![2013-2014学年高二数学湘教版选修2-2:6.3知能演练轻松闯关教案第1页](http://m.enxinlong.com/img-preview/3/3/12485418/0/0.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
![2013-2014学年高二数学湘教版选修2-2:6.3知能演练轻松闯关教案第2页](http://m.enxinlong.com/img-preview/3/3/12485418/0/1.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
2013-2014学年高二数学湘教版选修2-2:6.3知能演练轻松闯关教案
展开1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N+),在验证n=1时,等式左边的项是( )A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a3解析:选C.当n=1时,左边=1+a+a2.将n=1代入可得.2.(2012·荣昌质检)某个与正整数有关的命题:如果当n=k(k∈N+)时命题成立,则可以推出当n=k+1时该命题也成立.现已知n=5时命题不成立,那么可以推得( )A.当n=4时命题不成立 B.当n=6时命题不成立C.当n=4时命题成立 D.当n=6时命题成立解析:选A.因为当n=k(k∈N+)时命题成立,则可以推出当n=k+1时该命题也成立,所以假设当n=4时命题成立, 那么当n=5时命题也成立,则与已知矛盾,所以当n=4时命题不成立.3.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”时第二步的归纳假设应写成( )A.假设n=2k+1(k∈N+)时正确,再推n=2k+3时正确B.假设n=2k-1(k∈N+)时正确,再推n=2k+1时正确C.假设n=k(k∈N+)时正确,再推n=k+1时正确D.假设n=k(k≥1)时正确,再推n=k+2时正确解析:选B.因为n为正奇数,根据数学归纳法证题步骤,第二步应先假设第k个正奇数也成立,本题即假设n=2k-1(k∈N+)时正确,再推第(k+1)个正奇数即n=2k+1时正确.4.(2012·梁平检测)用数学归纳法证明++…+>-.假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是________.解析:观察不等式中的分母变化知,++…+++>-.答案:++…+++>-一、选择题1.若A(n)(n∈N+)在n=k(k∈N+)时命题成立,则有n=k+1时命题成立.现知n=n0(n0∈N+)时命题成立,则有( )A.命题对所有正整数都成立B.命题对小于n0的正整数不成立,对大于或等于n0的正整数都成立C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于n0的正整数都成立D.以上说法都不正确解析:选C.由已知得n=n0(n0∈N+)时命题成立,则有n=n0+1时命题成立;在n=n0+1时命题成立的前提下,又可推得n=(n0+1)+1时命题也成立,依此类推,可知选C.2.(2011·高考江西卷改编)观察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,…,则52012的末四位数字为( )A.3125 B.5625C.0625 D.8125解析:选C.∵55=3125,56=15625,57=78125,58末四位数字为0625,59末四位数字为3125,510末四位数字为5625,511末四位数字为8125,512末四位数字为0625,…,由上可得末四位数字周期为4,呈规律性交替出现,∴52012=54×503末四位数字为0625.3.(2012·南开检测)对于不等式 <n+1(n∈N+),某同学用数学归纳法的证明过程如下:(1)当n=1时,<1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,不等式成立,即 <k+1.则当n=k+1时,=<==(k+1)+1.即当n=k+1时,不等式成立.则上述证法( )A.过程全部正确B.n=1验证不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确解析:选D.本题的证明中,从n=k到n=k+1的推理没有用到归纳假设,所以本题不是用数学归纳法证题.4.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.那么,下列命题总成立的是( )A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立B.