高中数学人教版新课标A选修2-32.4正态分布教学设计

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-32.4正态分布教学设计，共17页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程，学习目标，知识结构，达标练习等内容，欢迎下载使用。
了解正态分布的意义，掌握正态分布曲线的主要性质及正态分布的简单应用。
了解假设检验的基本思想，会用质量控制图对产品的质量进行检测，对生产过程进行控制。
【教学重难点】
教学重点：1.正态分布曲线的特点；
2.正态分布曲线所表示的意义.
教学难点：1.在实际中什么样的随机变量服从正态分布；
2．正态分布曲线所表示的意义.
【教学过程】
设置情境，引入新课
这是一块高尔顿板，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内。
问题1.在投放小球之前，你能知道这个小球落在哪个球槽中吗？
问题2.重复进行高尔顿板试验，随着试验次数的增加，掉入每个球槽中小球的个数代表什么？
问题3.为了更好的研究小球分布情况，对各个球槽进行编号，以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标，你能画出它的频率分布直方图吗？
问题4.随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会发生什么样的变化？
二、合作探究，得出概念
随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线.
这条曲线可以近似下列函数的图像：

其中实数为参数，我们称的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。
问题5.如果在高尔顿板的底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，X表示一个随机变量，X落在区间的概率为什么？其几何意义是什么？
一般地，如果对于任何实数，随机变量X满足
则称X的分布为正态分布，记作，如果随机变量X服从正态分布，则记为。
问题6.在现实生活中，什么样的分布服从或近似服从正态分布？
问题7.结合的解析式及概率的性质，你能说说正态分布曲线的特点吗？
可以发现，正态曲线有以下特点：
曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
曲线是单峰的，它关于直线对称；
曲线在处达到峰值；
曲线与x轴之间的面积为1；
当一定时，曲线随着德变化而沿x轴平移；
当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。
若，则对于任何实数概率
对于固定的而言，给面积随着的减少。这说明越小，X落在区间的概率越小，即X集中在周围概率越大.
特别有
可以看到，正态总体几乎总取值于区间之内。而在此区间以外取值的概率只有,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取之间的值，简称之为原则
典型例题
在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即。
试求考试成绩位于区间（70,110）上的概率是多少？
若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80,100）间的考生大约有多少人？
解析：正态分布已经确定，则总体的期望和标准差就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解.
解：因为 ，所以 =90， =10。
由于正态变量在区间内取值的概率是0.9544,而该正态分布中，
，于是考试成绩位于区间（70,110）内的概率就是0.9544。
由=90， =10，得。由于正态变量在区间内取值的概率是0.6826,所以考试成绩位于区间（80,100）内的概率就是一共有2000名考生，所以考试成绩在（80,100）间的考生大约有20000.68261365人。
点评：解答这类问题的关键是熟记正态变量的取值位于区间，，上的概率值，同时又要根据已知的正态分布确定所给区间属于上述三个区间中的哪一个.
变式训练.已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？（ ）

答案C
反馈测评
1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ
（１）
（２）
（３）
2.若随机变量,则在区间上的取值的概率等于在下列哪个区间上取值的概率（ ）

3．若随机变量服从正态分布，则在区间上取值的概率等于（ ）

4.若一个正态总体落在区间里的概率是0.5，那么相应的正态曲线f（x）
在x= 时，达到最高点。
答案：1.(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5 2.C 3.C 4. 0.2
课堂小结
了解正态曲线、正态分布的概念，知道正态曲线的解析式及曲线的特点。
了解假设检验的基本思想并体会它的应用。
作业
课本P86习题2.4 1、2题
2.4.1正态分布
课前预习学案
预习目标
通过实际问题，借助直观，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。
通过实际问题，知道假设检验的思想。
二、预习内容
1.我们把函数 的图像称为正态分布密度曲线，简称 。
2．一般地，如果对于任何实数，随机变量X满足 ,则称随机变量X的分布为正态分布，记作 ，如果随机变量X服从正态分布，则记为 。
3.正态曲线的特点：




