中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第33讲 图形的相似（原卷版）学案

中考数学一轮复习讲义

考点三十三：图形的相似

聚焦考点☆温习理解

1、比和比例的有关概念：

(1)表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例.

(2)第四比例项：若或a:b=c:d，那么d叫作a、b、c的第四比例项.

(3)比例中项：若或a:b=b:c，b叫作a，c的比例中项.

(4)黄金分割：把一条线段(AB)分割成两条线段，使其中较长线段(AC)是原线段AB与较短线段(BC)的比例线段，就叫作把这条线段黄金分割.即AC2=AB·BC，AC=；一条线段的黄金分割点有两个.

2.比例的基本性质及定理

(1)

(2)

(3)

3.平行线分线段成比例定理

(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

(2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例；

(3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；

(4)平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．

4.相似三角形.

相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形

相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比．

5．相似三角形的判定

(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；

(2)两角对应相等，两三角形相似；

(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；

(4)三边对应成比例，两三角形相似；

(5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；

(6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．

6．相似三角形性质

相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．

7．相似多边形的性质

(1)相似多边形对应角相等，对应边成比例．

(2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．

8．位似图形

(1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．

(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．

名师点睛☆典例分类

考点典例一、比例的基本性质、黄金分割

【例1】已知，则的值是(　　)

A． B． C． D．

【举一反三】

(安徽省宣城市第六中学等三校2018届九年级下学期第一次联考)宽与长的比是(约为0．618)的矩形叫做黄金矩形。我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线与点G；作，交AD的延长线于点H．则图中下列矩形是黄金矩形的是( )

A. 矩形ABFE    B. 矩形DCGH    C. 矩形EFGH    D. 矩形EFCD

考点典例二、三角形相似的性质及判定

【例2】(2019•浙江杭州•3分)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AM交DE于点N，则(　　)

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝

【举一反三】

(2019•四川自贡•4分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE＝　　．

考点典例三、相似三角形综合问题

【例3】(2019•河南•10分)在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．

(1)观察猜想

如图1，当α＝60°时，的值是　1　，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是　60°　．

(2)类比探究

如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．

(3)解决问题

当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．

【分析】(1)如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明△CAP≌△BAD(SAS)，即可解决问题．

(2)如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明△DAB∽△PAC，即可解决问题．

(3)分两种情形：①如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明AD＝DC即可解决问题．

②如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC解决问题．

【举一反三】

(2019安徽)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．

(1)求证：△PAB∽△PBC；

(2)求证：PA＝2PC；

(3)若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．

考点典例四、相似多边形与位似图形

【例4】(2019•邵阳)如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是

A．△ABC∽△A′B′C′ 

B．点C、点O、点C′三点在同一直线上 

C．AO∶AA′=1∶2 

D．AB∥A′B′

【举一反三】

(2018甘肃兰州中考模拟)如图，四边形与四边形相似，位似中心点是，，则       .

课时作业☆能力提升

1. 在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，8)，B(10，2)，若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为(　　)

A. (5，1)    B. (4，3)    C. (3，4)    D. (1，5)

2. ．要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为(    )

A. 3cm    B. 4cm    C. 4.5cm    D. 5cm

3. (2018年海南省定安县中考数学仿真)如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=4，CD=12，那么EF的长是(　　)

A. 2    B. 2.5    C. 3    D. 2.8

4. (湖南省邵阳县黄亭市镇中学2017~2018学年九年级数学(上)期末)如图，∠1=∠2=∠3，则下列结论不正确的是(　　)

A. △DEC∽△ABC    B. △ADE∽△BEA

C. △ACE∽△BEA    D. △ACE∽△BCA

5. (2018年甘肃省兰州市七里河区杨家桥学校中考数学模拟)如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，D，E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为(　　)

A.     B. 3    C. 2    D. 1

6. (陕西省西安铁一中2018届九年级下学期模拟)如图所示，在平行四边形中， 与相交于点， 为的中点，连接并延长交于点，则的值为(    )．

A.     B.     C.     D.

7. (2019，四川巴中，4分)如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝(　　)

A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9

8. (2017山东菏泽中考模拟)如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC

其中正确的是(　   　)

A. ①②③④    B. ②③    C. ①②④    D. ①③④

9. 如图，△ABC中，点D、E分別在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=1：2，则△ADE与△ABC的面积的比为__________．

10. 如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接

AC、HE、EC，GA，GF．已知AG⊥GF，AC=，则AB的长为__________．

11. ．矩形ABCD中，AB=6，BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为数___________.

12. (2018四川绵阳中考模拟)在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N；若AM=1，MB=2，BC=3，则MN的长为　　．

13. (2018山东济南中考模拟)如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1.与是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点都在格点上，则点的坐标是        .

14. (2017年重庆市合川中学中考数学模拟)如图，▱ABCD中，M、N是BD的三等分点，连接CM并延长交AB于点E，连接EN并延长交CD于点F，以下结论：

①E为AB的中点；

②FC=4DF；

③S△ECF=；

④当CE⊥BD时，△DFN是等腰三角形．

其中一定正确的是_____．

15.(江苏省扬州市宝应县射阳湖镇天平初级中学2018届九年级上学期第二次月考)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E 求证：

(1)；(2)

16. ．如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，E是BD上一点，EF//AB，∠EAB=∠EBA，过点B作DA的垂线，交DA的延长线于点G．

(1)∠DEF和∠AEF是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；

(2)找出图中与ΔAGB相似的三角形，并证明；

(3)BF的延长线交CD的延长线于点H，交AC于点M．求证：BM2=MF⋅MH．

17．(2018湖北武汉中考模拟)在△ABC中，P为边AB上一点．

(1)如图1，若∠ACP=∠B，求证：AC2=AP•AB；

(2)若M为CP的中点，AC=2．

①如图2，若∠PBM=∠ACP，AB=3，求BP的长；

②如图3，若∠ABC=45°，∠A=∠BMP=60°，直接写出BP的长．

18.(2018青海西宁中考模拟)如图，在中，，以为直径作交于点，过点作的切线交于点，交延长线于点.

(1)求证：；

(2)若，求的长.

19. 在正方形ABCD中，AB＝4，点P，Q分别在直线CB与射线DC上(点P不与点C，点B重合)，且保持∠APQ＝90°，CQ＝1，求线段BP的长．

20. (2019•湖南常德•10分)在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于点M，BN⊥AC交AC于点N．

(1)在图1中，求证：△BMC≌△CNB；

(2)在图2中的线段CB上取一动点P，过P作PE∥AB交CM于点E，作PF∥AC交BN于点F，求证：PE+PF＝BM；

(3)在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似(2)过P作PE∥AB交CM的延长线于点E，作PF∥AC交NB的延长线于点F，求证：AM•PF+OM•BN＝AM•PE．