数学必修5第3章 不等式综合与测试课后测评

高二上学期期中考试

数 学 试 卷   

一、填空题答案：

1． D    2．      3      4．      5．84  6． 7． 8 .    9． 3    10． 2    11．    12．   13．                                                                  14．   (1) 、(2) 、 (3)  。                                              

 二、解答题：

17．已知是等差数列，其前n项和为，已知（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前10项和.

解：（1）由得：即解得

   所以。

（2）设，得，因为，所以

所以

18． 已知、、分别是的三个内角、、所对的边
(1) 若面积求、的值；
(2)若，且，试判断的形状．

解：（1），，得 ，

由余弦定理得：，

所以 。

（2）由余弦定理得：，
所以 ；

在中，，所以 ，

所以是等腰直角三角形。

19．某小区要建一个面积为500平方米的矩形绿地，四周有小路，绿地长边外路宽5米，短边外路宽9米，怎样设计绿地的长与宽，使绿地和小路所占的总面积最小，并求出最小值。

解：设绿地长边为米，宽为米。

总面积

当且仅当即时，上式取等号。

所以，绿地的长为30米，宽为米时，绿地和小路所占的总面积最小，最小值为1280平方米。

20．已知等差数列的首项，公差，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列的第二项、第三项、第四项。

（1）求数列、的通项公式；

（2）设数列对任意正整数都有，求数列的通项公式。

解：（1）由题意得（a1+d）(a1+13d)=(a1+4d)2(d>0)

  即（2+d）(2+13d)=(2+4d)2, 解得d=4.

,

,.

（2）因为对任意正整数都有:①

所以当时,        ②

①-②得:                ,

                        ,

又当n=1时，,所以

所以,.

21． 已知、为正数，求证：

（1）若，则对于任何大于1的正数，恒有成立；

（2）若对于任何大于1的正数，恒有成立，则。

证明：（1）

，即成立。

（2）设。因为对于任何大于1的正数，恒有成立。

所以，。

。

当且仅当，即时取等号。

故

所以即。