4.在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取 之间的值，简称之为 。
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
课内探究学案
一、 学习目标
知道正态分布密度曲线、正态分布的概念。
知道正态曲线的解析式及函数图像。
通过图像知道正态曲线的特点。
能在实际中体会3原则的应用。
二、学习重难点
学习重点：1.正态分布曲线的特点；2.正态分布曲线所表示的意义.
学习难点：正态分布在实际中的应用。
三、学习过程
（一）自主学习
大家预习课本P80页，并回答以下几个问题：
问题1.在投放小球之前，你能知道这个小球落在哪个球槽中吗？
问题2.重复进行高尔顿板试验，随着试验次数的增加，掉入每个球槽中小球的个数代表什么？
问题3.为了更好的研究小球分布情况，对各个球槽进行编号，以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标，你能画出它的频率分布直方图吗？
问题4.随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会发生什么样的变化？
(二) 合作探究，得出概念
二、合作探究，得出概念
随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线.
这条曲线可以近似下列函数的图像：

其中实数为参数，我们称的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。
问题5.如果在高尔顿板的底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，X表示一个随机变量，X落在区间的概率为什么？其几何意义是什么？
一般地，如果对于任何实数，随机变量X满足
则称X的分布为正态分布，记作，如果随机变量X服从正态分布，则记为
问题6.在现实生活中，什么样的分布服从或近似服从正态分布？
问题7.结合的解析式及概率的性质，你能说说正态分布曲线的特点吗？
可以发现，正态曲线有以下特点：
曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
曲线是单峰的，它关于直线对称；
曲线在处达到峰值；
曲线与x轴之间的面积为1；
当一定时，曲线随着德变化而沿x轴平移；
当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。
若，则对于任何实数概率
对于固定的而言，给面积随着的减少。这说明越小，X落在区间的概率越小，即X集中在周围概率越大.
特别有
可以看到，正态总体几乎总取值于区间之内。而在此区间以外取值的概率只有,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取之间的值，简称之为原则
典型例题
在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即。
试求考试成绩位于区间（70,110）上的概率是多少？
若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80,100）间的考生大约有多少人？
解析：正态分布已经确定，则总体的期望和标准差就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解.
变式训练.已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？（ ）

答案C
反馈测评
1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ
（１）
（２）
（３）
2.若随机变量,则在区间上的取值的概率等于在下列哪个区间上取值的概率（ ）

3．若随机变量服从正态分布，则在区间上取值的概率等于（ ）

4.若一个正态总体落在区间里的概率是0.5，那么相应的正态曲线f（x）
在x= 时，达到最高点。
答案：1.(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5 2.C 3.C 4. 0.2
课堂小结
了解正态曲线、正态分布的概念，知道正态曲线的解析式及曲线的特点。
了解假设检验的基本思想并体会它的应用。
课后练习与提高
选择题
1.下列函数中，可以作为正态分布密度函数的是( )


2．函数，的奇偶性为（ ）
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.无法判断
3．若随机变量满足正态分布，则关于正态曲线性质的叙述正确的是（ ）
A.越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“瘦高”.
B. 越大，曲线越“瘦高”, 越小，曲线越“矮胖”
C. 的大小，和曲线的“瘦高”，“矮胖”没有关系
D.曲线的“瘦高”，“矮胖”受到的影响
二、填空题
4.随机变量，其密度函数f（x）的最大值是
5.工人制造机器零件，零件的尺寸服从分布，则不属于这个尺寸范围的零件约占总数的
三、解答题
6．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值等于，求该正态分布的密度函数的解析式.
1.A 2.B 3.A 4
6.解：由于该正态分布的概率密度函数是偶函数，所以其图像即正态曲线关于y轴对称，记=0。而正态密度函数的最大值是，所以=，所以=4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是，
小结与复习
【学习目标】
1 在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性。
2 通过实例，理解超几何分布及其推到过程，并能进行简单的应用。
3 了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际应用。
4 理解离散型随机变量的均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量得均值、方差，并能解决一些实际问题。
5 通过实际问题，借助直观模型，认识正态分布曲线的特点及表示的意义。
【知识结构】
随机变量
离散型随机变量
分布列
均值
方差
应用
两点分布
二项分布
条件概率
两事件独立
正态分布
正态分布密度曲线
原则
应用
【达标练习】
一、选择题
1．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．
其中正确的个数是（ ）
Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4
2．设离散型随机变量X的分布列为：
3．袋中有3个红球、2个白球,从中任取2个，用X表示取到白球的个数，则X的分布列为（ ）

