高端精品高中数学一轮专题-双曲线（讲）教案

这是一份高端精品高中数学一轮专题-双曲线（讲）教案，共10页。

1.结合双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
2．结合双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，考查求相关量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
3．常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)等轴双曲线
①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
②性质：a＝b；e＝eq \r(2)；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．
(4)共轭双曲线
①定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．
②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1.
考点一 双曲线的定义及其应用
考法(一) 利用定义求轨迹方程
[例1] 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．
考法(二) 求解“焦点三角形”问题
[例2] 已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
考法(三) 利用定义求最值
[例3] 已知F是双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
[方法技巧]
双曲线定义的应用
(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
[提醒] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
[针对训练]
1．已知点O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0)．设点P满足|PA|－|PB|＝2，且P为函数y＝3eq \r(4－x2)图象上的点，则|OP|＝( )
A.eq \f(\r(22),2) B．eq \f(4\r(10),5)
C.eq \r(7) D．eq \r(10)
2．设F1，F2是双曲线C：x2－eq \f(y2,3)＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为( )
A.eq \f(7,2) B．3
C.eq \f(5,2) D．2
考点二 双曲线的标准方程
[典例] (1)经过点M(2eq \r(3)，2eq \r(5))且与双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )
A.eq \f(x2,18)－eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,18)＝1
C.eq \f(y2,18)－eq \f(x2,12)＝1 D．eq \f(y2,12)－eq \f(x2,18)＝1
(2)已知曲线C的方程为eq \f(x2,k2－2)－eq \f(y2,6－k)＝1(k∈R)，则下列结论正确的是( )
A．当k＝8时，曲线C为椭圆，其焦距为4＋eq \r(15)
B．当k＝2时，曲线C为双曲线，其离心率为eq \r(3)
C．存在实数k，使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线
D．当k＝3时，曲线C为双曲线，其渐近线与圆(x－4)2＋y2＝9相切
[方法技巧] 待定系数法求双曲线方程的5种类型
[针对训练]
1．双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点为(－3,0)，且C的离心率为eq \f(3,2)，则C的方程为( )
A.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1 B．eq \f(y2,5)－eq \f(x2,4)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1 D．eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1
2．设双曲线C的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1 B．x2－eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,4)－y2＝1 D．x2－y2＝1
考点三 双曲线的几何性质
考法(一) 求双曲线的渐近线方程
[例1] (1)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为双曲线上一点，若cs∠F1MF2＝eq \f(1,4)，|MF1|＝2|MF2|，则此双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \r(3)x B．y＝±eq \f(\r(3),3)x
C．y＝±x D．y＝±2x
(2)已知双曲线C：eq \f(x2,3)－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝( )
A.eq \f(3,2) B．3
C．2eq \r(3) D．4
[方法技巧]
涉及双曲线渐近线的几个常用结论
(1)求双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，得y＝±eq \f(b,a)x，或令eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝0，得y＝±eq \f(a,b)x.
(2)已知渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，可设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．
[提醒] 两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴、y轴对称．
考法(二) 求双曲线的离心率
[例2] (1)若双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝1无交点，则C的离心率的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3\r(2),4))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(3),3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),4)，＋∞)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，＋∞))
(2)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若eq \(F1A,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(F1B,\s\up7(―→))·eq \(F2B,\s\up7(―→))＝0，则C的离心率为________．
[方法技巧]
1．求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范围．
(3)因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算．
(4)通过特殊位置求出离心率．
2．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：当k>0时，k＝eq \f(b,a)＝eq \f(\r(c2－a2),a)＝ eq \r(\f(c2,a2)－1)＝eq \r(e2－1)；当k<0时，k＝－eq \f(b,a)＝－eq \r(e2－1).
