选修2-1第三章 空间向量与立体几何综合与测试课时训练

第三章基本知能检测

时间120分钟，满分150分．

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)

1．直三棱柱ABC—A1B1C1，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　)

A．a＋b－c　　　　　　  B．a－b＋c

C．－a＋b＋c      D．－a＋b－c

[答案]　D

[解析]　结合图形，得＝＋＋＝－c－a＋b＝－a＋b－c.

2．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则a与c的夹角为(　　)

A．0　　　     B.　　　

C.　　　     D.

[答案]　D

[解析]　a·c＝|a|2－(a·b)

＝|a|2－a·a＝0

∴a⊥b.

3．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b垂直，则λ等于(　　)

A．1        B．－1 

C．6        D．－6

[答案]　C

[解析]　a·b＝2－λ＋4＝0，∴λ＝6.

4．已知非零向量a、b，及平面α，若向量a是平面α的法向量，则a·b＝0是b所在直线平行于α或在α内的(　　)

A．充分必要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]　A

[解析]　若a·b＝0，则b∥α；反之，b∥α⇒a·b＝0.故选A.

5．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2＋e3，c＝e1＋e2－e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝xa＋yb＋zc，则x、y、z分别为(　　)

A.，－，－1　　　　　    B.，，1

C．－，，1       D.，－，1

[答案]　A

[解析]　由已知得

∴x＝，y＝－，z＝－1.

故选A.

6．下列说法中不正确的是(　　)

A．平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量

B．一个平面的所有法向量互相平行

C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直

D．如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量

[答案]　D

[解析]　由线面垂直的判定定理知D成立．

7．已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝(　　)

A．2          B．3 

C．4          D．5

[答案]　B

[解析]　由题意知M为△ABC的重心，连结AM并延长交BC于D，则＝①

又AD为中线，则＋＝2＝m

即2＝m，②

联立①②得m＝3，故选B.

8．对于任意向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，给出下面两个命题：

①a∥b⇔＝＝；

②若a1＝a2＝a3＝1，则a为单位向量．

其中正确命题的个数为(　　)

A．0　　　　  B．1　　　　  C．2　　　　  D．3

[答案]　A

[解析]　由＝＝⇒a∥b但a∥b⇒/ ＝＝；若a1＝a2＝a3＝1，则|a|＝，∴①②都不正确．故选A.

9．如右图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为(　　)

A．arccos 

B.

C．arccos 

D.

[答案]　D

[解析]　建立空间直角坐标系，如图所示．

E(0,0,1)，A1(1,0,2)，G(0,2,1)，F(1,1,0)，∴＝(1,0,1)，

＝(1，－1，－1)，

而·＝0，

∴⊥.选D.

10．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是(　　)

A.＝2－－

B.＝＋＋

C.＋＋＝0

D.＋＋＋＝0

[答案]　C

[解析]　由共面向量定理知选C.

11．如图，P是边长为a的正六边形ABCDEF平面外一点，PA⊥AB，PA⊥AF，为求P与CD的距离作PQ⊥CD于Q，则(　　)

A．Q为CD的中点 

B．Q与D重合

C．Q与C重合 

D．以上都不对

[答案]　C

[解析]　连AC，则AC⊥CD，由三垂线定理知PC⊥CD，∴Q与C重合．

故选C.

12．在60°的二面角的一个面内有一个点，它到棱的距离是8，那么它到另一个面的距离是(　　)

A. 

B．2 

C．3 

D．4

[答案]　D

[解析]　设二面α—l—β为60°，α内一点为A，过A作AB⊥β于B，AO⊥l于O，连OB，则OB⊥l，∴∠AOB＝60°，∴AB＝8sin60°＝4.

二、解答题(本大题共4小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)

13．已知向量a，c不共线，且b≠0，且(a·b)c＝(b·c)a，d＝a＋c，则〈d，b〉＝________.

[答案]　90°

14．如下图所示，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝________.

[答案]　－－＋

15．三个平面两两垂直，它们交于一点O，空间一点P到三个面的距离分别为，和2，则PO＝________.

[答案]　5

[解析]　PO＝＝5.

