必修24.5向量的数量积学案

这是一份必修24.5向量的数量积学案，共4页。
4.5.1　向量的数量积学习目标重点难点1．能记住向量数量积的定义；2．能说出向量数量积的运算律；3．能进行向量数量积的运算，会求两个向量的数量积及夹角.重点：向量数量积的定义及运算；难点：向量数量积的运算；疑点：向量数量积与实数乘法以及向量与实数相乘的区别.1．向量的数量积(1)定义：设a，b是任意两个向量，〈a，b〉是它们的夹角，取值范围是[0，π]，则定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉称为a与b的数量积．(2)两个向量的数量积是实数而不是向量．(3)数量积a·b也称为a与b的内积．(4)数量积a·b一定要在a与b之间用一点“·”表示，因此也称为“点积”或“点乘”，不能将a·b写成a×b或ab.(5)向量a，b的夹角规定为a，b之间所夹的最小非负角，用〈a，b〉表示，其取值范围规定为[0，π]，且有〈a，b〉＝〈b，a〉．(6)如果a，b共线，则有a·b＝(7)当a，b之中有一个为零时，它们的夹角〈a，b〉没有确定的值，但a，b仍有确定的值0，即a·b＝0.预习交流1向量的数量积是一个实数，它的正负与什么有关？提示：由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉知，当a·b＞0时，〈a，b〉∈；当a·b＜0时，〈a，b〉∈；当a·b＝0时，〈a，b〉＝，因此a·b取值的正负由这两个向量的夹角所决定．预习交流2由a·b＝0一定能推出a或b是零向量吗？提示：不一定，当a·b＝0时，可能有a≠0，b≠0，而〈a，b〉＝，此时a⊥b.预习交流3在△ABC中，与的夹角是什么？与的夹角等于B吗？提示：〈，〉＝A，但〈，〉≠B，而是〈，〉＝π－B，一定要注意向量的方向．2．向量数量积的运算律数量积满足如下的运算律：(1)交换律：a·b＝b·a，对任意向量a，b成立；(2)与数乘的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)，对任意向量a，b和实数λ成立；(3)分配律(distributive law)：(a＋a′)·b＝a·b＋a′·b，对任意向量a，a′，b成立．预习交流4实数运算中满足消去律，即若a，b，c为实数，当b≠0时，由ab＝bc可得a＝c；那么在数量积运算中，当a，b，c为向量，且b≠0时，由a·b＝b·c能否可得a＝c?提示：对于向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·ca＝c.由图很容易看出，虽然a·b＝b·c，但a≠c.预习交流5向量的数量积运算是否满足结合律(a·b)c＝a(b·c)呢？提示：对于实数a，b，c有(ab)c＝a(bc)；但对向量a，b，c，(a·b)c＝a(b·c)未必成立，这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)未必成立．在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点  一、向量的夹角问题在正方形ABCD中，两对角线AC与BD相交于点O，求：(1)与的夹角；(2)与的夹角；(3)与的夹角；(4)与的夹角．思路分析：按照向量夹角的定义，以及正方形的性质求解．解：(1)，反向共线，故〈，〉＝π；(2)〈，〉＝∠BAC＝；(3)与垂直，故〈，〉＝；(4)〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.在等边△ABC中，求(1)〈，〉；(2)〈，〉；(3)〈，〉．解：(1)〈，〉＝；(2)〈，〉＝π－〈，〉＝；(3)〈，〉＝〈，〉＝.求两个向量的夹角时，一定要注意向量的方向，通常把两个向量平移到共同的起点，再求它们之间的夹角．二、向量数量积的计算已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b，(2)a⊥b，(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．思路分析：已知|a|与|b|，求a·b，只需确定其夹角θ.注意当a∥b时，有θ＝0°和θ＝180°两种可能．解：(1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20；若a与b反向，则θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a⊥b时，θ＝90°.∴a·b＝|a||b|cos 90°＝0.(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos 30°＝4×5×＝10.1．已知a·b＝6，|a|＝3，a和b的夹角为45°，则|b|＝________.答案： 4解析：由题意知6＝3|b|cos 45°，∴|b|＝4.2．在边长为2的正方形ABCD中，·＝______.答案：4解析：依题意||＝2，||＝2，〈，〉＝，于是·＝2×2×cos＝4.求两个向量数量积的关键是求出两个向量的模以及它们之间的夹角，然后利用数量积的定义进行计算．三、利用数量积求两个向量的夹角在等腰△ABC中，已知AB=AC=6，·=－18，求∠B的大小．思路分析：先由数量积的定义求出∠A的大小，再求∠B．解：因为·=||·||·cos〈，〉=6×6×cos A=36cos A．所以36cos A=－18.所以cos A=.因此∠A=120°，于是∠B==30°.即∠B等于30°.已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝2，且a·b＝2，则a与b的夹角为(　　)A．      B．      C．      D．答案：B解析：设向量a与b的夹角为θ.∵a·b＝|a||b|cos θ，∴cos θ＝＝＝.∴θ＝.求两个向量的夹角的关键是求出两个向量的模以及它们的数量积，利用数量积的定义式求出夹角的余弦，再求夹角，注意夹角的取值范围．1．在边长为1的正三角形ABC中，·＝(　　)A．      B．－      C．      D．－答案：C解析：·＝1×1×cos 60°＝.2．若|a|＝|b|＝2，且a·b＝2，则a与b的夹角为(　　)A．180°      B．90°      C．60°      D．0°答案：C解析：设a与b的夹角为θ，则a·b＝2×2×cosθ＝2，∴cos θ＝.又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°.3．对非零向量a，b，若a·b＝－|a||b|，则必有(　　)A．a＝b      B．|a|＝|b|      C．a⊥b      D．a∥b答案：D解析：由a·b＝－|a||b|知〈a，b〉＝180°，因此a∥b.4．若|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝120°，则a·(4b)的值为(　　)A．12      B．－12      C．12      D．－12答案：B解析：a·(4b)＝4(a·b)＝4|a||b|cos〈a，b〉＝4×2×3×cos 120°＝－12.5．在△ABC中，＝a，＝b，且a·b＞0，则△ABC为__________三角形．答案：钝角解析：a·b＝·＝||||cos〈，〉＝||||cos(π－B)＝－||||cos B＞0，∴cos B＜0，故∠B为钝角．∴△ABC为钝角三角形．用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．知识精华技能要领