2013-2014学年高二数学湘教版选修2-2：5.4知能演练轻松闯关教案
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1.(2012·高考湖南卷)复数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
解析：选A.∵z＝i(i＋1)＝－1＋i.
∴z的共轭复数z＝－1－i.
2.(2011·高考江西卷)若z＝，则复数z＝( )
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
解析：选D.z＝＝＝＝2－i，∴z＝2＋i.
3.向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是( )
A．－10＋8i B．10－8i
C．0 D．10＋8i
解析：选C.＋对应的复数是5－4i＋(－5＋4i)＝(5－5)＋(－4＋4)i＝0.
4.若复数z＝1－2i(i为虚数单位)，则z·z＋z＝________．
解析：∵z＝1－2i，∴z·z＝|z|2＝5.∴z·z＋z＝6－2i.
答案：6－2i
一、选择题
1.(2011·高考课标全国卷)复数的共轭复数是( )
A．－i B.i
C．－i D．i
解析：选C.法一：∵＝
＝＝i，
∴的共轭复数为－i.
法二：∵＝＝＝i，
∴的共轭复数为－i.
2.把复数z的共轭复数记作z，i为虚数单位．若z＝1＋i，则(1＋z)·z＝( )
A．3－i B．3＋i
C．1＋3i D．3
解析：选A.(1＋z)·z＝(2＋i)·(1－i)＝3－i.
3.在复平面内，复数z＝sin2＋icos2对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D.∵<2<π，∴sin2>0，cos2<0.
故z＝sin2＋icos2对应的点在第四象限．故选D.
4.(2011·高考辽宁卷改编)a为正实数，i为虚数单位，z＝1－ai，若|z|＝2，则a＝( )
A．2 B.
C．－ D．1
解析：选B.|z|＝|1－ai|＝＝2，∴a＝±，
而a是正实数，∴a＝.
5.如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是( )
A. B.i
C.＋i D.＋2i
解析：选C.设这个复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z＋|z|＝5＋i，即a＋＋bi＝5＋i，
∴，解得.
∴z＝＋i.
6.设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1＋z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D.∵z1＋z2＝(3－4i)＋(－2＋3i)
＝(3－2)＋(－4＋3)i＝1－i，
∴z1＋z2对应的点为(1，－1)，在第四象限．
二、填空题
7.复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________．
解析：表示－对应的复数，由－2－5i－(4＋3i)＝－6－8i，知对应的复数是－6－8i.
答案：－6－8i
8.在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x上，则实数m的值为________．
解析：复数z在复平面上对应的点为(m－3，2)，
∴m－3＝2，即m－2－3＝0.
解得m＝9.
答案：9
9.复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则|z|＝________．
解析：∵复数z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，
∴解得a＝1，∴z＝2i.∴|z|＝2.
答案：2
三、解答题
10.(2012·江北检测)已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．
解：∵z＝3＋ai(a∈R)，
∴|z|＝，
由已知得32＋a2<42，
∴a2<7，∴a∈(－，)．
.实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
(1)对应点在x轴上方；
(2)对应点在直线x＋y＋5＝0上．
解：(1)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5.
故当m<－3或m>5时，z的对应点在x轴上方．
(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，
得m＝或m＝.
故当m＝或m＝时，z的对应点在直线x＋y＋5＝0上．
.(创新题)已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
解：(1)∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
∴向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又＝＋，
∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
∵＝，
∴向量对应的复数为3－i，即＝(3，－1)．
设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
∴，解得，∴点D对应的复数为5.
(2)∵·＝||||cos B，
∴cos B＝＝＝＝.
∴sin B＝，
∴S＝||||sin B＝××＝7，
∴平行四边形ABCD的面积为7.
