数学必修53.4 基本不等式导学案

这是一份数学必修53.4 基本不等式导学案，共5页。学案主要包含了学习目标，自主预习，互动探究，课堂练习等内容，欢迎下载使用。

1．进一步掌握基本不等式．(重点)
2．能灵活利用基本不等式解决最值问题．(重点、难点)
3．会用基本不等式解决实际问题．
【自主预习】
1．基本不等式与最值
eq \x(x＋y＝s定和)⇒xy≤eq \f(s2,4)(当且仅当x＝y时取等号)
eq \x(xy＝p定积)⇒x＋y≥2eq \r(p)(当且仅当
x＝y时取等号)
记忆口诀：和定积最大，积定和最小．
2．利用基本不等式求最值的条件有哪些？
提示：利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正、二定、三相等”．“一正”即公式中a，b必须是正数，“二定”即必须有定值(和为定值或积为定值)，“三相等”即公式中的等号必须成立．必要时要合理拆分项或配凑因式，以满足上述三个条件．
【互动探究】
利用基本不等式求最值问题
(1)若x>0，求函数y＝x＋eq \f(4,x)的最小值，并求此时x的值；
(2)设0(3)已知x>2，求x＋eq \f(4,x－2)的最小值；
(4)已知x>0，y>0，且eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，求x＋y的最小值．
解：(1)当x>0时，x＋eq \f(4,x)≥2eq \r(x·\f(4,x))＝4，
当且仅当x＝eq \f(4,x)，即x2＝4，x＝2时取等号．
所以函数y＝x＋eq \f(4,x)(x>0)在x＝2时取得最小值4．
(2)因为00．
所以y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤
2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2x＋3－2x,2)))2＝eq \f(9,2)，
当且仅当2x＝3－2x，即x＝eq \f(3,4)时，等号成立．
因为eq \f(3,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))，
所以函数y＝4x(3－2x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0(3)因为x>2，所以x－2>0．
所以x＋eq \f(4,x－2)＝x－2＋eq \f(4,x－2)＋2≥2eq \r(x－2·\f(4,x－2))＋2＝6，
当且仅当x－2＝eq \f(4,x－2)，即x＝4时，等号成立．
所以x＋eq \f(4,x－2)的最小值为6．
(4)方法一 因为x>0，y>0，eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，
所以x＋y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(9,y)))(x＋y)＝eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y)＋10≥6＋10＝16，
当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(9x,y)，又eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，
即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16．
方法二 由eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，
得(x－1)(y－9)＝9(定值)．
由eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1可知x>1，y>9，
所以x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥
2eq \r(x－1y－9)＋10＝16，
当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16．
利用基本不等式求解应用问题
某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定．它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．
(1)求仓库面积S的最大允许值是多少．
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
解：设铁栅长为x m，一堵砖墙长为y m，则顶部面积为S＝xy(m2)．
(1)依题设，得40x＋2×45y＋20xy＝3 200．
由基本不等式得
3 200≥2eq \r(40x·90y)＋20xy＝120eq \r(xy)＋20xy
＝120eq \r(S)＋20S．
所以S＋6eq \r(S)－160≤0，即(eq \r(S)－10)(eq \r(S)＋16)≤0．
故0＜eq \r(S)≤10.从而0＜S≤100．
所以S的最大允许值是100 m2．
(2)S取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，
所以求得x＝15，即正面铁栅的长是15 m．
【课堂练习】
1．已知xy＜0，则代数式eq \f(x2＋y2,xy)( )
A．有最小值2 B．有最大值－2
C．有最小值－2 D．不存在最值
解析：因为x2＋y2≥2|xy|＝－2xy，又xy＜0，
所以eq \f(x2＋y2,xy)≤－2．
答案：B
2．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架．在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(eq \r(2)≈1.414)( )
A．6.5 m B．6.8 m
C．7 m D．7.2 m
解析：设两直角边长分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则eq \f(1,2)ab＝2，所以ab＝4，l＝a＋b＋eq \r(a2＋b2)≥2eq \r(ab)＋eq \r(2ab)＝4＋2eq \r(2)≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，所以选C．
答案：C
3．已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，则eq \f(1,ab)的最小值为______．
解析：因为a>0，b>0，且2a＋b＝4，所以4＝2a＋b≥2eq \r(2ab)，当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时等号成立．所以eq \f(1,ab)的最小值为eq \f(1,2)．
答案：eq \f(1,2)
4．设x，y∈R，且xy≠0，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,y2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)＋4y2))的最小值为____________．
解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,y2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)＋4y2))＝1＋4＋4x2y2＋eq \f(1,x2y2)≥1＋4＋2 eq \r(4x2y2·\f(1,x2y2))＝9，当且仅当4x2y2＝eq \f(1,x2y2)时等号成立，则|xy|＝eq \f(\r(2),2)时等号成立．
答案：9
5．已知0＜x＜eq \f(1,3)，求函数y＝x(1－3x)的最大值．
解：因为0＜x＜eq \f(1,3)，所以1－3x＞0．
所以y＝x(1－3x)＝eq \f(1,3)·3x(1－3x)≤eq \f(1,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3x＋1－3x,2)))2＝eq \f(1,12)，当且仅当3x＝1－3x，即x＝eq \f(1,6)时，等号成立．
所以当x＝eq \f(1,6)时，函数y＝x(1－3x)取最大值eq \f(1,12)．