高中数学人教版新课标A必修53.4 基本不等式导学案

第15课时 不等式复习课

一、【学习导航】

知识网络

学习要求

1．温故本章内容，使知识系统化，条理化．分清重点，明确难点，再现注意点，达到巩固与知新的效果。

2.体会分类讨论，等价转化，数形结合，函数方程四种数学思想的应用.

【课堂互动】

自学评价

1.不等式组的解集为   （1，2）∪(4,5)                  ．

2.已知，则的最大值为 　　　14　　　　　　 ．

3.已知，，则的最小值为　　15　　　　　．

4.已知,则下列四个平均数:,,,的大小关系为≤≤≤.

【精典范例】

例1：解关于的不等式：

【解】,

,

，

,

,

例2：设，关于的一元二次方程有两个实根且，求的取值范围．

【解】设

则

解出

例３. 某工厂生产Ａ，Ｂ两种产品，已知生产１千克Ａ产品要用煤９吨，电力４千瓦时，劳动力３个，创造利润７万元，生产１千克Ｂ产品要用煤４吨，电力５千瓦时，劳动力１０个，创造利润１２万元，在这种条件下，应该生产Ａ，Ｂ两种产品各多少千克，才能使所创造的总的经济价值最高？

答案：容易解得当x=20,y=24时，目标函数z=7x+12y取得最大值428万元。

例4数列由下列条件确定：，当时，求证：

（１）　　　（２）

   证明：（1）先说明，然后用基本不等式易证．

（2）作差比较法易证．

例5.要使不等式对所有正数都成立，求的最小值．

解：可解出：

令u=.

则

（当且仅当时取等号）

所以当时，的最大值为，所以，所以的最小值为．

本章总结回顾：

1．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，会用函数思想来研究方程和不等式．

２．二元一次不等式(组)表示平面区域与线性规划问题是数形结合思想的运用。画平面区域是线性规划的基础，常用选点法定侧，注意边界是否在区域内。解线性规划应用题时要注意规范解题，写全解题步骤。

３．利用基本不等式求最值或证明不等式，运用时往往需作适当的变形，创造条件应用基本不等式，常用变换技巧是“拆添项”“配凑因子”和“平方”等。应用基本不等式求最值时，要注意考虑三要素，即“一正二定三相等”。

【选修延伸】

柯西不等式

内容：

≥．

证明：设

．

当＝０，即

时，柯西不等式显然成立．

当≠０，即

＞０时，

由于

恒成立．

于是,　　化简变形即得

≥．

【精典范例】

已知，且，求证：

证明：由

＝

而得，代入上式并变形知原式成立．

追踪训练

已知，且，求证：

证明略．类似于范例的证明．