若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)<k2成立D.若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立解析:选D.对于A,f(3)≥9,加上题设可推出当k≥3时,均有f(k)≥k2成立,故A错误.对于B,要求逆推到比5小的正整数,与题设不符,故B错误.对于C,没有奠基部分,即没有f(8)≥82,故C错误.对于D,f(4)=25≥42,由题设的递推关系,可知结论成立,故选D.5.利用数学归纳法证明+++…+<1(n∈N+,且n≥2)时,第二步由k到k+1时不等式左端的变化是( )A.增加了这一项B.增加了和两项C.增加了和两项,同时减少了这一项D.以上都不对解析:选C.不等式左端共有n+1项,且分母是首项为n,公差为1,末项为2n的等差数列,当n=k时,左端为+++…+;当n=k+1时,左端为+++…+++,对比两式,可得结论.6.(2012·秀山调研)下列代数式(其中k∈N+)能被9整除的是( )A.6+6·7k B.2+7k-1C.2(2+7k+1) D.3 (2+7k)解析:选D.①当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除.②假设当k=n(n∈N+)时命题成立,即3(2+7n)能被9整除,则3(2+7n+1)=21(2+7n)-36,即当k=n+1时命题也成立.由①②知命题对k∈N+都成立.二、填空题7.分析下述证明2+4+…+2n=n2+n+1(n∈N+)的过程中的错误:________________.证明:假设当n=k(k∈N+)时等式成立,即2+4+…+2k=k2+k+1,那么2+4+…+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1,即当n=k+1时等式也成立.因此对于任何n∈N+等式都成立.答案:缺少步骤归纳奠基,实际上当n=1时等式不成立8.数列{an}中,a1=1且Sn,Sn+1,2S1成等差数列,若Sn表示数列{an}的前n项和,则S2,S3,S4分别为________,由此猜想Sn=________.解析:由Sn,Sn+1,2S1成等差数列得Sn+1==+1,故S2=+1=+1=,S3=+1=,S4=+1=,由此可猜想Sn=.答案:,, 9.(2012·北碚调研)已知f(n)=+++…+,则该式的右边共有________项;f(2)=________.解析:由题意得f(n)=+++…+=+++…+,故该式的右边共有n2-n+1项;其中f(2)=++=.答案:n2-n+1 三、解答题用数学归纳法证明:当n≥2,n∈N+时,(1-)(1-)(1-)…(1-)=.证明: (1)当n=2时,左边=1-=,右边==,∴n=2时等式成立.(2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时等式成立,即(1-)(1-)(1-)…(1-)=,那么当n=k+1时,(1-)(1-)(1-)…(1-)[1-]=·[1-]===.∴当n=k+1时,等式也成立.根据(1)和(2)知,对任意n≥2,n∈N+,等式都成立.(创新题)设n∈N+,n>1,用数学归纳法证明:1+++…+ > .证明:令f(n)=1+++…+(n∈N+,n>1).①当n=2时,f(2)=1+ > ,不等式成立.②假设n=k(k∈N+,k≥2)时,不等式成立,即f(k)=1+++…+>,则当n=k+1时,有f(k+1)=f(k)+ > +=>=.∴当n=k+1时,不等式也成立.综合①②知,原不等式对任意的n∈N+(n>1)都成立..已知数列{an}中,a1=1,an+1=c-.(1)设c=,bn=,求数列{bn}的通项公式;(2)求使不等式an<an+1<3成立的c的取值范围.解:(1)an+1-2=--2=,==+2,即bn+1=4bn+2.所以bn+1+=4(bn+),又a1=1,故b1==-1.所以{bn+}是首项为-,公比为4的等比数列,bn+=×4n-1,bn=--.(2)a1=1,a2=c-1,由a2>a1,得c>2.用数学归纳法证明:当c>2时,an<an+1.①当n=1时,a2=c->a1,命题成立;②假设当n=k(k∈N+)时,ak<ak+1,则当n=k+1时,ak+2=c->c-=ak+1.故由①②知,当c>2时,an<an+1.当c>2时,令α=,由an+<an+1+=c得an<α;当2<c≤时,an<α≤3.当c>时,α>3,且1≤an<α,于是α-an+1=(α-an)<(α-an),α-an+1<(α-1).所以当n>log3时,α-an+1<α-3,an+1>3.因此c>不符合要求.所以c的取值范围是(2,].