苏教版必修5第3章 不等式综合与测试同步达标检测题

这是一份苏教版必修5第3章 不等式综合与测试同步达标检测题，共5页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间：30分钟 满分：60分)
一、填空题(每小题5分，共30分)
1．现要挖一个面积为432 m2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3 m,4 m的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为________，宽为________．
解析 设鱼池的长、宽分别为x，eq \f(432,x)，所以S＝(x＋6)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(432,x)＋8))＝432＋48＋eq \f(2 592,x)＋8x≥480＋288＝768，仅当8x＝eq \f(2 592,x)，即x＝18，eq \f(432,x)＝24时等号成立．
答案 24 m 18 m
2．若x，y是正数，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2y)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2x)))2的最小值是________．
解析 由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2y)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2x)))2≥x2＋eq \f(1,4x2)＋y2＋eq \f(1,4y2)＋2≥2 eq \r(x2·\f(1,4x2))＋2 eq \r(y2·\f(1,4y2))＋2＝4.当且仅当x＝y＝eq \f(\r(2),2)时取等号．
答案 4
3．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，若f(x)恒为正值，则k的取值范围是________．
解析 ∵f(x)＞0，即32x－(k＋1)·3x＋2＞0，
∴k＋1＜eq \f(32x＋2,3x)＝3x＋eq \f(2,3x).∵x∈R，∴3x＞0，∴eq \f(32x＋2,3x)＝3x＋eq \f(2,3x)≥2eq \r(2)，当且仅当3x＝eq \f(2,3x)时取等号．从而k＜－1＋2eq \r(2).
答案 (－∞，－1＋2eq \r(2))
4．已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得eq \r(aman)＝4a1，则eq \f(1,m)＋eq \f(4,n)的最小值为________．
解析 由a7＝a6＋2a5，得a5q2＝a5q＋2a5，又a5≠0，q＞0，所以q2＝q＋2，解为q＝2.于是由eq \r(aman)＝4a1，得m＋n＝6，所以eq \f(1,m)＋eq \f(4,n)＝eq \f(1,6)(m＋n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(4,n)))＝eq \f(1,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(n,m)＋\f(4m,n)))≥eq \f(1,6)(5＋4)＝eq \f(3,2)，当且仅当n＝2m，即m＝2，n＝4时等号成立，故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(4,n)))min＝eq \f(3,2).
答案 eq \f(3,2)
5．若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则eq \f(a2,x)＋eq \f(b2,y)≥eq \f(a＋b2,x＋y)，当且仅当eq \f(a,x)＝eq \f(b,y)时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f(x)＝eq \f(2,x)＋eq \f(9,1－2x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))))的最小值为________，取最小值时x的值为________．
解析 由题意得f(x)＝eq \f(4,2x)＋eq \f(9,1－2x)≥eq \f(2＋32,2x＋1－2x)＝25，当且仅当eq \f(2,2x)＝eq \f(3,1－2x)，得x＝eq \f(1,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，故f(x)的最小值为25，此时x＝eq \f(1,5).
答案 25 eq \f(1,5)
6．(2011·南京调研二)已知函数f(x)＝eq \f(x2＋ax＋11,x＋1)(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．
解析 令f(x)＝eq \f(x2＋ax＋11,x＋1)≥3(x∈N*)，则(3－a)x≤x2＋8，即3－a≤x＋eq \f(8,x).∵x＋eq \f(8,x)≥2eq \r(8)＝4eq \r(2)，当且仅当x＝2eq \r(2)时取等号，但由于x∈N*，∴当x＝3时，x＋eq \f(8,x)取最小值3＋eq \f(8,3)，于是3－a≤3＋eq \f(8,3)，即a≥－eq \f(8,3).
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,3)，＋∞))
二、解答题(每小题15分，共30分)
7．已知f(x)是定义在(－∞，4]上的减函数，是否存在实数m，使得f(m－sin x)≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(1＋2m)－\f(7,4)＋cs2x))对定义域内的一切实数x均成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
思维启迪 不等式和函数的结合，往往要利用函数的单调性和函数的值域．
解 假设实数m存在，依题意，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－sin x≤4，,m－sin x≥\r(1＋2m)－\f(7,4)＋cs2x，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－4≤sin x，,m－\r(1＋2m)＋\f(1,2)≥－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x－\f(1,2)))2.))
因为sin x的最小值为－1，且－(sin x－eq \f(1,2))2的最大值为0，要满足题意，必须有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－4≤－1，,m－\r(1＋2m)＋\f(1,2)≥0，))
解得m＝－eq \f(1,2)或eq \f(3,2)≤m≤3.
所以实数m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3))∪eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))).
探究提高 不等式恒成立问题一般要利用函数的值域，m≤f(x)恒成立，只需m≤f(x)min.
