2023-2024学年湘教版选择性必修第二册 　实际问题中的最值问题 课件

这是一份2023-2024学年湘教版选择性必修第二册 　实际问题中的最值问题 课件，共57页。

知识梳理·读教材01题型突破·析典例02知能演练·扣课标03目录CONTENTS知识梳理·读教材⁠ ⁠　　学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左右两边各空1 dm.问题　如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⁠  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⁠ ⁠ ⁠知识点　用导数解决最优化问题的基本思路⁠ ⁠ 解析：原油温度的瞬时变化率为f'（x）＝x2－2x＝（x－1）2－1（0≤x≤5），所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2.某产品的销售收入y1（万元）关于产量x（千台）的函数关系式为y1＝17x2，生产成本y2（万元）关于产量x（千台）的函数关系式为y2＝2x3－x2，已知x＞0，为使利润最大，应生产该产品 　　　　⁠千台. 解析：由题意，利润y＝y1－y2＝17x2－（2x3－x2）＝18x2－2x3（x＞0），y'＝36x－6x2，由y'＝0得x＝6（x＝0舍去），当x∈（0，6）时，y'＞0，y单调递增，当x∈（6，＋∞）时，y'＜0，y单调递减，则x＝6时，y有最大值.答案：6题型突破·析典例⁠ ⁠题型一　几何中的最值问题【例1】　如图，在半径为30 cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点C，D在圆弧上，点A，B在半圆的直径上，现将此矩形铝皮ABCD卷成一个以BC为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长BC＝x cm，圆柱的体积为V cm3.（1）写出体积V关于x的函数解析式； （2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？ 通性通法1.利用导数解决实际问题中最值的一般步骤（1）分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f（x）；（2）求函数的导数f'（x），解方程f'（x）＝0；（3）比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大（小）者为最大（小）值；（4）把所得数学结论回归到实际问题中，看是否符合实际情况并下结论.2.几何中最值问题的求解思路面积、体积（容积）最大，周长最短，距离最小等几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验.⁠ ⁠要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其容积最大，则其高应为（　　） 题型二　用料、费用最少问题【例2】　现有一批货物由海上A地运往B地，已知该轮船的最大航行速度为每小时30 n mile，A地与B地之间的航行距离约为500 n mile，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用为每小时960元.（1）把全程运输成本y表示为速度x的函数； （2）为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 通性通法　　费用、用料最少问题是日常生活中常见的最值问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.⁠ ⁠如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海岸的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？ 题型三　利润最大问题 （1）写出2023年第x月的需求量f（x）（单位：件）与x的函数关系式；   （2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问该商场2023年第几个月销售该商品的月利润g（x）最大，最大月利润为多少元？ 通性通法解决利润最大问题的思路及注意点（1）利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数解析式，再利用导数求最大值；（2）求解此类问题需注意两点：①售价要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利.⁠ ⁠为积极响应“地摊经济”的号召，某个体户计划在市政府规划的摊位同时销售A，B两种小商品，当投资额为x（x≥0）千元时，销售A，B商品所获收益分别为f（x）千元与g（x）千元，其中f（x）＝x，g（x）＝5ln（x＋1），如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种小商品，为使总收益最大，则A商品需投入 　　　　⁠千元.  答案：1⁠ ⁠  答案：92.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为 　　　　⁠.  答案：33.请你设计一个包装盒，如图所示，四边形ABCD是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形的斜边的两个端点.设AE＝FB＝x（cm）.某厂商要求包装盒的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 知能演练·扣课标⁠ ⁠1.若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则当其表面积最小时底面边长为（　　） 2.如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为（　　） 3.做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为（　　）   5.某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k（k＞0）.已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x，x∈（0，0.048 6），若使银行获得最大收益，则x的取值为（　　）解析：由题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈（0，0.048 6）.所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3（0＜x＜0.048 6），则y'＝0.097 2kx－3kx2（0＜x＜0.048 6）.令y'＝0，得x＝0.032 4或x＝0（舍去）.当0＜x＜0.032 4时，y'＞0；当0.032 4＜x＜0.048 6时，y'＜0.所以当x＝0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益.6.（多选）用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，若长方体的宽为x m，则（　　） 7.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝ 　　　　　⁠吨.  答案：20  答案：809.某批发商以每吨20元的价格购进一批建筑材料，若以每吨M元零售，销量N（单位：吨）与零售价M（单位：元）有如下关系：N＝8 300－170M－M2，则该批材料零售价定为 　　　　　⁠元时利润最大，利润的最大值为 　　　　　⁠元. 解析：设该商品的利润为y元，由题意知，y＝N（M－20）＝－M3－150M2＋11 700M－166 000，则y'＝－3M2－300M＋11 700，令y'＝0，得M＝30或M＝－130（舍去），当M∈（0，30）时，y'＞0，当M∈（30，＋∞）时，y'＜0，因此当M＝30时，y取得极大值，也是最大值，且ymax＝23 000.答案：30　23 00010.某粮库拟建一个储粮仓如图所示，其下部是高为2的圆柱，上部是母线长为2的圆锥，现要设计其底面半径和上部圆锥的高，若设圆锥的高AO1为x，储粮仓的体积为y.（1）求y关于x的函数解析式；（圆周率用π表示） （2）求AO1为何值时，储粮仓的体积最大.  ⁠ ⁠11.某海上油田A到海岸线（近似直线）的垂直距离为10海里，垂足为B，海岸线上距离B处100海里有一原油厂C，现计划在BC之间建一石油管道中转站M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田A处到原油厂C修建管道的费用最低，则中转站M到B处的距离应为（　　）     答案：2514.某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x≥0）万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元，其中f（x）＝a（x－1）＋2，g（x）＝6ln（x＋b），a＞0，b＞0.已知投资额为0时收益为0.（1）求a，b的值；解：（1）由投资额为0时收益为0，可知f（0）＝－a＋2＝0，g（0）＝6ln b＝0，解得a＝2，b＝1.（2）如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益. 当2＜x≤5时，S'（x）＜0，函数S（x）单调递减；所以当x＝2时，函数S（x）取得极大值，也是最大值，S（x）max＝S（2）＝6ln 3＋6.当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，可获得最大收益，收益的最大值为（6ln 3＋6）万元.⁠ ⁠15.现有一个帐篷，它下部分的形状是高为1 m的正六棱柱，上部分的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥（如图所示）.当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为（　　）