精品解析：2020年山东省新泰市九年级中考一模拟数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在，，，这四个数中，最小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
根据实数比较大小的方法判断即可．
【详解】∵，
∴，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了实数的大小比较，解题的关键熟知正实数大于零，负实数小于零，两个负实数绝对值大的反而小．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
根据同底数幂相乘，幂的乘方，负指数幂的运算法则进行计算即可．
【详解】A．合并同类项，，故选项A错误；
B．，故选项B错误；
C．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，故选项C错误；
D．，故选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，负指数幂运算，同底数幂相乘：底数不变，指数相加；幂的乘方：底数不变，指数相乘，解决本题的关键是熟练掌握这些运算法则．
3. 如图，通过折纸可以得到好多漂亮的图案，观察下列用纸折叠成的图案，其中轴对称图形和中心对称图形的个数分别是（ ）
A. 3，1B. 3，0C. 3，2D. 1，3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念和中心对称图形的概念即可得出结论．
【详解】解：①是轴对称图形，不是中心对称图形；
②是轴对称图形，不是中心对称图形；
③是轴对称图形，不是中心对称图形；
④不是轴对称图形，是中心对称图形．
故选A．
【点睛】此题考查的是轴对称图形和中心对称图形的识别，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解决此题的关键．
4. 【海外网5月14日|战疫全时区】发布的实时统计数据显示，截至北京时间5月14日6时30分，全球累计确诊新冠肺炎病例4330982例，累计死亡295671例．数据433万用科学计数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】433万=4330000=，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5. 如图，将一个矩形纸片，沿着折叠，使、点分别落在点，，处．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称的性质，折叠前后两三角形全等，对应角相等可得∠EBC=∠EBC1，由40°+∠ABE=∠EBC=90°-∠ABE即可求出答案．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠EBC=90°-∠ABE
由折叠的性质可知，
∠EBC=∠EBC1，
∴∠C1BA+∠ABE=90°-∠ABE
∵∠C1BA=40°，
∴40°+∠ABE =90°-∠ABE
∴∠ABE=25°，
故选：C．
【点睛】本题考查图形的折叠变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后两个三角形全等，对应边、对应角相等是解决本题的关键．
6. 甲、乙二人在相同条件下各射靶10次，每次射靶成绩如图所示，经计算得：，，，则下列结论中正确的个数是（ ）
①甲、乙的总环数不相等； ②甲的成绩稳定； ③甲、乙的众数相同
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平均数的差即可求出甲、乙的总环数的差，即可判断①，根据方差的意义即可判断②,分别求出甲、乙的众数即可判断③．
【详解】解：∵
∴
即甲的总环数比乙的总环数多10，故①正确；
∵，，
∴＜
∴甲的成绩稳定，故②正确；
甲的众数为7，而乙的众数为8
∴甲、乙的众数不相同，故③错误
综上：正确的个数是2个
故选C．
【点睛】本题考查众数、平均数和方差的定义与应用．解题关键是：对于一组数据而言，方差越大，波动性越大，方差越小，波动性越小．
7. 已知关于的不等式组恰好有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组只有两个整数解，确定整数解，则可以得到个关于a的不等式组求得a的范围．
【详解】
解不等式①得
解不等式②得
∵不等式组恰好有两个整数解，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查不等式组解法及整数解的确定，求不等式组的解集，应道循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
8. 如图，轮船在处观测灯塔位于北偏西方向上，轮船从处以每小时40海里的速度沿南偏西方向匀速航行，1小时后到达码头处，此时，观测灯塔位于北偏西方向上，则灯塔与码头的距离是（ ）
A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里
【答案】C
【解析】
【分析】
作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中，利用三角函数即可求得BC的长．
【详解】过点B作BD⊥AC于点D，如图所示
∵∠CBA=+=
∴∠CAB=
∴∠ABD=
∴∠CBD=
在直角△ABD中，BD=AB⋅sin∠CAB=40×sin=40×=
在直角△BCD中，∠CBD=
则BC=BD==(海里)
故选：C
【点睛】本题考查了解三角形的实际应用，准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如坡角、仰角、俯角、视角、象限角、方位角、方向角等；根据题意画出图形；将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算时要算法简练，计算准确，最后作答．
9. 若一个圆锥的底面半径为2cm，高为4cm，则圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为（ ）
A. 80°B. 100°C. 120°D. 150°
【答案】C
【解析】
【分析】
设圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为n°，先利用勾股定理计算出圆锥的母线长为6，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π×2＝，然后解关于n的方程即可．
【详解】解：设圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为n°，
圆锥的母线长为＝6，
所以2π×2＝，解得n＝120，
即圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为120°．
故选：C．
【点睛】本题考查求圆锥侧面展开图的圆心角，勾股定理. 理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解决此题的关键.
