期末复习模拟四（选择性必修一、选择性必修第二册数列） （含答案）

高二数学期末复习模拟四

范围(选择性必修一 +选择性必修二数列)

一、单选题

1．在公差为2的等差数列中，，则（    ）

A． B． C． D．

2．圆的圆心坐标和半径分别为（ ）

A．、13 B．、 C．、13 D．、

3．若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为（    ）

A．0  B．  C．  D．

4．已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，，当切线长最小时，弦的长度为（    ）

A． B． C． D．

5．若数列满足（为常数），则称数列为“等比和数列”，称为公比和，已知数列是以为公比和的等比和数列，其中，，则

（  ）

A．    B．    C．    D．

6．已知为等差数列的前项和，若，则（   ）

A．47     B．73     C．37     D．74

7．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点在抛物线上，点到准线的距离为，点关于准线的对称点为点，交轴于点，若，，则实数的值是（   ）

A． B． C． D．

8．如图，矩形中，为的中点，为的中点，交于点，将沿直线翻折到，连接，为的中点，则在翻折过程中，下列命题错误的是（   ）

A．翻折过程中，始终有平面平面

B．存在某个位置，使得

C．若，则

D．翻折过程中，的长是定值

二、多选题

9．已知直线，动直线，则下列结论错误的是（    ）

A．不存在，使得的倾斜角为90° B．对任意的，与都有公共点

C．对任意的，与都不重合 D．对任意的，与都不垂直

10．已知二面角的大小为，点，点，，且，，，则，两点间的距离可以是（    ）

A． B． C．3 D．

11．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于点，且，.下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．△的面积为

12．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法正确的是（    ）

A．甲得钱是戊得钱的倍 B．乙得钱比丁得钱多钱

C．甲、丙得钱的和是乙得钱的倍 D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱

三、填空题

13． 已知数列的前项和为，若，则         

14．如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，构成空间的一个基底，将用基底表示，=__________.

15．如图，两条距离为4的直线都与y轴平行，它们与抛物线和圆分别交于和，且抛物线的准线与圆相切，则当取得最大值时，直线的方程为_________．

16．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为________.

四、解答题

17．已知点C是曲线上一点，以C为圆心的圆与x轴交于O､A两点，与y交于O､B两点，其中O为坐标原点.

（1）求证：的面积为定值；

（2）设直线与圆C交于M，N两点，若，求圆C的方程.

18．已知等比数列的公比为q，与数列满足.

(1) 证明：数列为等差数列；

 (2) 若，且数列的前3项和，求的通项公式；

(3) 在(2)的条件下，求.

19．已知点分别为椭圆的左，右顶点，点，直线交于点，

且是等腰直角三角形.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的动直线与相交于两点，当坐标原点位于以为直径的圆外时，求直线斜率的取值范围.

20．已知等比数列的各项均为正数，，公比为q；等差数列中，，且的前n项和为，，.

（1）求与的通项公式；

（2）设数列满足，求的前n项和.

21．如图，在四棱锥中，平面，，为的中点，在上，且，点在上，且，，.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

22．如图所示，曲线：(､)与正方形：的边界相切.

（1）求的值；

（2）设直线：交曲线于､，交于､，是否存在这样的曲线，使得､､成等差数列？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

参考答案

1．B          2．D        3．D            4．B

5．D           6．D        7．D         8．B

9．AC          10．ABC

11．BCD        12．AC

13．.      14．

15．   16．

17．【解】（1）证明：由题意设，则半径为，

所以圆的方程为，

令，则， 所以，，

令，则， 所以，，

所以，

所以的面积为定值.

（2）因为，所以原点在线段的垂直平分线上，

设线段的中点为，则三点共线，由（1）知，

的斜率为，由于直线所以与垂直，所以，

解得，或舍去，所以，

圆C的方程为.

18.【解】(1)证明：设的公比为 ∵ （）

∴ （） 

∴（与无关的常数）

∴数列为等差数列，公差为.      

(2)解: ∵    即，解得

∴  

(3)由得，可得

∴的前8项均为正，从第9项开始为负

①当时，

②当时,

综上所述： ．

19．【解】（Ⅰ）由是等腰直角三角形，得 ，，

设 ，则由，得 ，

代入椭圆方程得 ，

所以的方程为 ，

（Ⅱ）依题意得，直线的斜率存在，方程设为 ，

联立消去并整理得： （*），

因直线与有两个交点，即方程（*）有不等的两实根，

故，解得 ，

设，，由根与系数的关系得 ，

由坐标原点位于以为直径的圆外，即 ，

又由

解得，

综上可得，则或 .

则满足条件的斜率的取值范围为.

20．解：（1）设的公差为，由，，

可得：，解得：，

可得：，；

（2）由（1）可得：，

故：，

可得：.

21．【解】（1）取的中点，连接､，则∵为的中点，

∴，且，

又，∴，且，

∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，

又∵平面，平面，∴平面；

（2）∵平面，∴，又，，∴平面，

又∵平面，在平面内过点作，且，∴平面，∴以原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

∵，，

∴在中，

∴为中点，∴､､､､，

设平面的法向量为，∵､，

由得，则，令得，∴，

又，设直线与平面所成角的平面角为，

则，

∴直线与平面所成角的正弦值为.

22.【解】

（1）由题联立得，

有，化简的，

又､，∴，从而有；

（2）由，得，即，

由联立得，

有，可得，

且，，

∴，

得，从而，

∴，即有，符合，

故当实数的取值范围是时，

存在直线和曲线，使得､､成等差数列.