2018 年湖北省襄阳市谷城县中考数学模拟试卷（含答案）

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2018 年湖北省襄阳市谷城县中考数学模拟试卷（2）
一． 选择题（共 10 小题， 满分 30 分，每小题 3 分）
1． （3 分） 下列各数中， ﹣ 3 的倒数是（
）
A． 3B． C．
D． ﹣ 3
2． （3 分） 下列运算正确的是（
）
A． a 2 +a 3 =a 5 B． （a+2b）
2 =a 2 +2ab+b 2
C． a 6 ÷a 3 =a 2
D． （﹣ 2a 3 ）
2 =4a 6
3． （3分）如图， 已知直线 AB、 CD 被直线AC 所截， AB∥CD， E 是平面内任意
一点（点 E 不在直线 AB、 CD、 AC 上）， 设∠BAE=α， ∠DCE=β． 下列各式： ①α+β，
②α﹣ β， ③β﹣ α， ④360°﹣ α﹣ β， ∠AEC 的度数可能是（
）
A． ①②③ B． ①②④ C． ①③④ D． ①②③④
4． （3 分） 不等式组 的解集在数轴上表示为（
）
A．
B．
C ．
D．
5． （3 分） 下列各数中最小的数是（
）
A． B． ﹣ 1 C．
D． 0
6．（3 分） 如图是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体， 从左面看几何体得
到的图形是（
）
A．
B．
C．
D．
7． （3 分） 2015 年 5 月31 日， 我国飞人苏炳添在美国尤金举行的国际田联钻石
联赛100 米男子比赛中， 获得好成绩，成为历史上首位突破 10 秒大关的黄种人，
如表是苏炳添近五次大赛参赛情况： 则苏炳添这五次比赛成绩的众数和中位数分
别为（
）
比赛日期
2012﹣ 8
﹣ 4
2013﹣ 5
﹣ 21
2014﹣ 9
﹣ 28
2015﹣ 5
﹣ 20
2015﹣ 5
﹣ 31
比赛地点
英国伦敦
中国北京 韩国仁川 中国北京 美国尤金
成绩（秒）
10.19
10.06
10.10
10.06
9.99
A． 10.06 秒， 10.06 秒 B． 10.10 秒， 10.06 秒
C． 10.06 秒， 10.10 秒 D． 10.08 秒， 10.06 秒
8． （3 分） 如图， 已知 E 是菱形 ABCD的边 BC 上一点， 且∠DAE=∠B=80°， 那么
∠CDE 的度数为（
）
A． 20° B． 25° C． 30° D． 35°
9． （3 分） 已知 AC⊥BC 于 C， BC=a， CA=b， AB=c， 下列图形中⊙O 与△ABC 的
某两条边或三边所在的直线相切， 则⊙O 的半径为 的是（
）
A．
B．
C．
D．
10． （3 分） 在同一平面坐标系中， 函数 y=mx+m 和 y=﹣ mx 2 +2x+2（m 是常数，
且m≠0） 的图象可能是（
）
A．
B．
C ．
D．
二． 填空题（共 6 小题， 满分 18 分， 每小题 3 分）
11．（3 分） 现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式， 刚刚过去的 2015 年
的“双 11”网上促销活动中， 天猫和淘宝的支付交易额突破 67000000000 元， 将
67000000000 元用科学记数法表示为 ．
12． （3 分） 在﹣ 2 、 1、 ﹣ 3这三个数中，任选两个数的积作为 k 的值， 使反比
例函数y= 的图象在第一、 三象限的概率是
．
13． （3 分） 若干个工人装卸一批货物， 每个工人的装卸速度相同， 如果这些工
人同时工作，则需 10 小时装卸完毕； 现改变装卸方式， 开始一个人干， 以后每