考法(三) 与双曲线有关的范围、最值问题
[例3] 已知M(x0，y0)是双曲线C：eq \f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若eq \(MF1,\s\up7(―→))·eq \(MF2,\s\up7(―→)) <0，则y0的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))
[方法技巧]
1．求解与双曲线有关的范围(或最值)问题的方法
(1)几何法：如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解．
(2)代数法：若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线的范围(或最值)问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围(或最值)问题，然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解．
(3)不等式法：借助题目给出的不等信息列出不等关系式求解．
2．解决与双曲线有关的范围(或最值)问题时的注意点
(1)双曲线上本身就存在最值问题，如异支双曲线上两点间的最短距离为2a(实轴长)．
(2)双曲线上的点到定点的距离最值，常用两点间的距离公式转化为区间上的最值问题，有时也用双曲线的参数方程转化为三角函数的最值问题．
(3)双曲线上的点到定直线的距离的最值解法同(2)所述，或用平行切线法．
(4)点在双曲线上，求相关式子(目标函数)的取值范围，常用参数方程转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识，或引入一个参数转化为函数问题解决．
(5)由直线和双曲线的位置关系，求直线或双曲线中某个参数的范围，常把所求参数作为函数中的因变量来求解．
(6)所构建的函数关系式中变量的取值范围往往受到双曲线自变量范围的影响．
[针对训练]
1．(多选)已知双曲线C过点(3，eq \r(2))，且渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，则下列结论正确的是( )
A．C的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1
B．C的离心率为eq \r(3)
C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点
D．直线x－eq \r(2)y－1＝0与C有两个公共点
解析：选AC ∵双曲线C过点(3，eq \r(2))，且渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，∴设双曲线方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝λ(λ≠0)，
∴eq \f(9,9)－eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)＝λ，
∴eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝eq \f(1,3)，∴eq \f(x2,3)－y2＝1，∴A正确．
∴离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2,3)eq \r(3)，∴B错误．
∵双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)，
而曲线y＝ex－2－1经过点(2,0)，∴C正确．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,3)－y2＝1，,x－\r(2)y－1＝0，))得y2－2eq \r(2)y＋2＝0.
Δ＝(－2eq \r(2))2－4×1×2＝8－8＝0.
∴直线x－eq \r(2)y－1＝0与C只有一个公共点，
∴D错误，故选A、C.
2．已知直线l：y＝kx＋2过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点F和虚轴的上端点B(0，b)，且与圆x2＋y2＝8交于点M，N，若|MN|≥2eq \r(5)，则双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，eq \r(6) ] B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(6),2)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，＋∞)) D．[eq \r(6)，＋∞)
3．已知F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．
4．设F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若eq \f(3|PF2|,|PF1|2＋a·|PF2|)的最大值为eq \f(1,3a)，则双曲线的渐近线斜率的取值范围为________．
一、创新思维角度——融会贯通学妙法
求双曲线离心率的方法
方法(一) 直接法
[例1] 下列曲线中，离心率为eq \f(\r(6),2)的是( )
A.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,6)＝1 D．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,10)＝1
方法(二) 利用渐近线方程
[例2] 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，则该双曲线的离心率为________．
方法(三) 利用双曲线的定义
[例3] 设F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为________．
方法(四) 利用关于a，c的齐次方式
[例4] 已知点F是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1,2)
C．(2,1＋eq \r(2)) D．(1,1＋eq \r(2))
二、创新考查方式——领悟高考新动向
1.一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB通过O处的铰链与固定好的短杆OA连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A，另一端固定在点B，套上铅笔(如图所示)．作图时，使铅笔紧贴长杆OB，拉紧绳子，移动笔尖M(长杆OB绕O转动)，画出的曲线即为双曲线的一部分．若|OA|＝10，|OB|＝12，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为( )
A.eq \f(6,5) B.eq \f(5,4) C.eq \f(3,2) D.eq \f(5,2)
2．(多选)对于渐近线方程为x±y＝0的双曲线，下列结论正确的是( )
A．实轴长与虚轴长相等
B．离心率是eq \r(2)
C．过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长与实轴长相等
D．顶点到渐近线与焦点到渐近线的距离的比值为eq \r(2)
3.青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一．如图是一个落地青花瓷，其外形称为单叶双曲面，且它的外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的最小直径为16 cm，瓶口直径为20 cm，瓶高20 cm，则该双曲线的离心率为________．
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
图形
性 质
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2是双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
线段B1B2是双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a是双曲线的实半轴长，b是双曲线的虚半轴长
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
类型一
与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)
类型二
若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x或y＝－eq \f(b,a)x，则可设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)
类型三
与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1共焦点的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2－k)－eq \f(y2,b2＋k)＝1(－b2＜k＜a2)
类型四
过两个已知点的双曲线的标准方程可设为eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn＞0)或者eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(mn＜0)
类型五
与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2－λ)－eq \f(y2,λ－b2)＝1(b2＜λ＜a2)