16．正△ABC边长为a，AD⊥BC于点D，沿AD把△ABC折起来使∠BDC＝90°，这时点B到AC的距离是______________．

[答案]　a

[解析]　过D作DH⊥AC于H，连BH，则DH＝a，∴BH＝＝a.

三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)

17．(本小题满分12分)在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．

(1)求证：AEC1F是平行四边形；

(2)求AE和AF之间的夹角的余弦值；

(3)求四边形AEC1F的面积．

[解析]　(1)证明：如下图，以DA，DC，DD1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则A(a,0,0)，E(0,0，)，F(a，a，)，C1(0，a，a)．

∴＝(－a,0，)，＝(－a,0，)．

∴＝，∴AEC1F为平行四边形．

(2)解：由＝(0，a，)，

得cos〈，〉＝＝.

(3)解：由(2)知sin∠EAF＝.

∴S▱AEC1F＝||||sin∠EAF＝a2.

18．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝.求SC与平面ASD所成角的余弦值．

[解析]　建立如下图所示空间直角坐标系，

则S(0,0,1)，A(0,0,0)，B(0,1,0)，D(，0,0)，C(1,1,0)，则

＝(1,1，－1)，＝(，1,0)，

＝(0,1,0)，平面ASD的一个法向量为＝(0,1,0)．

设SC与平面ASD所成的角为θ，则

sinθ＝＝，∴cosθ＝.

19．(本小题满分12分)(2009·江西)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.

(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；

(2)求直线CD与平面ACM所成的角的大小．

[解析]　(1)依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC.

又因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，PA∩AD＝A，

所以CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，所以AM⊥平面PCD，又AM⊂面ABM，

所以平面ABM⊥平面PCD.

(2)如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)；设平面ACM的一个法向量n＝(x，y，z)，由n⊥，n⊥可得：，

令z＝1，则n＝(2，－1,1)．

设所求角为α，则sinα＝＝，

所以所求角的大小为arcsin.

20．(本小题满分12分)已知空间四边形OABC，棱OA，OB，BC互相垂直，OA＝OB＝BC＝1，N是OC的中点，点M在AB上，且MN⊥AB，求AMAB的值．

[解析]　如图所示，设＝x，则＝x.

＝(1－x)＋x，

＝＝(＋)，

＝－

＝＋－(1－x)－x

＝(x－1)＋(－x)＋.

又知＝－，MN⊥AB，

所以·＝0.

即[(x－1)＋(－x)＋]·(－＋)＝0.

进行向量运算，考虑到、、互相垂直且它们的长度都为1，运算结果得－x＋1－x＝0.

解得x＝.

所以MN∶AB＝3∶4.

21．(本小题满分12分)在正棱锥P—ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别是BC，PB上的一点，且BEEC＝PEFB＝12.求证：

(1)平面GEF⊥平面PBC；

(2)EG是PG与BC的公垂线．

[证明]　(1)以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．

令PA＝PB＝PC＝3，则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)．

于是＝(3,0,0)，＝(1,0,0)．

故＝3.∴PA∥FG.

又PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.

又FG⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.

(2)∵＝(1，－1，－1)，＝(1,1,0)，＝(0，－3，3)．

∴·＝1－1＝0，·＝3－3＝0.

∴EG⊥PG，EG⊥BC，

∴EG是PG和BC的公垂线．

22．(本小题满分14分)(2009·湖南)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE⊥AE.

(1)证明：平面ADE⊥平面ACC1A1；

(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．

[解析]　考查多面体的概念、空间平面与平面的位置关系和线面角．

解：(1)如图所示，由正三棱柱ABC－A1B1C1的性质知，AA1⊥平面A1B1C1，

又DE⊂平面A1B1C1，∴DE⊥AA1，

又DE⊥AE，AA1∩AE＝A，∴DE⊥平面ACC1A1，

∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACC1A1.

(2)设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系如图．

不妨设AA1＝，则AB＝2，相关各点的坐标分别是A1(0，－1,0)，B(，0,0)，C1(0,1，)，D

易知＝(，1,0)，＝(0,2，)，AD＝

设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有

解得x＝－y，z＝－y.

故可取n＝(1，－，)．

所以，cos〈n，〉＝＝＝.

由此即知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为.