隔 t（整数） 小时增加一个人干， 每个参加装卸的人都一直干到装卸完毕， 且最
后参加的一个人装卸的时间是第一个人的 ， 则按改变的方式装卸， 自始至终共
需时间小时．
14． （3 分） 如图， 从热气球上看一 栋高楼顶部的仰角为 30°， 看这栋高楼底部
的俯角为 60°， 热气球与高楼的水平距离为 90m， 则这栋楼高为 （精确
到0.1 m）．
15． （3 分） 四边形 ABCD 是正方形，点 E 是直线 AB 上的一动点， 且△AEC 是以
AC 为腰的等腰三角形， 则∠BCE的度数为．
16．（3 分） 如图， Rt△ABC 中， ∠ACB=90°， ∠CAB=30°， BC=2，O、 H 分别为边
AB、 AC 的中点， 将△ABC 绕点 B 顺时针旋转 120°到△A 1 BC 1 的位置， 则整个旋转
过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积） 为 ．
三． 解答题（共 9 小题， 满分 59 分）
17．（6 分） 附加题：（y﹣ z）
2 +（x﹣ y） 2 +（z﹣ x） 2 =（y+z﹣ 2x） 2 +（z+x﹣ 2y） 2 +
（x+y﹣ 2z）
2 ．
求 的值．
18． （6 分） 如图所示， △ABC 中， ∠B=90°， AB=6cm，BC=8cm．
（1） 点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 以 1cm/s 的速度移动， 点 Q 从 B 点开始沿 BC
边向点 C 以 2cm/s 的速度移动． 如果 P， Q 分别从 A， B 同时出发， 经过几秒，
使△PBQ 的面积等于 8cm 2 ？
（2） 点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 以 1cm/s 的速度移动， 点 Q 从 B 点开始沿 BC
边向点C 以 2cm/s 的速度移动． 如果 P， Q分别从A， B 同时出发， 线段 PQ 能否
将△ABC 分成面积相等的两部分？ 若能， 求出运动时间； 若 不能说明理由．
（3） 若 P 点沿射线 AB 方向从 A 点出发以 1cm/s 的速度移动， 点 Q 沿射线 CB 方
向从 C 点出发以 2cm/s 的速度移动， P， Q 同时出发， 问几秒后， △PBQ 的面积
为 1？
19．（6 分） 已知直线 y=kx+b 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点， 与反比例函数 y=
交于一象限内的P（ ， n）， Q（4， m） 两点， 且 tan∠BOP= ．
（1） 求双曲线和直线 AB 的函数表达式；
（2） 求△OPQ 的面积；
（3） 当 kx+b＞ 时， 请根据图象直接写出 x 的取值范围．
20．（6 分） 济南某中学在参加“创文明城， 点赞泉城”书画比赛中， 杨老师从全校
30 个班中随机抽取了 4 个班（用 A， B， C， D 表示）， 对征集到的作鼎的数量进
行了分析统计， 制作了两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，回答下列问题：
（l） 杨老师采用的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”）；
（2） 请补充完整条形统计图， 并计算扇形统计图中 C 班作品数量所对应的圆心
角度数 ．
（3） 请估计全校共征集作品的什数．
（4） 如果全枝征集的作品中有 5 件获得一等奖， 其中有 3 名作者是男生， 2 名
