人教版新课标B选修2-1第三章 空间向量与立体几何综合与测试测试题

这是一份人教版新课标B选修2-1第三章 空间向量与立体几何综合与测试测试题，共12页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．在以下命题中，不正确的个数为(　　)①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面；④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；⑤|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c|.A．2个　　　B．3个　　　C．4个　　　D．5个[答案]　C[解析]　①|a|－|b|＝|a＋b|⇒a与b的夹角为π，故是充分不必要条件，①不正确．②b为非零向量，故不正确．③2－2－1≠1，故不正确．④正确．⑤不正确．2．在正三棱柱ABC—A1B1C1D1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为(　　)A．60°  B．90°  C．105°  D．75°[答案]　B[解析]　建立空间直角坐标系，可求·＝0，故成90°.3．已知△ABC，＝c，＝b，＝a，用向量a，b，c的数量积的形式表示△ABC为锐角三角形的充要条件是(　　)A．b·c>0，a·c>0B．a·b>0，b·c>0，a·c>0C．a·b>0D．a·b>0，b·c>0，a·c<0[答案]　D[解析]　由数量积的意义知D成立．4．已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，若存在点D, 使得DB∥AC，DC∥AB，则点D的坐标为(　　)A．(－1,1,1)B．(－1,1,1)或(1，－1，－1)C．(－，，)D．(－，，)或(1，－1,1)[答案]　A[解析]　代入坐标运算得D(－1,1,1)，故选A.5．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为(　　)A．30°  B．45°  C．60°  D．90°[答案]　C[解析]　∵A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，∴＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)．∴cos〈，〉＝＝，∴选C.6．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么AM与CN所成的角的余弦值是(　　)A.  B.C.  D.[答案]　D[解析]　以D为坐标原点、、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则＝(0，，1)，＝(1,0，)，∴cosθ＝＝(用基向量表示亦可)．7．下面命题中，正确命题的个数为(　　)①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量且a与α共面，则n·a＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．A．1个  B．2个  C．3个  D．4个[答案]　D[解析]　①②③④均正确，故选D.8．直线l1的方向向量v1＝(1,0，－1)；直线l2的方向向量v2＝(－2,0,2)，则直线l1 与l2的位置关系是(　　)A．平行  B．相交C．异面  D．平行或重合[答案]　D[解析]　∵v2＝－2v1，∴l1∥l2或l1与l2重合．9．如图，在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，则点B到平面AMN的距离是(　　)A.      B.  C.      D．2[答案]　D[解析]　以、、为x轴，y轴，z轴的正向建立直角坐标系，则M(，0,3)，N(0，，3)，A(0,0,0)，∵n＝(2,2，－1)，＝(3,0,0)，∴d＝＝2，故选D.10．如右图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′中，M是AB的中点，则sin〈，〉的值为(　　)A.  　　B.C.  　　D.[答案]　B[解析]　以DA，DC，DD′所在直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系Oxyz，设正方体棱长为1，则D(0,0,0)，B′(1,1,1)，C(0,1,0)，M(1，，0)，则＝(1,1,1)，＝(1，－，0)，cos〈，〉＝，则sin〈，〉＝.11．在棱长为a的正方体OABC－O′A′B′C′中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF，则异面直线A′F与C′E所成角的大小为(　　)A．锐角     B．直角  C．钝角     D．不确定[答案]　B[解析]　如图，以O为原点建立空间直角坐标系，设AE＝BF＝x，则A′(a,0，a)、F(a－x，a,0)、C′(0，a，a)、E(a，x,0)，－(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)，∴·＝－xa＋a(x－a)＋a2＝0，∴A′F⊥C′E.12．如图，四面体P－ABC中，PC⊥面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B－PA－C的余弦值为(　　)A.       B.C.       D.[答案]　C[解析]　如图，作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E，设AB＝1，则易得CE＝，EP＝，PA＝PB＝，AB＝1，可以求得BD＝，ED＝.∵＝＋＋，∴2＝2＋2＋2·＋2＋＋2·.∴·＝－.∴cos〈，〉＝－.∴cos〈，〉＝.二、解答题(本大题共4小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．设|m|＝1，|n|＝2,2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，b＝7m＋2n，则〈a，b〉＝________.[答案]　0[解析]　由于(2m＋n)·(m－3n)＝0，可得：m·n＝－2，则：a·b＝(4m－n)·(7m＋2n)＝18.|a|＝＝6，|b|＝＝3，cos〈a，b〉＝＝1，∴〈a，b〉＝0.14．边长为1的等边三角形ABC中，沿BC边高线AD折起，使得折后二面角B－AD－C为60°，点D到平面ABC的距离为________．[答案]　[解析]　如图所示，AD⊥面BCD，AD＝，BD＝CD＝BC＝，∴VA－BCD＝×AD×S△BCD.又∵VA－BCD＝VD－ABC＝×h×S△ABC，∴由等积法可解得h＝.
