苏教版必修12.2.2 函数的奇偶性教案

第十一课时 函数的奇偶性（2）

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学习要求

1．熟练掌握判断函数奇偶性的方法；

2．熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质；

3．能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题．

【精典范例】

一．函数的单调性和奇偶性结合性质推导：

例1：已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)<0，试问：F(x)=在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论

思维分析：根据函数单调性的定义，可以设x1<x2<0，进而判断：

F(x1) －F(x2)= －=符号解：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，则－x1>－x2>0

因为y=f(x)在(0，+∞]上是增函数，且f(x)<0，

所以f(－x2)<f(－x1)<0，①又因为f(x)是奇函数

所以f(－x2)= －f(x2)，f(－x1)=f(x1)②

由①②得f(x2)>f(x1)>0

于是F(x1) －F(x2)= －

所以F(x)=在(－∞，0)上是减函数。

【证明】

设，则，∵在上是增函数，

∴，∵是奇函数，∴，，

∴，∴，∴在上也是增函数．

说明：一般情况下，若要证在区间上单调，就在区间上设．

二．利用函数奇偶性求函数解析式：

例2：已知是定义域为的奇函数，当x>0时，f(x)=x|x－2|，求x<0时，f(x)的解析式．

解：设x<0，则－x>0且满足表达式f(x)=x|x－2|

所以f(－x)= －x|－x－2|=－x|x+2|

又f(x)是奇函数，有f(－x)= －f(x)

所以－f(x)= －x|x+2|

所以f(x)=x|x+2|

故当x<0时

F(x)表达式为f(x)=x|x+2|.

3：定义在（－2，2）上的奇函数在整个定义域上是减函数，若f(m－1)+f(2m－1)>0，

求实数m的取值范围．

解：因为f(m－1)+f(2m－1)>0

所以f(m－1)> －f(2m－1)

因为f(x)在(－2，2)上奇函数且为减函数

所以f(m－1)>f(1－2m)

所以

所以<m<

追踪训练一

1. 设是定义在R上的偶函数,且在[0，+∞)上是减函数,则f(－)与f(a2－a+1)

（）的大小关系是   （B  ）

  A． f(－)<f(a2－a+1) 

B． f(－)≥f(a2－a+1)

C． f(－)>f(a2－a+1)

 D．与a的取值无关

2. 定义在上的奇函数，则常数  ０     ，    ０    ；

3.  函数是定义在上的奇函数，且为增函数，若，求实数a的范围。

解：定义域是

即

    又

    是奇函数

    在上是增函数

即

    解之得 

    故a的取值范围是

思维点拔：

一、函数奇偶性与函数单调性关系

　　　若函数是偶函数，则该函数在关于＂０＂对称的区间上的单调性是相反的，且一般情况下偶函数在定义域上不是单调函数；若函数是奇函数，则该函数在关于＂０＂对称区间上的点调性是相同的．

追踪训练

1．已知是偶函数，其图象与轴共有四个交点，则方程的所有实数解的和是   　　　　　　     （C）

   4    2   0    不能确定

2. 定义在(－∞，+∞)上的函数满足f(－x)=f(x)且f(x)在(0，+∞)上，则不等式f(a)<f(b)等价于(  C  )

A.a<b     B.a>b  

C.|a|<|b|    D.0≤a<b或a>b≥0

3. 是奇函数，它在区间（其中）上为增函数，则它在区间上（D）

    A. 是减函数且有最大值

    B. 是减函数且有最小值

    C. 是增函数且有最小值

    D. 是增函数且有最大值

4已知函数ax7+6x5+cx3+dx+8，且f(－5)= －15，则f(5)=    31  ．

5．定义在实数集上的函数f(x)，对任意，有且。

（1）求证；（2）求证：是偶函数。

解（1）令，则有

  （2）令，则有

  这说明是偶函数

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