作者是女生， 现要在获得一样等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会， 请你用列
表或树状图的方法， 求恰好选取的两名学生性别相同的概率．
21．（7 分） 如图 1， 在平行四边形 ABCD 中， E，F 分别在边 AD， AB 上，连接CE，
CF， 且满足∠DCE=∠BCF， BF=DE， ∠A=60°， 连接 EF．
（1） 若 EF=2， 求△AEF 的面积；
（2） 如图 2， 取 CE 的中点 P， 连接 DP， PF， DF， 求证： DP⊥PF．
22． （8 分） 如图， 在△ABC 中， AB=8， BC=5，AC=7， 点 D 在△ABC 的外接圆⊙
O 上， BC=BD， CD 交 AB 于点 E．
（1） 求证： △ABC∽△CBE．
（2） 求 BE 的长．
23． （10 分） 重庆市的重大惠民工程﹣ ﹣ 公租房建设已陆续竣工， 计划 10 年内
解决低收入人群的住房问题， 前 6 年， 每年竣工投入使用的公租房面积 y（单位：
百万平方米）， 与时间 x 的关系是 ，（x 单位： 年， 1≤x≤6 且 x 为整数）；
后 4 年， 每年竣工投入使用的公租房面积 y（单位： 百万平方米）， 与时间x 的
关系是 （x 单位： 年， 7≤x≤10 且 x 为整数）． 假设每年的公租房全
部出租完．另外，随着物价上涨等因素的影响，每年的租金也随之上调，预计，
第x 年投入使用的公租房的租金 z（单位： 元/m 2 ） 与时间 x（单位： 年，1≤x≤
10 且 x 为整数） 满足一次函数关系如下表：
z（元/m 2 ）
50
52
54
56
58 …
x（年）
1
2
3
4
5 …
（1） 求出 z 与 x 的函数关系式；
（2） 求政府在第几年投入的公租房收取的租金最多， 最多为多少百万元；
（3） 若第 6 年竣工投入使用的公租房可解决 20 万人的住房问题， 政府计划在第
10 年投入的公租房总面积不变的情况下， 要让人均住房面积比第 6 年人均住房
面积提高a%， 这样可解决住房的人数将比第 6 年减少 1.35a%， 求 a 的值．
（参考数据： ， ， ）
24．（10 分） 已知： 如图， 在梯形 ABCD中， AB∥CD， ∠D=90°， AD=CD=2， 点 E
在边 AD 上（不与点 A、 D 重合）， ∠CEB=45°， EB 与对角线 AC 相交于点 F， 设
DE=x．
（1） 用含 x 的代数式表示线段 CF 的长；
（2） 如果把△CAE的周长记作 C △ CAE ， △BAF 的周长记作 C △ BAF ， 设 =y， 求
y 关于 x 的函数关系式， 并写 出它的定义域；
（3） 当∠ABE 的正切值是 时， 求 AB 的长．
25． 已知平面直角坐标系中两定点 A（﹣ 1， 0）、B（4， 0）， 抛物线 y=ax 2 +bx﹣ 2
（a≠0） 过点 A， B， 顶点为 C， 点 P（m， n）（n＜0） 为抛物线上一点．
（1） 求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标；
（2） 当∠APB 为钝角时， 求 m 的取值范围；
（3） 若 m＞ ， 当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移 t（0＜t＜ ）
个单位， 点 C、 P 平移后对应的点分别记为 C′、 P′， 是否存在 t， 使得首位依次连
接 A、 B、 P′、 C′所构成的多边形的周长最短？ 若存在， 求 t 的值并说明抛物线平
移的方向；若不存在，请说明理由．
2018 年湖北省襄阳市谷城县中考数学模拟试卷（2）
参考答案与试题解析
一． 选择题（共 10 小题， 满分 30 分，每小题 3 分）