15．如图所示，在三棱锥P—ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝90°，则PA与底面ABC所成的角为________．[答案]　60°[解析]　由于PA＝PB＝PC，故P在底面ABC上的射影为△ABC外心，由于△ABC为直角三角形，不妨设OB＝OC，所以OP⊥面ABC，∠PAO为所求角，不妨设BC＝1，则OA＝，cos∠PAO＝，所以∠PAO＝60°.16．已知A、B、C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为零的实数λ、m、n使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值等于________．[答案]　0[解析]　由λ＋m＋n＝0，得＝－－.根据空间直线的向量参数方程有－－＝1⇔－m－n＝λ⇒m＋n＋λ＝0.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：是平面PAC的法向量．[解析]　建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2.则A(2,0,0)，P(0,0,1)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，O(1,1,0)，于是＝(1,1,2)＝(－2,2,0)，＝(－2，0,1)，由于·＝－2＋2＝0，及·＝－2＋2＝0，∴⊥，⊥.∴AC∩AP＝A，∴⊥平面PAC，即是平面PAC的法向量．18．(本小题满分12分)(2009·陕西)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)求二面角A－A1C－B的大小．[解析]　(1)证明：∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC.在△ABC中，AB＝1，AC＝，∠ABC＝60°，由正弦定理得∠ACB＝30°，∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC.如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，A1(0,0，)，∴＝(1,0,0)，＝(0，，－)，∵·＝1×0＋0×＋0×(－)＝0，∴AB⊥A1C.(2)解：如图，可取m＝＝(1,0,0)为平面AA1C的法向量，设平面A1BC的法向量为n＝(l，m，n)，则·n＝0，·n＝0，又＝(－1，，0)，∴∴l＝m，n＝m.不妨取m＝1，则n＝(，1,1)．cos〈m，n〉＝＝＝，∴二面角A－A1C－B的大小为arccos.19．(本小题满分12分)如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，经平面AEFG所截后得到的图形，其中∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面ADG；(2)求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．[解析]　(1)证明：在△BAD中，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°，由余弦定理得，BD＝，∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD，又GD⊥平面ABCD，∴GD⊥BD，GD∩AD＝D，∴BD⊥平面ADG，(2)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则有A(1,0,0)，B(0，，0)，G(0,0,1)，E(0，，2)，＝(－1,0,1)，＝(－1，，2)，设平面AEFG法向量为m＝(x，y，z)，则，取m＝(1，－，1)，平面ABCD的一个法向量n＝＝(0,0,1)，设平面AEFG与面ABCD所成锐二面角为θ，则cosθ＝＝.20．(本小题满分12分)(2008·江苏)如图，设动点P在棱长为1正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，记＝λ.当∠APC为钝角时，求λ的取值范围．[解析]　由题设可知，以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)．由＝(1 ,1，－1)得＝λ＝(λ，λ，－λ)，所以＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)．显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC＝cos<，>＝<0，这等价于·<0，即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)2＝(λ－1)(3λ－1)<0，得<λ<1.因此，λ的取值范围为.21．(本小题满分12分)(2009·山东)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点．(1)证明：直线EE1∥平面FCC1；(2)求二面角B－FC1－C的余弦值．[解析]　(1)因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，所以CD綊AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC.又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，所以平面ADD1A1∥平面FCC1，又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.(2)过D作DR⊥CD交于AB于R，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．则F(，1,0)，B(，3,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)所以＝(0,2,0)，＝(－，－1,2)，＝(，3,0)．由FB＝CB＝CD＝DF，所以DB⊥FC.又CC1⊥平面ABCD，所以为平面FCC1的一个法向量．设平面BFC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由得即取x＝1得，因此n＝，所以cos<，n>＝＝＝＝.故所求二面角的余弦值为.22．(本小题满分14分)已知长方体AC1中，棱AB＝BC＝3，棱BB1＝4，连接B1C，过点B作B1C的垂线交于CC1于E，交B1C于F.(1)求证：A1C⊥平面EBD；(2)求点A到平面A1B1C的距离；(3)求ED与平面A1B1C所成角的正弦值．[解析]　(1)证明：建立如右图所示的空间直角坐标系A－xyz，设|CE|＝a，则C(3,3,0)，B1(3,0,4)，A1(0,0,4)，B(3,0,0)，D(0,3,0)．设E(3,3，a)，则＝(3,3，－4)，＝(0,3，－4)，＝(－3,3,0)，＝(0,3，a)．由BE⊥B1C，知·＝0，即0·0＋3·3＋a·(－4)＝0.∴a＝.∴E(3,3，)，＝(0,3，)，∴·＝0，·＝0，∴A1C⊥BE，A1C⊥BD.又BE∩BD＝B，∴A1C⊥平面EBD.(2)易证A1B1⊥BE，∴可看作平面A1B1C的法向量n＝(0,3，)，＝(－3，－3,0)．∴点A到平面A1B1C的距离d＝＝.(3)＝(－3,0，－)，设ED与平面A1B1C所成角为θ.则sinθ＝＝＝即ED与平面A1B1C1所成角的正弦值为.