高中数学人教版新课标B选修2-1第三章 空间向量与立体几何综合与测试习题

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eq \a\vs4\al(1.)若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作平面α法向量的是( )
A．(0，－3，1) B．(2，0，1)
C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1)
答案：D
eq \a\vs4\al(2.)若平面α与β的法向量分别是a＝(1，0，－2)，b＝(－1，0，2)，则平面α与平面β的关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法判断
解析：选A.∵a＝－b，∴a∥b.∴α∥β.
eq \a\vs4\al(3.)平面α，β的法向量分别为m＝(1，2，－2)，n＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于________．
解析：由α⊥β知，m·n＝0.
∴－2－8－2k＝0解得k＝－5.
答案：－5
eq \a\vs4\al(4.)已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的单位法向量坐标为________．
解析：设单位法向量n0＝(x，y，z)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，0，1)．由n0·eq \(AB,\s\up6(→))＝0且n0·eq \(AC,\s\up6(→))＝0得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋z2＝1，,y－x＝0，,z－x＝0，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(3),3)，,y＝\f(\r(3),3)，,z＝\f(\r(3),3)))或eq \b\lc\((\a\vs4\al\c1(x＝－\f(\r(3),3)，,y＝－\f(\r(3),3)，,z＝－\f(\r(3),3).))
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))
[A级 基础达标]
eq \a\vs4\al(1.)若直线l的方向向量为a＝(－1，0，－2)，平面α的法向量为u＝(4，0，8)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l⊂α D．l与α斜交
解析：选B.∵u＝－4a，∴u∥a，∴l⊥α，故选B.
eq \a\vs4\al(2.)已知平面α上的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，则平面α的一个法向量为( )
A．(1，－1，1) B．(2，－1，1)
C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1)
解析：选C.显然a与b不平行，
设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a·n＝0，,b·n＝0，))
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋z＝0，,5x＋6y＋4z＝0.))令z＝1，得x＝－2，y＝1，
∴n＝(－2，1，1)．
eq \a\vs4\al(3.)
如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面A1ACC1的一个法向量可以是( )
A.eq \(BC,\s\up6(→))
B.eq \(A1B1,\s\up6(→))
C.eq \(BB1,\s\up6(→))
D.eq \(BD,\s\up6(→))
解析：选D.∵A1A⊥BD，AC⊥BD，A1A∩AC＝A，∴BD⊥平面A1ACC1，
∴eq \(BD,\s\up6(→))为平面A1ACC1的一个法向量．
eq \a\vs4\al(4.)已知l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，2))，则m＝________．
解析：∵l∥α，∴l的方向向量与平面α的法向量垂直，即2×1＋m×eq \f(1,2)＋1×2＝0，∴m＝－8.
答案：－8
eq \a\vs4\al(5.)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，则eq \(AE,\s\up6(→))与平面A1D1F的关系为________．
解析：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，E(1，1，eq \f(1,2))，D1(0，0，1)，F(0，eq \f(1,2)，0)，A1(1，0，1)．
eq \(AE,\s\up6(→))＝(0，1，eq \f(1,2))，eq \(D1F,\s\up6(→))＝(0，eq \f(1,2)，－1)，eq \(A1D1,\s\up6(→))＝(－1，0，0)．
∴eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(D1F,\s\up6(→))＝(0，1，eq \f(1,2))·(0，eq \f(1,2)，－1)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)＝0，
eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(A1D1,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(AE,\s\up6(→))⊥eq \(D1F,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))⊥eq \(A1D1,\s\up6(→)).又A1D1∩D1F＝D1，
∴eq \(AE,\s\up6(→))⊥平面A1D1F.
答案：eq \(AE,\s\up6(→))⊥平面A1D1F
eq \a\vs4\al(6.)
如图，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq \f(1,2)，求平面SCD的一个法向量．
解：∵AD、AB、AS是三条两两垂直的线段，
∴以A为原点，以eq \(AD,\s\up6(→))、eq \(AB,\s\up6(→))、eq \(AS,\s\up6(→))的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立坐标系，则A(0，0，0)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，0))，C(1，1，0)，
S(0，0，1)，eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－1，0))，eq \(SC,\s\up6(→))＝(1，1，－1)，
设平面SCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n⊥eq \(CD,\s\up6(→))，n⊥eq \(SC,\s\up6(→)).