1．
【解答】解：∵相乘得1 的两个数互为倒数， 且﹣ 3×﹣ =1，
∴﹣3 的倒数是﹣ ．
故选：B．
2．
【解答】解：∵a 2 +a 3 ≠a 5 ，
∴选项A 不正确；
∵（a+2b）
2 =a 2 +4ab+b 2 ，
∴选项B 不正确；
∵a 6 ÷a 3 =a 3 ，
∴选项C 不正确；
∵（﹣2a 3 ）
2 =4a 6 ，
∴选项D 正确．
故选：D．
3．
【解答】解：点E 有 4 种可能位置．
（1） 如图， 由 AB∥CD， 可得∠AOC=∠DCE 1 =β，
∵∠AOC=∠BAE 1 +∠AE 1 C，
∴∠AE 1 C=β﹣ α．
（2） 如图， 过 E 2 作 AB 平行线， 则由 AB∥CD， 可得∠1=∠BAE 2 =α， ∠2=∠DCE 2 =β，
∴∠AE 2 C=α+β．
（3） 如图， 由 AB∥CD， 可得∠BOE 3 =∠DCE 3 =β，
∵∠BAE 3 =∠BOE 3 +∠AE 3 C，
∴∠AE 3 C=α﹣ β．
（4） 如图， 由 AB∥CD， 可得∠BAE 4 +∠AE 4 C+∠DCE 4 =360°，
∴∠AE 4 C=360°﹣ α﹣ β．
∴∠AEC 的度数可能为 β﹣ α， α+β， α﹣ β， 360°﹣ α﹣ β．
故选：D．
4．
【解答】解： ，
由①得，x＞1，
由②得，x≥2，
故此不等式组得解集为：x≥2．
在数轴上表示为：
．
故选：A．
5．
【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得
﹣ ＜﹣ ＜﹣ 1＜0，
∴各数中最小的数是：﹣ ．
故选：C．
6．
【解答】 解： 从左面看易得上面一层左边有 1 个正方形， 下面一层有 2 个正方形．
故选：A．
7．
【解答】解：在这一组数据中10.06 是出现次数最多的， 故众数是 10.06；
而将这组数据从小到大的顺序排列为： 9.99， 10.06， 10.06， 10.10， 10.19， 处于
中间位置的那个数是 10.06， 那么由中位数的定义可知， 这组数据的中位数是
10.06．
故选：A．
8．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°，
∴AE=AB=AD，
在三角形AED 中， AE=AD， ∠DAE=80°，
∴∠ADE=50°，
又∵∠B=80°，
∴∠ADC=80°，
∴∠CDE=∠ADC﹣ ∠ADE=30°．
故选：C．
9．
【解答】解：设⊙O 的半径为 r，
A、 ∵⊙O 是△ABC 内切圆，
∴S △ ABC = （a+b+c） •r=
ab，
∴r= ；
B、 如图， 连接 OD， 则 OD=OC=r， OA=b﹣ r，
∵AD 是⊙O 的切线，
∴OD⊥AB，
即∠AOD=∠C=90°，
∴△ADO∽△ACB，
∴OA： AB=OD： BC，
即（b﹣ r）： c=r： a，
解得：r=；
C、 连接 OE， OD，
∵AC 与 BC 是⊙O 的切线，
∴OE⊥BC， OD⊥AC，
∴∠OEB=∠ODC=∠C=90°，
∴四边形ODCE 是矩形，
∵OD=OE，
∴矩形ODCE 是正方形，
∴EC=OD=r， OE∥AC，
∴OE： AC=BE： BC，
∴r： b=（a﹣ r）： a，
∴r= ；
D、 解： 设 AC、 BA、BC 与⊙O 的切点分别为 D、 F、 E； 连接 OD、 OE；
∵AC、 BE 是⊙O 的切线，
∴∠ODC=∠OEC=∠DCE=90°；
∴四边形ODCE 是矩形；
∵OD=OE，
∴矩形ODCE 是正方形；
即OE=OD=CD=r， 则 AD=AF=b﹣ r；
连接OB， OF，
由勾股定理得：BF 2 =OB 2 ﹣ OF 2 ，BE 2 =OB 2 ﹣OE 2 ，
