北京市东城区2020-2021学年第一学期高一数学试题 含答案

东城区2020-2021学年度第一学期期末统一检测

                    高一数学                    2021.1

本试卷共4页，满分100分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合，集合，那么  

（A） （B） （C） （D）

（2）已知为奇函数，且当时，，则的值为

（A）                               （B）      

（C）                                 （D）

（3）若扇形的半径为1，周长为，则该扇形的圆心角为

（A）            （B）         （C）          （D）

（4）下列命题为真命题的是

（A）若，则 （B）若，则

（C）若，，则 （D） 若，，则

（5）已知，则

（A）                                （B）       

（C）                                  （D）

（6）若函数是上的减函数，，则下列不等式一定成立的是

（A）　　　　               （B）        

（C）          （D）

（A）　　　                     （B）         

（C）          （D）

（8）“”是“”成立的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件  （D）既不充分也不必要条件

（9）如图所示，单位圆上一定点与坐标原点重合．若单位圆从原点出发沿轴

  正向滚动一周，则点形成的轨迹为

（A）        　　　　　　　　　　　        （B） 

（C）　　　　　　　　　　　　　　　　（D）

（10）已知函数，给出下列结论：

①  ，是奇函数； ② ，不是奇函数；

③  ，方程有实根； ④ ，方程有实根．

其中，所有正确结论的序号是

（A）① ③　　　 （B）① ④        （C）① ② ④        （D）② ③ ④

第二部分（非选择题  共60分）

二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分。

（ 11 ）函数的定义域为________．

（12）已知函数是指数函数，若，则　　　　.(用“”“”“”填空）

（13）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第一象限内的点，则

=　　　　．保持角始边位置不变，将其终边逆时针旋转得到角，则＝　　　　．

（14）已知偶函数，写出一组使得恒成立的的取值：　　　　，　　　　．

（15）某地原有一座外形近似为长方体且底面面积为150平方米的蓄水池，受地形所限，底面长和宽都不超过

18米．现将该蓄水池在原有占地面积和高度不变的条件下，重建为两个相连的小蓄水池，

其底面由两个长方形组成（如图所示）.若池壁的重建价格为每平方米300元，池底重建

价格每平方米80元，那么要使重建价最低，蓄水池的长和宽分别为　　　　，　　　　．

三、解答题：共5小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题7分）

设全集,集合，.

（Ⅰ）当时，求；

（Ⅱ）若，求的取值范围．

（17）（本小题7分）

已知函数

（Ⅰ）求的值并直接写出的零点；

（Ⅱ）用定义证明在区间上为减函数.

（18）（本小题9分）

已知函数其中．

从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，求：

（Ⅰ）的单调递增区间；

（Ⅱ）在区间的最大值和最小值．

条件①：函数最小正周期为；

条件②：函数图象关于点对称；

条件③： 函数图象关于对称．

注：如果选择不同条件组合分别解答，按第一个解答计分．

（19）（本小题9分）

已知函数是奇函数.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）判断的单调性；（只需写出结论）

（Ⅲ）若不等式恒成立，求的取值范围．

（20）（本小题8分）

中国茶文化博大精深.小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别,达到最佳口感的水温不同．为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是,环境温度是，则经过时间（单位：分）后物体温度将满足： ，其中为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到初始温度为的水在室温中温度下降到相应温度所需时间如下表所示：

（I） 请依照牛顿冷却模型写出冷却时间（单位：分）关于冷却后水温（单位：）的函数关系，并选取一

组数据求出相应的值．（精确到0.01）

（II）“碧螺春”用左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳.在（I）的条件下，水煮沸后在

室温下为获得最佳口感大约冷却    分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说

明理由．

（A）　　    　  （B）          （C） 

（参考数据： ， ，，，）