10. 在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；
根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．
【详解】解：由方程组得ax2＝−a，
∵a≠0
∴x2＝−1，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．
A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；
C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；
D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．
故选C．
【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上．
11. 如图，在中， 以为直径的，交的延长线于点，交于点，连接，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
连接DC，根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据三角形内角和定理得到，最后利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍即可得到答案．
【详解】解：如图，连接DC，
∵BC是直径，
∴ （直径所对的圆周角是直角），
又∵，
∴（三角形内角和定理），
∴（同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍），
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角的相关性质（直径所对的圆周角是直角）、三角形内角和定理以及同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，掌握同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍是解题的关键．
12. 如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（ ）
A. 8B. 12C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB，求出点C到AB的距离，即可求出圆C上点到AB的最大距离，根据面积公式求出即可．
【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，﹣3），
，即OA=4，OB=3，
由勾股定理得：AB=5，
过C作CM⊥AB于M，连接AC，
则由三角形面积公式得：×AB×CM=×OA×OC+×OA×OB，
∴5×CM=4×1+3×4，
∴CM=，
∴圆C上点到直线的最大距离是=，
∴△PAB面积的最大值是=，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最大距离，属于中档题目．
第Ⅱ卷（共102分）
二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）
13. 已知x＝1是关于x的一元二次方程（1﹣k）x2+k2x﹣1＝0的根，则常数k的值为_____．
【答案】0
【解析】
【分析】
把x＝1代入原方程，求出k的值即可.
【详解】解∵x＝1是关于x的一元二次方程（1﹣k）x2+k2x﹣1＝0的根，
∴（1﹣k）×1+k2×1﹣1＝0，
∴k＝0
故答案为：0．
【点睛】本题考查的知识点是根据一元二次方程根的情况求参数的值，此类题目往往先将方程的解代入后，再求解.
14. 我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容九斛，大器一小器五容三斛．问大小器各容几何．”其大意为：有大小两种盛酒的桶，己知5个大桶加上1个小桶可以盛酒9斛（斛，音hu，是古代的一种容量单位）．1个大桶加上5个小桶可以盛酒3斛，问1个大桶和1个小桶分别可以盛__________斛酒．
【答案】，或，
【解析】
【分析】
设1个大桶可盛x斛酒，1个小桶可盛y斛酒，根据题意可得两个等量关系式分别为和，联立方程组可求解.
【详解】解：设1个大桶可盛x斛酒，1个小桶可盛y斛酒;
则;
解得;
所以设1个大桶可盛斛酒，1个小桶可盛斛酒;
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系是解决应用题的关键一步.
15. （2010河南）如图，矩形ABCD中，，，以AD的长为半径的交BC边于点E，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】
【解析】
【详解】如解图，连接，，，∴矩形的面积为，又，，∴在中，，是等腰直角三角形，，，．．
16. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据A、B两点的横坐标可得时，，即可得出的解集．
【详解】∵，，抛物线开口向上，
∴时，，
∴的解集为．
故答案为：
【点睛】本题考查二次函数与不等式，根据两函数图象的上下关系找出不等式的解集是解题关键．
17. 在直角坐标系中，直线与轴交于点，按如图方式作正方形、、，点、、在直线上，点、、在轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为、、、，则的值为__________．
【答案】
【解析】
分析】
结合正方形的性质结合直线的解析式可得出：A2B1=OC1，A3B2=C1C2，A4B3=C2C3，…，结合三角形的面积公式即可得出：S1=OC12=，S2=C1C22=2，S3=
C2C32=8，…，根据面积的变化可找出变化规律“Sn=22n-3（n为正整数）”，依此规律即可得出结论．
【详解】解：令一次函数y=x+1中x=0，则y=1，
∴点A1的坐标为（0，1），OA1=1．
∵四边形AnBnCnCn-1（n为正整数）均为正方形，
∴A1B1=OC1=1，A2B2=C1C2=2，A3B3=C2C3=4，…．
令一次函数y=x+1中x=1，则y=2，
即A2C1=2，
∴A2B1=A2C1-A1B1=1=A1B1，
∴tan∠A2A1B1=1．
∵AnCn-1⊥x轴，
∴tan∠An+1AnBn=1．
∴A2B1=OC1，A3B2=C1C2，A4B3=C2C3，…．
∴S1=OC12=，S2=C1C22=2，S3=C2C32=8，…，
∴Sn=22n-3（n为正整数），∴==.