8．(2012·徐州一模)某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元．为了调整产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工．据估计，如果能动员x(x>0)户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2x%，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(3x,50)))(a>0)万元．
(1)在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的年总收入，试求x的取值范围；
(2)在(1)的条件下，要使100户农民中从事蔬菜加工农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植农民的年总收入，试求实数a的最大值．
解 (1)由题意得3(100－x)(1＋2x%)≥3×100，
即x2－50x≤0，解得0≤x≤50，
又因为x>0，所以0(2)从事蔬菜加工的农民的年总收入为3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(3x,50)))x万元，从事蔬菜种植农民的年总收入为3(100－x)(1＋2x%)万元，根据题意，得3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(3x,50)))x≤3(100－x)(1＋2x%)恒成立，
即ax≤100＋x＋eq \f(x2,25)恒成立．
又x>0，所以a≤eq \f(100,x)＋eq \f(x,25)＋1恒成立，而eq \f(100,x)＋eq \f(x,25)＋1≥5(当且仅当x＝50时取得等号)．
所以a的最大值为5.
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1．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax＝by＝3，a＋b＝2eq \r(3)，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最大值为________．
解析 由ax＝by＝3得：x＝lga3，y＝lgb3，由a＞1，b＞1知x＞0，y＞0，eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝lg3a＋lg3b＝lg3ab≤lg3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝1，当且仅当a＝b＝eq \r(3)时“＝”号成立，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最大值为1.
答案 1
2．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则eq \f(a＋1,c)＋eq \f(c＋1,a)的最小值为________．
解析 由题可得a＞0，c＞0，且Δ＝22－4ac＝0即ac＝1.所以a＋c≥2eq \r(ac)＝2，当且仅当a＝c＝1时取等号．
所以eq \f(a＋1,c)＋eq \f(c＋1,a)＝ac×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋1,c)＋\f(c＋1,a)))＝a2＋c2＋a＋c＝(a＋c)2＋(a＋c)－2，当且仅当a＝c＝1时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋1,c)＋\f(c＋1,a)))min＝22＋2－2＝4.
答案 4
3．“a＝eq \f(1,8)”是“对任意的正数x,2x＋eq \f(a,x)≥1”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)
解析 当a＝eq \f(1,8)时，2x＋eq \f(a,x)＝2x＋eq \f(1,8x)≥1，当且仅当x＝eq \f(1,4)时取“＝”，故充分性成立，当2x＋eq \f(a,x)≥1对x∈R＋恒成立时，a≥(x－2x2)max得a≥eq \f(1,8)，故必要性不成立．
答案 充分不必要
4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站________km处．
解析 依题意，设y1＝eq \f(k1,d)，y2＝k2×d，则有2＝eq \f(k1,10)，8＝k2×10，即有k1＝20，k2＝eq \f(4,5)，从而这两项费用之和为y＝y1＋y2＝eq \f(20,d)＋eq \f(4,5)d≥2 eq \r(\f(20,d)×\f(4,5)d)＝8万元，当且仅当
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(20,d)＝\f(4,5)d，,d＞0，))即d＝5 km时，有这两项费用之和最小．
答案 5
5.(2012·扬州调研)扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9eq \r(3)平方米，且高不低于eq \r(3)米．记防洪堤横断面的腰长为x(米)，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y(米)．
(1)求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；
(2)要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？
(3)当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)？求此时外周长的值．
解 (1)9eq \r(3)＝eq \f(1,2)(AD＋BC)h，
其中AD＝BC＋2·eq \f(x,2)＝BC＋x，h＝eq \f(\r(3),2)x，
所以9eq \r(3)＝eq \f(1,2)·(2BC＋x)·eq \f(\r(3),2)x，得BC＝eq \f(18,x)－eq \f(x,2).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(h＝\f(\r(3),2)x≥\r(3)，,BC＝\f(18,x)－\f(x,2)＞0，))得2≤x＜6.
所以y＝BC＋2x＝eq \f(18,x)＋eq \f(3x,2)(2≤x＜6)．
(2)由y＝eq \f(18,x)＋eq \f(3x,2)≤10.5，得3≤x≤4.
因为[3,4][2,6)．所以腰长x的范围是[3,4]．
(3)y＝eq \f(18,x)＋eq \f(3x,2)≥2eq \r(\f(18,x)·\f(3x,2))＝6eq \r(3)，
当且仅当eq \f(18,x)＝eq \f(3x,2)，即x＝2eq \r(3)∈[2,6)时等号成立．
故外周长的最小值为6eq \r(3)米，此时腰长为2eq \r(3)米．
6．(2012·扬州调研一)某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km)的关系为：p＝eq \f(k,3x＋5)(0≤x≤8)，若距离为1 km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设f(x)为建造宿舍与修路费用之和．
(1)求f(x)的表达式；
(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小，并求最小值．
解 (1)根据题意，得100＝eq \f(k,3×1＋5)，∴k＝800，
∴f(x)＝eq \f(800,3x＋5)＋5＋6x,0≤x≤8.
(2)∵f(x)＝eq \f(800,3x＋5)＋2(3x＋5)－5≥80－5，
当且仅当eq \f(800,3x＋5)＝2(3x＋5)，即x＝5时f(x)min＝75.
故宿舍应建在离工厂5 km处可使总费用f(x)最小，且最小值为75万元.