，其方向是任意的，零向量和任何向量平行。

  （3）单位向量：模为1个单位长度的向量。

  （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为。

  （5）共线向量（平行向量）：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行。这就是说，共线向量的方向相同或相反，向量平行于，记作。

   注：①对于非零向量、，若，包括与平行或重合的情况，这与几何中的两直线平行是有区别的；

②对于零向量的规定，解题时要特别注意；

③两个向量相等一定共线，但共线不一定相等。

  2．向量的加减

  （1）向量的加法：已知向量、，在平面上任取一点，作，，再作向量，则向量叫做与的和（或和向量），记作，即=。

  上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则。

  已知两个不共线的向量、，作，，则、、三点不共线，以、为邻边做平行四边形，则对角线上的向量。

  这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。

  向量加法满足交换律和结合律，即：，。

  注：当两个向量不共线时，加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的，当两个向量共线时，平行四边形法则就不适用了。

  （2）向量的减法

  ①定义：已知向量、（如图），作，，则，向量叫做向量与的差，并记作，即。

 ②两个重要结论

  ．如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量。

  ．一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量，或简记为“终点向量减起点向量”。

  3．向量数乘

  （1）实数和向量的乘积是一个向量，记作，的长，的方向：

当或时，或。

（2）向量数乘运算满足下列运算律：

  设、为实数，则：

  ①；

②；

③。

注：数乘向量与数与数的乘法是有区别的，前者是一个向量，后者是一个实数。

  4．平面向量基本定理

  如果，则；反之，如果，则一定存在一个实数，使。

  注：利用该定理可以解决平面几何中两线段的平行、三角形相似、证明三点共线等问题。

  5．轴上向量的坐标运算

  （1）设，，若，则，。

  （2）在数轴上，已知点的坐标为，点的坐标为，有  ①

  这就是说，轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标。

  根据公式①，又可以得到数轴上两点的距离公式：。

  二、范例点悟

  例1  一辆汽车从点出发向西行驶了100公里到达点，然后又改变方向向西偏北走了200公里到达点，最后又改变方向，向东行驶了100公里到达点。

  （1）作出向量，，；

  （2）求。

  分析：解答本题应首先确立指向标，然后再根据行驶方向确定出有关向量，进而求解。

  解析：（1）如图所示。

  （2）由题意易知，与方向相反，故与共线。

  又，∴在四边形中，且，

  ∴四边形为平行四边形。

  故（公里）。

  评注：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点。

  例2  化简：。

  分析：该例为一基础题目，可有多种解法。

  解法1：原式

  =。

  评注：该解法是将向量减法转化为加法进行化简的。

  解法2：原式

  =+

  =

   =。

  评注：本解法是利用，进行化简的。

  解法3：设为平面内任意一点，则有

  原式

   =。

  评注：本解法是利用关系进行化简的。

  例3   对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？

  （1）把所有单位向量的起点平行移动到同一点；

  （2）把平行于直线的所有单位向量的起点平行移动到直线的点；

  （3）把平行于直线的所有向量的起点平行移动到直线的点。

  分析：数学中的向量是自由向量，可以重新选择起点进行平移，只要平移前后两个向量相等即可。

  解析：（1）是以点为圆心，以1个单位长为半径的圆；

  （2）是直线上与的距离为1个单位长的两个点；

  （3）是直线。

  评注：本题是有关向量的平移变换、单位向量，以及集合等知识的综合题。

  例4  已知非零向量和不共线，欲使和共线，试确定实数的值。

  分析：若与共线，则一定存在，使=（）。

  解析：∵与共线，∴存在实数，使=（），则。

  由于和不共线，∴，解得。

  评注： 本题从正反两方面运用了向量数乘的几何意义，利用共线得到关于的方程，用待定系数法解决问题。