∵OB=OB， OF=OE，
∴BF=BE，
则BA+AF=BC+CE，c+b﹣ r=a+r， 即 r= ．
故选：C．
10．
【解答】解：解法一：逐项分析
A、 由函数y=mx+m 的图象可知 m＜0， 即函数 y=﹣ mx 2 +2x+2 开口方向朝上， 与
图象不符，故A选项错误；
B、 由函数 y=mx+m 的图象可知 m＜0， 对称轴为 x= = = ＜0， 则对称轴
应在 y 轴左侧， 与图象不符， 故 B 选项错误；
C、 由函数 y=mx+m 的图象可知 m＞0， 即函数 y=﹣mx 2 +2x+2 开口方向朝下， 与
图象不符，故C 选项错误；
D、 由函数 y=mx+m 的图象可知 m＜0， 即函数 y=﹣ mx 2 +2x+2 开口方向朝上， 对
称轴为x= = = ＜0， 则对称轴应在 y 轴左侧， 与图象相符， 故D 选项正
确；
解法二：系统分析
当二次函数开口向下时，﹣m＜0， m＞0，
一次函数图象过一、二、三象限．
当二次函数开口向上时，﹣m＞0， m＜0，
对称轴x= ＜0，
这时二次函数图象的对称轴在y 轴左侧，
一次函数图象过二、三、四象限．
故选：D．
二． 填空题（共 6 小题， 满分 18 分， 每小题 3 分）
11．
【解答】解：67 000 000 000=6.7×10 10 ，
故答案为：6.7×10 10 ．
12．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6 种等可能的结果， 任选两个数的积作为 k 的值， 使反比例函数 y= 的图
象在第一、三象限的有2 种情况，
∴任选两个数的积作为k 的值， 使反比例函数 y= 的图象在第一、 三象限的概率
是： = ．
故答案为： ．
13．
【解答】 解： 设装卸工作需 x 小时完成， 则第一人干了 x 小时， 最后一个人干了
小时， 两人共干活 x+ 小时， 平均每人干活 小时， 由题意知， 第二
人与倒数第二人， 第三人与倒数第三人， …，
平均每人干活的时间也是 小时，
根据题设，得 =10，
解得x=16（小时）；
设共有y 人参加装卸工作， 由于每隔 t 小时增加一人， 因此最后一人比第一人少
干（y﹣ 1） t 小时， 按题意，
得16﹣ （y﹣ 1） t=16× ，
即（y﹣ 1） t=12，
解此不定方程得 ， ， ， ， ， ，
即参加的人数y=2 或 3 或 4 或 5 或 7 或 13．
故答案为：16．
14．
【解答】解：过点A 作 AD⊥BC， 垂足为 D．
在Rt△ADC 中， 有 CD=ADtan60°= AD=90 ，
在Rt△ABD 中， 有 BD=ADtan30°= AD=30 ．
故这栋楼高BC 为 90 +30 =120 ≈207.8（m）．
故答案为：207.8m．
15．
【解答】解：当AC=AE时，
以 A 为圆心， AC 为半径作圆交直线 AB 于点 E，
当E 在 BA 的延长线时，
∴∠EAC=135°，
∴∠BEC=22.5°，
∴∠BCE=∠BCA+∠BEC=67.5°
当E 在 AB 的延长线时，
∴∠EAC=45°，
∴∠ACE=67.5°
∴∠BCE=∠ACE﹣ ∠ACB=22.5°
当AC=CE 时，
当以C 为圆心 AC 为半径作圆交直线 AB 于点 E
∴∠EAC=∠CEA=45°，
∴∠BCE=45°，
故答案为：67.5°或 45°或 22.5°
16．
【解答】解：连接BH、 BH 1 ，
∵∠ACB=90°，∠CAB=30°， BC=2，
∴AB=4，
∴AC= =2 ，
在Rt△BHC 中， CH= AC= ， BC=2，
根据勾股定理可得：BH= ；
∴S 扫 =S
