高中数学：2.7《导数的实际应用1》教案（北师大版选修2-2）

第七课时   导数的实际应用（一）

一、教学目标：

1、知识与技能：⑴让学生掌握在实际生活中问题的求解方法；⑵会利用导数求解最值。

2、过程与方法：通过分析具体实例，经历由实际问题抽象为数学问题的过程。

3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法

二、教学重点：函数建模过程     

   教学难点：函数建模过程

三、教学方法：探究归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、复习：利用导数求函数极值和最值的方法

（二）、探究新课

例1、在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？

解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积

  ．

令    ＝0，解得  x=0（舍去），x=40， 并求得 V(40)=16 000

由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3

解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积

．（后面同解法一，略）

由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值

例2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积

S=2πRh+2πR2

由V=πR2h，得，则

S(R)= 2πR+ 2πR2=+2πR2

令 +4πR=0

解得，R=，从而h====2

即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省

变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ 提示：S=2+h=

V(R)=R=

)=0 ．

例3、已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？

分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．

解：收入，

利润

令，即，求得唯一的极值点答：产量为84时，利润L最大

（三）、小结：本节课学习了导数在解决实际问题中的应用.

（四）、课堂练习：第69页练习题   （五）、课后作业：第69页A组中1、3   B组题。

五、教后反思：