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、三角形的面积公式以及规律型中得坐标的变化，解题的关键是找出“Sn=22n-3（n为正整数）”．属于中档题，难度不大．
18. 如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，与交于点0．则的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用中位线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，分别求得HO和OE的长后即可求得HE的长．
【详解】解：∵AC、CF分别是正方形ABCD和正方形CGFE的对角线，
∴∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
又∵H是AF的中点，
∴CH=HF，
∵EC=EF，
∴点H和点E都在线段CF的中垂线上，
∴HE是CF的中垂线，
∴点H和点O是线段AF和CF的中点，
∴OH=AC，
在Rt△ACD和Rt△CEF中，AD=DC=2，CE=EF=3，
∴AC=2，CF=3，
又OE是等腰直角△CEF斜边上的高，
∴OE=，
∴HE=HO+OE=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质及勾股定理的知识，综合性较强，难度较大．
三、解答题：共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．考生根据要求作答．
19. 先化简，再求值：，其中的值是方程的解．
【答案】，－12
【解析】
【分析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后由方程可以求得x的值，最后将x的值代入化简后的式子即可解答本题，注意代入x的值必须使得原分式有意义．
【详解】解：
由，得，，
∵x+1≠0，
∴x≠-1，
∴，
∴当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法，注意分式的分母不能为0．
20. 某中学为了解学生对新闻、体育、娱乐、动画四类电视节目的喜爱情况，进行了统计调查．随机调查了某班所有同学最喜欢的节目（每名学生必选且只能选择四类节目中的一类）并将调查结果绘成如下不完整的统计图．根据两图提供的信息，回答下列问题：
（1）最喜欢娱乐类节目的有 人，图中 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据抽样调查结果，若该校有2000名学生，请你估计该校有多少名学生最喜欢娱乐类节目；
（4）在全班同学中，有甲、乙、丙、丁等同学最喜欢体育类节目，班主任打算从甲、乙、丙、丁4名同学中选取2人参加学校组织的体育知识竞赛，请用列表法或树状图求同时选中甲、乙两同学的概率．
【答案】（1）20，18；（2）见解析；（3）800；（4）图形见解析，概率为
【解析】
【分析】
(1)先根据“新闻”类人数及其所占百分比求得总人数，再用总人数减去其他三个类型人数即可求得“娱乐”类人数，用“动画”类人数除以总人数可得x的值；
(2)根据(1)中所求结果即可补全条形图；
(3)用总人数乘以样本中“娱乐”类节目人数所占比例即可得；
(4)根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好同时选中甲、乙两位同学的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】（1）∵被调查的总人数为人，
∴最喜欢娱乐节目的有，，即，
故答案为：20、18；
（2）补全条形图如下：
（3）估计该校最喜欢娱乐类节目的学生有人；
（4）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，恰好同时选中甲、乙两位同学的有2种情况，
∴恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用列表法或画树状图法求概率，读懂统计图，能从不同的统计图中发现必要的信息是解题的关键.本题还用到的知识点是：概率=所求情况数与总情况数之比．
21. 如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且S△ACP=S△BOC，求点P的坐标．
【答案】（1）y=- （2）点P（﹣6，0）或（﹣2，0）
【解析】
【分析】
（1）利用点A在y=﹣x+4上求a，进而代入反比例函数求k．
（2）联立方程求出交点，设出点P坐标表示三角形面积，求出P点坐标．
【详解】（1）把点A（﹣1，a）代入y=x+4，得a=3，
∴A（﹣1，3）
把A（﹣1，3）代入反比例函数
∴k=﹣3，
∴反比例函数的表达式为
（2）联立两个函数的表达式得

解得
或
∴点B的坐标为B（﹣3，1）
当y=x+4=0时，得x=﹣4
∴点C（﹣4，0）
设点P的坐标为（x，0）
∵，
∴
解得x1=﹣6，x2=﹣2
∴点P（﹣6，0）或（﹣2，0）
【点睛】本题是一次函数和反比例函数综合题，考查利用方程思想求函数解析式，通过
联立方程求交点坐标以及在数形结合基础上的面积表达．
