高端精品高中数学一轮专题-双曲线（讲）（带答案）教案

这是一份高端精品高中数学一轮专题-双曲线（讲）（带答案）教案，共15页。
1.结合双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
2．结合双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，考查求相关量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
3．常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)等轴双曲线
①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
②性质：a＝b；e＝eq \r(2)；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．
(4)共轭双曲线
①定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．
②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1.
考点一 双曲线的定义及其应用
考法(一) 利用定义求轨迹方程
[例1] 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．
[解析] 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|.
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝20)的左焦点为(－3,0)，且C的离心率为eq \f(3,2)，则C的方程为( )
A.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1 B．eq \f(y2,5)－eq \f(x2,4)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1 D．eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1
解析：选C 由题意，可得c＝3，又由e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,2)，∴a＝2，
又b2＝32－22＝5，故C的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1，故选C.
2．设双曲线C的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1 B．x2－eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,4)－y2＝1 D．x2－y2＝1
解析：选D 法一：由题知y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，则过焦点和点(0，b)的直线方程为x＋eq \f(y,b)＝1，而eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝0和eq \f(x,a)－eq \f(y,b)＝0，由l与一条渐近线平行，与另一条渐近线垂直，得a＝1，b＝1，故选D.
法二：由题知双曲线C的两条渐近线互相垂直，则a＝b，即渐近线方程为x±y＝0，排除B、C.又知y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，l过点(1,0)，(0，b)，所以eq \f(b－0,0－1)＝－1，b＝1，故选D.
考点三 双曲线的几何性质
考法(一) 求双曲线的渐近线方程
[例1] (1)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为双曲线上一点，若cs∠F1MF2＝eq \f(1,4)，|MF1|＝2|MF2|，则此双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \r(3)x B．y＝±eq \f(\r(3),3)x
C．y＝±x D．y＝±2x
(2)已知双曲线C：eq \f(x2,3)－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝( )
A.eq \f(3,2) B．3
C．2eq \r(3) D．4
[解析] (1)由题意，得|MF1|－|MF2|＝2a，
又|MF1|＝2|MF2|，∴|MF1|＝4a，|MF2|＝2a，
∴cs∠F1MF2＝eq \f(16a2＋4a2－4c2,2×4a×2a)＝eq \f(1,4)，
化简得c2＝4a2，即a2＋b2＝4a2，∴b2＝3a2，
又a>0，b>0，∴eq \f(b,a)＝eq \r(3)，
∴此双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，故选A.
(2)法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝±eq \f(1,\r(3))x.设两条渐近线的夹角为2α，则有tan α＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，所以α＝30°.所以∠MON＝2α＝60°.又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝eq \r(3).在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan 2α＝eq \r(3)·tan 60°＝3.故选B.
法二：因为双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝eq \f(\r(3),3)x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则 ∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y＝－eq \r(3)(x－2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\r(3)x－2，,y＝\f(\r(3),3)x，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,2)，,y＝\f(\r(3),2)，))
所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，所以|OM|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2)＝eq \r(3)，
所以|MN|＝eq \r(3)|OM|＝3，故选B.
[答案] (1)A (2)B
[方法技巧]
涉及双曲线渐近线的几个常用结论
(1)求双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，得y＝±eq \f(b,a)x，或令eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝0，得y＝±eq \f(a,b)x.
(2)已知渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，可设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．
[提醒] 两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴、y轴对称．
考法(二) 求双曲线的离心率
[例2] (1)若双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝1无交点，则C的离心率的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3\r(2),4))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(3),3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),4)，＋∞)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，＋∞))
(2)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若eq \(F1A,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(F1B,\s\up7(―→))·eq \(F2B,\s\up7(―→))＝0，则C的离心率为________．
[解析] (1)∵双曲线渐近线为bx±ay＝0与圆(x－3)2＋y2＝1无交点，
∴圆心到渐近线的距离大于半径，即eq \f(3b,\r(a2＋b2))＞1，
∴8b2＞a2，∴8(c2－a2)＞a2，即8c2>9a2，
∴e＝eq \f(c,a)＞eq \f(3\r(2),4).故选C.
(2)法一：由eq \(F1A,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))，得A为F1B的中点．
又∵O为F1F2的中点，
∴OA∥BF2.
又eq \(F1B,\s\up7(―→))·eq \(F2B,\s\up7(―→))＝0，∴∠F1BF2＝90°.
∴|OF2|＝|OB|，
∴∠OBF2＝∠OF2B.
又∵∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，
∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，
∴△OBF2为等边三角形．
如图所示，不妨设B为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)，－\f(\r(3),2)c)).
∵点B在直线y＝－eq \f(b,a)x上，∴eq \f(b,a)＝eq \r(3)，
∴离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝2.
法二：∵eq \(F1B,\s\up7(―→))·eq \(F2B,\s\up7(―→))＝0，∴∠F1BF2＝90°.在Rt△F1BF2中，O为F1F2的中点，∴|OF2|＝|OB|＝c.如图，作BH⊥x轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得eq \f(|BH|,|OH|)＝eq \f(b,a)，且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，∴|BH|＝b，|OH|＝a，∴B(a，－b)，F2(c,0)．
又∵eq \(F1A,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))，∴A为F1B的中点．
∴OA∥F2B，∴eq \f(b,a)＝eq \f(b,c－a)，∴c＝2a，∴离心率e＝eq \f(c,a)＝2.
[答案] (1)C (2)2
[方法技巧]
1．求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范围．
(3)因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算．
(4)通过特殊位置求出离心率．
2．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：当k>0时，k＝eq \f(b,a)＝eq \f(\r(c2－a2),a)＝ eq \r(\f(c2,a2)－1)＝eq \r(e2－1)；当k0)．由题意可知a＝8，图中的A点坐标为(10,10)．将a＝8，(10,10)代入双曲线方程，可得b＝eq \f(40,3)，所以eq \f(b,a)＝eq \f(5,3)，所以e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \f(\r(34),3).
答案：eq \f(\r(34),3)标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
图形
性 质
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2是双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
线段B1B2是双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a是双曲线的实半轴长，b是双曲线的虚半轴长
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
类型一
与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)
类型二
若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x或y＝－eq \f(b,a)x，则可设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)
类型三
与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1共焦点的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2－k)－eq \f(y2,b2＋k)＝1(－b2＜k＜a2)
类型四
过两个已知点的双曲线的标准方程可设为eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn＞0)或者eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(mn＜0)
类型五
与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2－λ)－eq \f(y2,λ－b2)＝1(b2＜λ＜a2)