人教版新课标B必修42.4.1向量在几何中的应用教案及反思
展开1.知识与技能:
运用向量的有关知识(向量加减法与向量数量积的运算法则等)解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题
2.过程与方法:
通过应用举例,让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法
3.情感、态度与价值观:
通过本节的学习,让学生体验向量在解决几何问题中的工具作用,增强学生的积极主动的探究意识,培养创新精神。
二、教学重点难点
重点:理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何问题.
难点:选择适当的方法,将几何问题转化为向量问题加以解决.
三、教学方法
本小节主要是例题教学,要让学生体会思路的形成过程,体会数学思想方法的应用。教学中,教师创设问题情境,引导学生发现解题方法,展示思路的形成过程,总结解题规律。指导学生搞好解题后的反思,从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力。
四、教学内容安排:
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
复
习
准
备
课前复习任务(由学生总结成书面材料)
(1)向量的线性运算是怎样的?
(2)平面向量共线的含义及条件是什么?
(3)平面向量的基本定理及向量的坐标运算有哪些?
(4)平面向量的数量积中有哪些主要内容?
讨论:
(1)若O为重心,则++=
(2)水渠横断面是四边形,=,且|=|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?
让学生回顾学过的知识有力于本节课的进行
新
课
引
入
平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来: 例如,向量数量积对应着几何中的长度.如图: 平行四边行中,设=,=,则(平移),,(长度).向量,的夹角为
讨论(让学生回顾学过的知识,有利于本课的顺利进行):(1)向量运算与几何中的结论"若,则,且所在直线平行或重合"相类比,你有什么体会?(2)由学生举出几个具有线性运算的几何实例.(3)向量平行、垂直的判定方法
让学生掌握用向量方法解平面几何问题的步骤:
建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量.
通过向量运算研究几何运算之间的关系,如距离、夹角等.
把运算结果"翻译"成几何关系.
应
用
举
例
例1:如图2-55,已知平行四边形ABCD中,E、F在对角线BD上,并且BE=FD,求证AECF是平行四边形。
小结:本题的关键选择适当的基底,把四边形AECF的一组对边表示出来
问题1 证明AECF是平行四边形的方法有什么?
学生思考,回答
问题2 选择合适的方法,问如何转化为向量条件表示?
学生思考,回答,完成证明(选一名学生板书)
问题3 由学生总结解题方法
通过分步设问,引导学生展开思维过程,让学生体会分析、解决问题的方法
例2:求证平行四边形对角线互相平分.
小结:法一注重向量的坐标运算和解析法的运用:法二选取基底和,设未知数,列向量方程,解方程组的待定系数得结论,体现了方程思想的运用。
问题4 如何证明?
学生思考,回答
老师点评学生思路:要证明两条对角线互相平分,可以证明,或。前一种方法可以建立平面直角坐标系,将向量用坐标表示后即可;后一种方法就是课本提供的方法。
师生共同讨论交流,由教师给出证明过程
本题所用方法比较特殊,学生不易想到,教师在分析学生提供的思路的基础上,点出方法,又不直接说怎么做,引导学生再去探索,让学生体验思路的形成过程,学会分析问题的方法。
例3:已知正方形ABCD(图2-57),P为对角线AC上任意一点,于点E,于点F,连接DP,EF。求证DPEF。
小结:结合图形特点,选定正交基底,用坐标表示向量进行运算解决几何问题,体现几何问题代数化的特点,数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致,又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。
问题5 如何证明?能否用坐标法完成?学生思考,回答
老师点评学生思路:要证明两条直线(段)互相垂直,可以证明=,也可以证明两向量数量积为0。前一种方法可以建立平面直角坐标系,点用坐标表示用斜率公式即可;后一种方法就是课本提供的方法,将向量用坐标表示后进行向量的数量积运算即可。
师生共同讨论交流,由教师指导学生给出证明过程
本题用坐标法。尤其是第二种方法用向量坐标法证明比较简单,可见选定方法是关键,学生可从中体会,形成思维习惯。
课
堂
练
习
练习1. 求证:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
练习2.如图,在平行四边形中,,,,求证四边形为矩形
由向量的数量积的性质,线段的长的平方可看做相应向量自身的内积
要证四边形为矩形,只需证一角为直角.
进一步巩固所学知识,归纳方法
归纳
小结
本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题;掌握向量法和坐标法,以及用向量解决平面几何问题的步骤
师生交流共同完成
帮助学生总结知识,归纳方法
布置
作业
练习:A组1、2及B组1
作业:习题2-4A1及习题2-4B1
学生独立完成
巩固所学方法,规范解题步骤
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