4．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拔，他第一次失败，第二次成功的概率是（ ）
Ａ．Ｂ．Ｃ． Ｄ．
5．甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率是0.8，乙击中目标的概率是0.6，则两人都击中目标的概率是（ ）
Ａ．1.4Ｂ．0.9Ｃ．0.6Ｄ．0.48
6．某厂大量生产一种小零件，经抽样检验知道其次品率是，现把这种零件中6件装成一盒，那么该盒中恰好含一件次品的概率是（ ）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
7．设随机变量，则等于（ ）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
8．两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分别为a，b，则产生故障的电脑台数的均值为（ ）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
9．设，则落在内的概率是（ ）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
10．正态分布在下面几个区间内的取值概率依次为（ ）
①②③
Ａ．① ② ③
Ｂ．① ② ③
Ｃ．① ② ③
Ｄ．① ② ③
11节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如下表所示的分布：
若进这种鲜花500束，则利润的均值为（ ）
Ａ．706元Ｂ．690元Ｃ．754元Ｄ．720元

12．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ ）
Ａ．甲学科总体的方差最小
Ｂ．丙学科总体的均值最小
Ｃ．乙学科总体的方差及均值都居中
Ｄ．甲、乙、丙的总体的均值不相同
13．事件相互独立，若，则 ．
14．两台独立在两地工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，则恰有1台雷达发现飞行目标的概率为 ．
15．某灯泡厂生产大批灯泡，其次品率为1.5%，从中任意地陆续取出100个，则其中正品数X的均值为 个，方差为 ．
16．设，当在内取值的概率与在内取值的概率相等时， ．
三、解答题
17．一批产品分一、二、三级，其中一级品的数量是二级品的两倍，三级品的数量是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检查其品级，用随机变量描述检验的可能结果，写出它的分布列．
18．甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求
（1）恰有1人译出密码的概率；
（2）若达到译出密码的概率为，至少需要多少乙这样的人．
19．生产工艺工程中产品的尺寸偏差，如果产品的尺寸与现实的尺寸偏差的绝对值不超过4mm的为合格品，求生产5件产品的合格率不小于的概率．
（精确到0.001）．
20．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所出次品数分别为，，且和的分布列为：
试比较两名工人谁的技术水平更
21．张华同学上学途中必须经过四个交通岗，其中在岗遇到红灯的概率均为，在岗遇到红灯的概率均为．假设他在4个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，X表示他遇到红灯的次数．
（1）若，就会迟到，求张华不迟到的概率；（2）求EX．
一、选择题
1Ｄ2Ｃ3Ｄ4Ａ5Ｄ 6Ｃ7Ａ8Ｂ9Ｄ10Ｂ11Ａ12Ａ
二、填空题
13 140. 22 15 98.5，1.4775 16 4
三、解答题
17解：设二级品有个，则一级品有个，三级品有个．一级品占总数的，
二级品占总数的，三级品占总数的．
又设表示取到的是级品，
则，，，
的分布列为：
18解：设“甲译出密码”为事件A；“乙译出密码”为事件B，
则．
（1）．
（2）个乙这样的人都译不出密码的概率为．
．解得．
达到译出密码的概率为，至少需要17人.
20解：，．
，说明两人出的次品数相同，可以认为他们技术水平相当.
又，
．
，工人乙的技术比较稳定.
∴可以认为工人乙的技术水平更高.
21解：（1）；
．
故张华不迟到的概率为．
（2）的分布列为
.
疑惑点
疑惑内容
1
2
3
4
200
300
400
500
0．20
0．35
0．30
0．15

0
1
2
0
1
2
1
2
3
0
1
2
3
4