扇形 BHH1 ﹣ S 扇形 BOO1
= =π．
三． 解答题（共 9 小 题， 满分 59 分）
17．
【解答】 解： ∵（y﹣ z）
2 +（x﹣ y） 2 +（z﹣ x） 2 =（y+z﹣ 2x） 2 +（z+x﹣ 2y） 2 +（x+y
﹣ 2z）
2 ．
∴（y﹣ z）
2 ﹣ （y+z﹣ 2x） 2 +（x﹣ y） 2 ﹣ （x+y﹣ 2z） 2 +（z﹣ x） 2 ﹣ （z+x﹣ 2y） 2 =0，
∴（y﹣ z+y+z﹣ 2x）（y﹣ z﹣ y﹣ z+2x） +（x﹣ y+x+y﹣2z）（x﹣ y﹣ x﹣ y+2z） +（z
﹣x+z+x﹣ 2y）（z﹣ x﹣ z﹣ x+2y） =0，
∴2x 2 +2y 2 +2z 2 ﹣ 2xy﹣ 2xz﹣ 2yz=0，
∴（x﹣ y）
2 +（x﹣ z） 2 +（y﹣ z） 2 =0．
∵x， y， z 均为实数，
∴x=y=z．
∴ = =1．
18．
【解答】解：（1） 设经过 x 秒， 使△PBQ 的面积等于 8cm 2 ， 依题意有
（6﹣ x）•2x=8，
解得x 1 =2， x 2 =4，
经检验，x 1 ， x 2 均符合题意．
故经过2 秒或 4 秒， △PBQ 的面积等于 8cm 2 ；
（2） 设经过 y 秒， 线段 PQ 能否将△ABC 分成面积相等的两部分， 依题意有
△ABC 的面积= ×6×8=24，
（6﹣ y） •2y=12，
y 2 ﹣ 6y+12=0，
∵△=b 2 ﹣ 4ac=36﹣ 4×12=﹣ 12＜0，
∴此方程无实数根，
∴线段PQ 不能否将△ABC 分成面积相等的两部分；
（3） ①点 P 在线段 AB 上， 点 Q 在线段 CB 上（0＜x＜4），
设经过m 秒， 依题意有
（6﹣ m）（8﹣ 2m） =1，
m 2 ﹣ 10m+23=0，
解得m 1 =5+ ， m 2 =5﹣ ，
经检验，m 1 =5+ 不符合题意， 舍去，
∴m=5﹣ ；
②点P 在线段 AB 上， 点 Q 在射线 CB 上（4＜x＜6），
设经过n 秒， 依题意有
（6﹣ n）（2n﹣ 8） =1，
m 2 ﹣ 10n+25=0，
解得n 1 =n 2 =5，
经检验，n=5 符合题意．
③点P 在射线 AB 上， 点 Q 在射线 CB 上（x＞6），
设经过k 秒， 依题意有
（k﹣ 6）（2k﹣ 8） =1，
k 2 ﹣ 10k+23=0，
解得k 1 =5+ ， k 2 =5﹣ ，
经检验，k 1 =5﹣ 不符合题意， 舍去，
∴k=5+ ；
综上所述，经过（5﹣ ）秒，5 秒， （5+ ） 秒后， △PBQ 的面积为 1．
19．
【解答】解：（1） 过 P 作 PC⊥y 轴于 C，
∵P（ ， n），
∴OC=n， PC= ，
∵tan∠BOP= ，
∴n=4，
∴P（ ， 4），
设反比例函数的解析式为y= ，
∴a=4，
∴反比例函数的解析式为y= ，
∴Q（4， ），
把P（ ， 4），Q（4， ） 代入 y=kx+b 中得，
，
∴ ，
∴直线的函数表达式为y=﹣ x+ ；
（2） 过 Q 作 QD⊥y轴于D，
则S △ POQ =S
四边形 PCDQ =
×（ +4） ×（4﹣ ） = ；
（3） 由图象知，
当﹣x+ ＞ 时， 或 x＜0
20．
【解答】解：（1） 杨老师从全校 30 个班中随机抽取了 4 个班， 属于抽样调查．
故答案为：抽样调查．
（2） 所调查的 4 个班征集到的作品数为： 6÷ =24件，
C 班有 24﹣ （4+6+4） =10 件，
补全条形图如图所示，
扇形统计图中C 班作品数量所对应的圆心角度数 360°× =150°；
故答案为：150°；
（3） ∵平均每个班 =6 件，
∴估计全校共征集作品6×30=180 件．
（4） 画树状图得：