高中数学湘教版选修2-1：(课件)3．4　直线与平面的垂直关系

3．4　直线与平面的垂直关系3.4课堂互动讲练知能优化训练课前自主学案学习目标1.掌握直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理，并能灵活运用定理证明直线与平面垂直．3．理解三垂线定理及逆定理，并能应用三垂线定理及逆定理证明线面或线线垂直．1．所谓直线的方向向量，就是指和这条直线所对应的向量_______________的向量，一条直线的方向向量有______个．2．设直线l的方向向量为a＝(x1，y1，z1)，直线m的方向向量为b＝(x2，y2，z2)，则l⊥m⇔a⊥b⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.平行(或共线)无数1．直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线l与一个平面α相交，并且垂直于平面α内__________直线，就称直线l与平面α垂直，记作l⊥α.(2)判定定理①文字语言：如果一条直线垂直于一个平面内两条________直线，那么这条直线就与这个平面垂直．②符号语言：若直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，__________________________，则l⊥α所有的相交l⊥a，l⊥b，a∩b＝O如何理解直线与平面垂直的判定定理？思考感悟2．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条______________垂直，那么它也和这条斜线垂直．3．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条______垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直．斜线的射影斜线直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊位置关系，可以理解为直线垂直于平面内的所有直线，也可理解为直线与平面所成的角为90°. 下列命题中，真命题的个数为(　　)(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行；(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边；(4)过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内；(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．A．1　　　　　　　　　　 B．2C．3 D．4【思路点拨】　根据直线与平面垂直的相关概念，并结合特殊的几何体，如正方体或者教室内的实物来说明．【解析】　(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种：①平行；②异面，因此(1)假．(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．若为平行，该命题则错；若为相交，则该命题为真，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内这无数条直线的位置关系，该命题则为假命题．(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用可知，则该直线必垂直于三角形的第三边，∴该命题真．(4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．根据第一个命题知：过点A垂直于直线的平面唯一，因此，过点A且与直线a垂直的直线都在过点A且与直线a垂直的平面内，∴该命题真．(5)三条共点直线两两垂直，设为a，b，c，且a，b，c共点于O.∵a⊥b，a⊥c，b∩c＝O，∴b、c确定一平面，设为α，则a⊥α.同理可知b垂直于a、c确定的平面，c垂直于a、b确定的平面．∴该命题真．【答案】　C【名师点评】　注意线面垂直的定义中“所有的直线”与“无数条直线”不同，其实质是直线与平面内任意一直线垂直．直线与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直．通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”．因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决．也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可． 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：BD1⊥平面ACB1.【思路点拨】　解答本题从结论出发，要证BD1⊥平面ACB1，只需证明BD1垂直于平面ACB1内某两条相交直线即可．由于平面ACB1内的三条线段AC、B1C、AB1与BD1的相对位置相同，因此只须证明BD1垂直于其中的任意一条，其余的同理可证．【证明】　法一：连接BD，∴AC⊥BD.又∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC，又∵DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面D1DB，又∵BD1⊂平面D1DB，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥AB1，又∵AB1∩AC＝A，∴BD1⊥平面ACB1.【名师点评】　解答这类问题，往往利用转化思想：要证明线面垂直，常常先证线线垂直，而证线线垂直，通常又是借助线面垂直完成的，即它们往往是相互转化的．自我挑战1　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB.证明：在正方形B1BCC1中，∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，∴△BB1E≌△CBF.∴∠B1BE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE.∵AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1，∴AB⊥CF，又AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB.关于定理的应用，首先是找出平面的垂线，至于射影则是由垂足，斜足来确定的，因而是第二位的，由此，我们可以得出三垂线定理证明a⊥b的一个程序：一垂、二射、三证，即：第一：找平面及平面的垂线；第二：找射影线(或斜线)，这时a，b便成为平面内的一条直线及一条斜线(或射影)；第三：证明射影(或斜线)与直线a垂直，从而得出a，b垂直． 如图所示，P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，若O、Q分别是△ABC和△PBC的垂心，求证：OQ⊥平面PBC.【思路点拨】　欲证OQ⊥面PBC，只要证明OQ与平面PBC内两条相交直线垂直即可，因为O、Q均为三角形的垂心，由此联想到作三角形的高线，应用三垂线定理及逆定理．∴BF⊥平面PAC，则FM是BM在平面PAC上的射影，∵BM⊥PC，根据三垂线定理的逆定理，得FM⊥PC，从而PC⊥平面BFM.又OQ⊂面BFM，∴OQ⊥PC，又PC∩BC＝C，∴OQ⊥平面PBC.【名师点评】　三垂线定理及其逆定理主要用于证明空间两条直线的垂直问题，对于同一平面内的两条直线垂直问题也可以用“平移法”，将其转化为空间两直线的垂直问题，用三垂线定理证明．自我挑战2　已知长方体AC1中，棱AB＝BC＝1，棱BB1＝2，连接B1C，过B作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F.求证：A1C⊥平面EBD.证明：如图，连接AC，则AC⊥BD.∵AC是A1C在平面ABCD内的射影，∴A1C⊥BD.又A1B1⊥平面B1C1CB，且A1C在平面B1C1CB内的射影为B1C，∵B1C⊥BE，∴A1C⊥BE.又∵BD∩BE＝B，∴A1C⊥平面EBD.1．判定线面垂直的步骤与方法(1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤是：①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论．(2)判定线面垂直的方法有：①利用线面垂直的定义：一条直线垂直于平面内的任意直线，则该直线垂直于这个平面；②利用线面垂直的判定定理；③证明线线(或线面)垂直时，除了利用平面几何知识(勾股定理逆定理，菱形对角线、圆周角定理等)之外，还需要注意运用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，实现线线垂直与线面垂直的相互转化．2．三垂线定理及其逆定理的应用(1)立体几何的证明问题，如线线垂直、线面垂直、面面垂直；(2)立体几何中的计算问题(后面学习)．应用三垂线定理及逆定理的关键在于构造三垂线定理的基本图形，创设应用定理的环境．构造三垂线定理时要抓住以下三个环节：①确定射影面；②作出垂线；③确定射影．本部分内容讲解结束点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用