高中数学：2.4.12《简单复合函数的求导法则》教案（北师大版选修2-2）

第十二课时   简单复合函数的求导法则

一、教学目标：

1、了解简单复合函数的求导法则；

2、会运用上述法则，求简单复合函数的导数。

二、教学重点：简单复合函数的求导法则的应用

教学难点：简单复合函数的求导法则的应用

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、复习：两个函数的和、差、积、商的求导公式。

1. 常见函数的导数公式：

；；；

2.法则1  　．

法则2    ,

法则3   

（二）、引入新课

海上一艘油轮发生了泄漏事故。泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S(单位：m2)是油膜半径r(单位：m)的函数：。

油膜的半径r随着时间t（单位：s）的增加而扩大，假设r关于t的函数为。

油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少？

分析：由题意可得S关于t的新的函数：。

油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率就是函数的导函数。

∵  ，

∴     。

又      ，         ，

可以观察到           ，

即                。

一般地，对于两个函数和，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数和的复合函数，记作。其中u为中间变量。

复合函数的导数为：

         (表示y对x的导数)

复合函数的求导法则

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数

复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．

例1、试说明下列函数是怎样复合而成的？

⑴；     ⑵；⑶；   ⑷．

解：⑴函数由函数和复合而成；

⑵函数由函数和复合而成；

⑶函数由函数和复合而成；

⑷函数由函数、和复合而成．

说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．

例2、求函数的导数。

解：引入中间变量，则函数是由函数与 复合而成的。

根据复合函数求导法则可得：

例3、求函数的导数。

解：引入中间变量，则函数是由函数与 复合而成的。

根据复合函数求导法则可得：

注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.

例4、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y（单位：cm）。关于时间t（单位：s）的函数为，求函数在t=3时的导数，并解释它的实际意义。

解：函数是由函数与复合而成的，其中x是中间变量。

∴。

将t=3代入得：

（cm/s）。

它表示当t=3时，水面高度下降的速度为 cm/s。

（三）、小结 ：⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代  

（四）、练习：课本练习.

（五）、作业：课本习题2-5： 2、3、5

五、教后反思：