22. 某水果店第一次用1200元购进一批大樱桃，很快售完；又用2500元购进第二批大樱桃，所购公斤数是第一批的2倍，但进价比第一批每公斤多了5元．
（1）求第一批大樱桃每公斤进价多少元？
（2）若以每公斤150元的价格销售第二批大樱桃，售出后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批大樱桃的销售利润不少于320元，剩余的大樱桃每公斤售价至少打几折（利润=售价-进价）？
【答案】（1）第一批大樱桃每公斤进价为120元；（2）剩余大樱桃每公斤售价最少打7折
【解析】
【分析】
(1) 设第一批大樱桃每公斤进价元，根据大樱桃的进价保持不变，列出分式方程求解即可得到答案；
(2) 设剩余的大樱桃每公斤售价打折，销售利润不少于320元列出不等式，求解即可得到答案；
【详解】（1）设第一批大樱桃每公斤进价元，
根据题意，得：
解得．
经检验，是原方程的解且符合题意．
答：第一批大樱桃每公斤进价为120元．
（2）设剩余的大樱桃每公斤售价打折．
根据题意，得：
解得：，
答：剩余大樱桃每公斤售价最少打7折．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式的应用，能根据题目意思列出方程并正确求解是解题的关键．
23. 如图，在中，是边上的中线，且，，与相交于点，与相交于点．
（1）求证：；
（2）过点作于点，求：的值；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）D是BC的中点，ED⊥BC，ED垂直平分BC，推出，再根据等边对等角可得即可证得两三角形相似；
（2）根据等腰三角形的三线合一可得，，由DE和AM都垂直BC可得，根据平行线分线段成比例即可得出答案；
（3）根据可得△ABC的面积，进而求出AM的长，再由，即可求出DE的长．
【详解】（1）证明：∵是边上的中点，，，，，，∵，，；
（2）∵，，，∵，，
∵，，，．
（3）过点作，垂足是，∵，，，
∵，，又，；
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证两个三角形相似往往是证两角相等，熟练掌握等腰三角形的性质和相似的判定、性质是解决本题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、 O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
【答案】（1）；（2），时有最大值；（3）或或或．
【解析】
【分析】
（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式．
（2）设出M点的坐标，利用S＝S△AOM＋S△OBM−S△AOB即可进行解答；
（3）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合．
【详解】解：（1）设此抛物线的函数解析式为：，
将，，三点代入函数解析式得：
，
解得，
所以此函数解析式为：；
（2）∵点的横坐标为，且点在这条抛物线上，
∴点的坐标为：，
∴
∵，
当时，有最大值为：．
答：时有最大值．
（3）设．
当为边时，根据平行四边形的性质知，且，
∴的横坐标等于的横坐标，
又∵直线的解析式为，则．
由，得，
解得，，．（不合题意，舍去）
如图，当为对角线时，知与应该重合，．
四边形为平行四边形则，横坐标为4，
代入得出为．
由此可得或或或．
【点睛】本题考查了三点式求抛物线的方法，以及抛物线的性质和最值的求解方法．
25. 已知四边形和四边形都正方形，且．
（1）如图1，连接、．求证：；
（2）如图2，将正方形绕着点旋转到某一位置时恰好使得，．求度数；
（3）在（2）的条件下，当正方形的边长为时，请直接写出正方形的边长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的性质可得，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90°，然后利用SAS即可证出≌，从而得出结论；
（2）连接，由，，得：，利用SAS证出 ，从而证出是等边三角形，得出，即可求出结论；
（3）过点G作GM⊥BC，交BC的延长线于点M，设CM=x，则GM=x，CG=x，在Rt△BGM中，根据勾股定理，列出方程，即可求解．
【详解】证明：（1）∵四边形和是正方形
∴，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90°
∴∠BCD＋DCG=∠GCE＋DCG
∴
在和中，
，
∴≌．
∴；
（2）解：如图连接，
，
∴
∵
∴
∴
∴
在和中，
，
∴．
∴，
∴，
∴是等边三角形．
∴；
∵
∴．
（3）解：过点G作GM⊥BC，交BC的延长线于点M，如图2，
∵，
∴∠GCM=45°，
设CM=x，则GM=x，CG=x，
∵正方形的边长为，
∴BC=，BG=BD=4，
∵在Rt△BGM中，BM2+GM2=BG2，
∴，
解得：，（舍）
∴，
即：正方形的边长是：．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，添加合适的辅助线，构造全等三角形和直角三角形，是解题的关键．