高中数学苏教版必修1第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.2 对数函数3.2.2 对数函数教学设计

这是一份高中数学苏教版必修1第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.2 对数函数3.2.2 对数函数教学设计，共4页。教案主要包含了对数型函数中的参数范围问题，对数型不等式中的参数范围问题，对数型方程中的参数范围问题，求不等式的整数解等内容，欢迎下载使用。
与对数函数有关的参数范围问题 渗透于函数、不等式、方程中与对数有关的参数范围问题，是一个难点.此类题型思维性较强，条件具有隐蔽性，且解题方法灵活多样，能较好体现对学生的能力考查，因此备受高考命题者的青睐.下面举例说明.一、对数型函数中的参数范围问题此类题主要利用函数的性质(奇偶性、单调性、定义域与值域的限制等)实施价转化，常结合数形结合、分离参数等方法进行解答，要特别注意的是真数和底数对变量的限制条件.例1设f(x)=lg,其中x∈R,如果当x∈(-∞,1)时,f(x)有意义，求a的取值范围.解：由题设得：当x∈(-∞,1)时,1+2x+4xa＞0…①恒成立，变形得：a＞-[()x+()x],要使①式恒成立,对x∈(-∞,1],a≥-[()x+()x]的最大值,∵()x和()x在(-∞,1]上都是减函数，∴-[()x+()x]在x∈(-∞,1]上都是增函数，∴当x=1时，-[()x+()x]取得最大值﹣,∴a≥﹣,∴a的取值范围是a≥﹣.例2是否存在实数a,使得f(x)=loga(ax-)在区间[2,4]上是增函数，若存在，求出a的值.解：设t=,由对数定义有ax-＞0at2-tat(t﹣)＞0,又知u(t)=at2-t=(t﹣)2﹣(t＞)是以t=为对称轴的抛物线，且有t＞＞，即定义区间t∈(,+∞)在对称轴t=的右侧，因抛物线开口向上，知u(t)在定义区间上单调增，要使原函数在x∈[2,4]上单调增，应a＞1且≤,解得a＞1.二、对数型不等式中的参数范围问题此类题型主要涉及恒成立不等式中变量的取值范围问题，可根据a＞f(x)恒成立a＞f(x)max,a＜f(x)恒成立a＜f(x)min，因而利用分离参数的方法容易凑效，或者将不等式转化为所熟悉的常见不等式进行解答，或者从不等式的结构上联想相对应的函数，再利用函数的性质求解．例3设对所有实数x,不等式x2log2+2xlog2+log2＞0,恒成立，求a的取值范围.解法1：(换元转化)令u=log2,则(3+u)x2-2ux+2u＞0,∴,解得u＞0,∴＞1,解得0＜a＜1.解法2：(分离参数)原不等式可化成：x2(3+log2)-2x·log2+2log2＞0,即(x2-2x+2)·log2+3x2＞0,∴x2-2x+2=(x-1)2+1＞0,要使原不等式恒成立，当且仅当log2＞0，解得0＜a＜1.例4 a为何值时，对区间[0,3]上任意实数x，不等式log(2x+2)＜-1都成立？分析：∵0≤x≤3,∴2≤2x+2≤8.又∵log(2x+2)＜log恒成立.当2a2-1＞1时, ＞8,2a2-1＜(舍)；当0＜2a2-1＜1时, ＜2, 2a2-1＞,∴＜2a2-1＜1,即＜|a|＜1,∴＜a＜1或-1＜a＜-.例5 若不等式x2-㏒mx＜0在(0，)内恒成立，则实数m的取值范围是(     )  A. ≤m＜1    B. 0＜m≤     C.0＜m＜     D. m≥分析：题中不等式由一个整式与对数式构成，可借助函数y= x2与y=㏒mx的图象进行处理，因为㏒mx ＞x2≥0，x∈ (0，)，0＜m＜1.在直角坐标系中分别作出y= x2与y=㏒mx的图象.由图象可知，只要当x=时，㏒mx≥x2，就满足条件，即㏒m≥()2，解得≤m＜1，故选(A).三、对数型方程中的参数范围问题求含有对数的方程中的参数的范围，其解题策略主要是将方程转化为由方程和不等式的一个混合组，然后利用数形结合、分离参数、二次函数的图象与性质等进行解答.例7如果方程=2至少有一个实数根，求a的取值范围.解：原方程等价变形为,方程②的根满足条件①才是原方程的根，即方程②应有不等于3的正根.∵x1+x2=9＞0(此时x1，x2中至少有一个正根)，∴方程②有正根的条件是△=81-36a≥0a≤,令x=3得a=2,但当a=2时方程②有两解x1=3，x2=6，其中x2为原方程的根，∴a=2也符合题意，故a的取值范围是(-∞,]. 对数函数的图象的妙用 对数函数的图象很好地体现了数形结合的数学思想，对于某些对数及对数函数问题，若借助对数函数的图象求解，则显得非常简捷．一、比较对数值的大小例１ 比较，与（其中＞1）的大小．解：结合对数函数的图象．当＞１时，若底数为大于零小于１，底数越小，图象从轴下越接近于轴．而＞０　　　故　＞＞二、判断对数方程解的个数例２ 方程的实数解有（　　　）Ａ．０个　　   Ｂ．１个　　　  Ｃ．２个　　　Ｄ．３个解：令　，．在同一坐标系中，分别画出两个函数图象．如图２所示，两个函数图象只有一个交点，所以方程有一个解．故选Ｂ．注：此方程属于超越方程．没有其直接解法，利用数形结合可从图象上观察到两函数图象的交点个数，从而推出方程解的个数．关键是较准确做出两函数图象．三、求取值范围例３ 若满足－３＋＝－，则属于区间（　　　）Ａ．（０，１）　Ｂ．（１，２）　　　Ｃ．（１，３）　　Ｄ．（３，４）解：由－３＋＝－得＝３－，在同一坐标系中做出，＝３－的图象，如图３所示．可观察两图象的交点的横坐标满足１＜＜３．所以选Ｃ．评注：本题关键是画出函数，＝３－的图象，从而观察交点的横坐标的取值范围．四、求不等式的整数解例４ 求不等式－１＜＋３）的所有整数解．解：设　．在同一坐标系中，作出它们图象．如图４，两图象的两个交点，一个交点显然在（３，－２）之间，另一个交点为Ｐ．由于＝１时，１＋３）－（１－１）＞０＝２时，２＋３）－（２－１）＜０　　∴　１＜＜２　　观察对数曲线在直线上方时，整数的值只有－２，－１，０，１．评注：本题左边是一个一次函数，右边是一个对数函数，不可能直接求解，充分发挥图像的作用，则可迅速达到求解目的．