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x－y＝0，,x＋y－z＝0，))∴y＝－eq \f(1,2)x，z＝eq \f(1,2)x.
令x＝2，得n＝(2，－1，1)，
即平面SCD的一个法向量为(2，－1，1)．
[B级 能力提升]
eq \a\vs4\al(7.)已知平面α过点A(1，－1，2)，法向量为n＝(2，－1，2)，则下列点在α内的是( )
A．(2，3，3) B．(3，－3，4)
C．(－1，1，0) D．(－2，0，1)
解析：选A.α的法向量与α共面的向量垂直，∵(2，3，3)－(1，－1，2)＝(1，4，1)且(1，4，1)·(2，－1，2)＝0，
∴点(2，3，3)在α内，故选A.
eq \a\vs4\al(8.)(2012·杭州高二检测)直角三角形ABC的直角边AB在平面α内，其中∠B为直角，顶点C在α外，且C在α内的射影为C1(C1不在AB上)，则△ABC1是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
解析：选A.由三垂线定理可知BC1⊥AB，∴△ABC1为直角三角形．
eq \a\vs4\al(9.)
如图所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．
解析：∵PA⊥平面ABCD，则AQ是PQ在面ABCD内的射影，由PQ⊥QD，得AQ⊥QD，则△AQD为直角三角形，
设BQ＝x，则CQ＝a－x，
所以AQ2＝1＋x2，QD2＝1＋(a－x)2，
那么a2＝1＋x2＋1＋(a－x)2，整理得x2－ax＋1＝0.
由题意，该方程有两个相等的实根，故Δ＝0，即a2＝4，
又a>0，∴a＝2.
答案：2
eq \a\vs4\al(10.)在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，∠PBA＝60°，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝eq \f(1,2)AD.
求证：平面PCD⊥平面PAC.
证明：如图，建立空间直角坐标系，设AB＝1，则A(0，0，0)，C(1，1，0)，D(2，0，0)，P(0，0，eq \r(3))，且eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，1，0)，eq \(PC,\s\up6(→))＝(1，1，－eq \r(3))，eq \(CD,\s\up6(→))＝(1，－1，0)．
设平面PCD的法向量n＝(x，y，z)，
则eq \(PC,\s\up6(→))·n＝x＋y－eq \r(3)z＝0，
eq \(CD,\s\up6(→))·n＝x－y＝0，
令x＝1，则y＝1，z＝eq \f(2\r(3),3)，即n＝(1，1，eq \f(2\r(3),3))．
同理得平面PAC的一个法向量为m＝(1，－1，0)．
则m·n＝1×1＋1×(－1)＋eq \f(2\r(3),3)×0＝0，
所以m⊥n.
故平面PCD⊥平面PAC.
eq \a\vs4\al(11.)
(创新题)如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，问在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求|eq \(AF,\s\up6(→))|；若不存在，说明理由．
解：以B为原点，BA、BC、BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则C(0，eq \r(2)a，0)，C1(0，eq \r(2)a，3a)，
B1(0，0，3a)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a，3a))，
假设存在点F，使CF⊥平面B1DF，只需eq \(CF,\s\up6(→))⊥eq \(B1F,\s\up6(→))，eq \(CF,\s\up6(→))⊥eq \(B1D,\s\up6(→))，
设AF＝b，则F(eq \r(2)a，0，b)，
eq \(CF,\s\up6(→))＝(eq \r(2)a，－eq \r(2)a，b)，
eq \(B1F,\s\up6(→))＝(eq \r(2)a，0，b－3a)，
eq \(B1D,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a，0))，
∵eq \(CF,\s\up6(→))·eq \(B1D,\s\up6(→))＝a2－a2＝0，∴eq \(CF,\s\up6(→))⊥eq \(B1D,\s\up6(→))，
令eq \(B1F,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝2a2＋b(b－3a)＝0，得b＝a或b＝2a.
∴当|eq \(AF,\s\up6(→))|＝a或|eq \(AF,\s\up6(→))|＝2a时，CF⊥平面B1DF.