人教版新课标B必修42.4.1向量在几何中的应用教学设计及反思

教学环 节

教学内容

师生互动

设计意图

复习引入

1. 向量加法的三角形法则、平行四边形法则。
2. 向量平行、垂直的判断方法。
3. 用向量证明平面几何、解析几何问题的步骤。

教师提问，学生回答。

让学生回顾学过的知识，有利于本节课的顺利进行。

应 

用

举

例

1.如教材中图，已知平行四边形ABCD，且E,F在对角线BD上，且

小结：本题的关键是选取适当的基底，把四边形AECF的一组对边表示出来。

 问题1.证明AECF是平行四边形，你打算如何来证明它？

学生思考，回答。

问题2.将问题地证明转化为向量表达，如何寻找切入点？

启发学生思考，回答，并完成证明过程。

题3  证明过程中运用了哪些向量知识？

问题4  与初中平面几何的推证比较，向量法证明的优势有哪些？

让学生总结解题方法。

通过教师分步设问，引导学生展示思维过程，让学生体会分析、解决问题的方法。

2.求证平行四边形对角线互相平分。

小结：本题选取基底设未知数，列向量方程，解方程组得到结论，体现了方程思想在向量解题中的运用。

问题 .如何证明点M为中点？学生思考、回答？

教师点评学生思路：（1）要证两对角线互相平分，可以证,但本题关系不确定，此法不易操作。

（2）如果能证明

问题就可解决，请大家用此法思考如何证明。

  学生讨论，师生交流，共同完成证明过程。

本题所用方法比较特殊，学生不易想到，教师在分析学生提供的思路的基础上，指出方法，进一步引导学生再去探讨，体验思路的形成过程，学会分析问题的方法。

进一步体会将几何问题用向量法证明所体现的数形结合的思想。

课堂练 习

教材练习A,  1

学生完成

巩固所学方法

应用举例

例3．已知正方形ABCD,P为对角线AC上任一点，

连DP,EF,求证：DPEF.

小结：结合图形特点，选定正交基底，用坐标法解决几何问题，体现几何问题代数化的特点。

常采用坐标法的题目，往往存在互相垂直的关系，且坐标易写出，如正方形、长方形、直角三角形等。

问题1 本题几何图形比较特殊，让同学结合图形特点考虑采用那种方法简便一些。

学生回答，师生交流。

问题2  能否用坐标法完成题目证明？

学生独立完成。

本题用向量的坐标法证明比较简单，因此选定方法是难点，确定方法后学生可以独立完成。

课堂练习

教材练习A, 2

学生完成，教师指导。

进一步巩固所学方法。

应用举例

例4 求通过点A（－1，2），且平行于向量

的直线方程。

小结：结合图形中的特点，利用向量平行的充要条件，求得坐标形式下的直线方程。体现向量知识的形数结合的本质特征。

讨论：，加深方向向量与斜率、倾角等概念的关系理解。

问题1 方向向量与直线平行的条件如何运用？如何才能转化成向量与向量的平行并加以利用？

问题2  坐标形式的条件下，解题应尽量以坐标形式来求解。

学生独立完成。

如何实现向量与向量平行的表达，设出任意点P（x,y）是关键。让学生认识并理解这个切入点后，此类问题的解决就得心应手了。

课堂练习

教材练习A  3 （1）、（2）（3）（4）

学生完成，教师指导。

进一步巩固所学方法。

应用举例

例5       已知直线L:Ax+By+C=0, ,求证：向量

小结：直线一般方程Ax+By+C=0中，变量x, y的系数，构成向量（A,B）的几何解释为向量（A,B）与直线Ax+By+C=0垂直；构成向量（－B,A）的几何解释为向量（-B,A）与直线Ax+By+C=0平行。

这样，直线间的平行、垂直、夹角等位置关系问题，就可方便地转化为向量问题来处理。

此处引出直线的法向量的概念。

问题1  可否转化成两向量垂直的证明？

问题2  由直线转化成向量的关键在哪里？如何实现？

教师启发引导下完成证明。

认识如何实现向量与向量平行的表达，理解本题的证明表述形式。

明确由数化形的思路，体会证明中“设而不求”的方法。

例6       求通过A(2,1),且与直线l: 4x-3y+9=0平行的直线方程。

小结：利用例5的结论用向量知识解决解析几何问题。

问题：对比、联系例5的

结论，启发学生提出解题方法

重视结论的迁移应用，强化向量法解证解析几何题的常见方法。

课堂练习

教材练习B 3

学生完成，教师指导。

进一步巩固所学方法。

归纳小结

（1）       本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题和解析几何问题。

（2）       掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何问题和解析几何问题的步骤、方法。

（3）       进一步理解向量是沟通代数、几何等知识，实现数形结合的有力的工具。

师生交流，共同完成。

帮助学生总结知识，归纳方法。

布置作业

教材练习B, 1， 2,

学生独立完成。

巩固所学方法，规范解题步骤。