数学必修24.4向量的分解与坐标表示学案设计

这是一份数学必修24.4向量的分解与坐标表示学案设计，共6页。学案主要包含了向量的坐标及坐标运算，向量共线条件的应用，平面向量基本定理的应用等内容，欢迎下载使用。
4.4　向量的分解与坐标表示学习目标重点难点1．知道什么是向量的线性组合；能理解并记住定理3；2．能说出什么是平面向量的基以及坐标；3．能记住向量加法、减法、数乘向量运算的坐标运算法则，记住两向量平行的坐标表示方法；4．知道什么是平面向量基本定理.重点：向量的坐标表示以及向量的线性运算的坐标运算法则；两向量平行的坐标表示方法；难点：平面向量基本定理及其简单应用；疑点：两向量平行的坐标表示方法及灵活应用.1．定理3(1)将平面上的位移向量分解为两个单位向量e1，e2的实数倍向量之和xe1＋ye2，并且将系数排列起来，记为(x，y)，称为这个位移向量的坐标．为叙述方便，我们将一组向量的实数倍向量之和称为这些向量的线性组合．比如，xe1＋ye2就是e1，e2的线性组合．(2)定理3：设e1，e2是平面上两个互相垂直的单位向量，则①平面上任意一个向量v都可以分解为e1，e2的线性组合：v＝xe1＋ye2，其中x，y是两个实数．②两个向量u＝ae1＋be2和v＝xe1＋ye2相等的充分必要条件是：a＝x且b＝y.预习交流1若用互相垂直的单位向量e1，e2来线性表示0，结果怎样？表示方法唯一吗？提示：由于0e1＝0,0e2＝0，所以0e1＋0e2＝0.由定理3知用e1，e2来线性表示任意一个向量时，表示方法是唯一的，所以若0＝xe1＋ye2，则必有x＝0，y＝0.2．向量的坐标及其坐标运算(1)定理3可以理解为：任意取定两个互相垂直的单位向量e1，e2作为“尺”，可以“度量”平面上任何一个向量v，得出两个“量数”x，y，我们将e1，e2称为一组基，用这组基去“度量”每一个向量v，也就是将v写成这组基的线性组合v＝xe1＋ye2，得到的两个“量数”x，y组成一组(x，y)，称为v的坐标，坐标(x，y)由两个数x，y组成，x称为它的第一分量(也称第一坐标)，y称为它的第二分量(也称第二坐标)．(2)两个坐标相加减，将它们的两个分量分别相加减：(x1，y1)±(x2，y2)＝(x1±x2，y1±y2)．一个数与坐标相乘，将这个数分别乘上坐标的每个分量：a(x，y)＝(ax，ay)．(3)向量平行的坐标表示：我们用∥来表示两个向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)平行(也就是共线)．现在也可以直接写成(x1，y1)∥(x2，y2)来表示这两个向量平行．即其中一个坐标是另一个坐标的实数倍，也就是说它们的坐标成比例，即x1y2＝y1x2成立．总结为(x1，y1)∥(x2，y2)⇔x1y2－y1x2＝0.预习交流2向量的坐标与点的坐标的写法有什么区别？提示：在书写向量的坐标时，注意与点的坐标的区别与联系．向量a＝(x，y)中间用等号连接，而一个点的坐标A(x，y)，中间没有等号．预习交流3对于任意两个向量，它们共线的条件能否写为(x1，y1)∥(x2，y2)⇔＝？提示：不能，只有当x2≠0，y2≠0时，两个向量共线的条件才可以改写为上述形式，因此，对任意两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b的充分必要条件是x1y2－x2y1＝0.3．平面向量基本定理定理4(平面向量基本定理)：设e1，e2是平面上两个不平行的非零向量，则(1)平面上任意一个向量v可以分解为e1，e2的线性组合：v＝xe1＋ye2.(2)向量u＝ae1＋be2与v＝xe1＋ye2相等⇔线性组合式中的对应系数相等：a＝x且b＝y.预习交流4任意两个向量都能做基吗？提示：当两个向量共线时，它们只能表示与它们共线的向量，所以不能作为基，即只有不共线的两个向量才能做基．当然，这两个不共线的向量可以垂直，也可以不垂直．在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点  一、向量的坐标及坐标运算已知点A，B，C的坐标分别为A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)．(1)求向量＋2－的坐标；(2)若＝，＝－，求D，E两点坐标．思路分析：对于(1)，可先由A，B，C的坐标求出，，的坐标，再利用向量的加、减及数乘的坐标运算法则即可得解；对于(2)，应先求出，的坐标，再求D，E点的坐标．解：(1)∵点A，B，C的坐标分别为A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，∴＝(－2,10)，＝(－8,4)，＝(－10,14)．∴＋2－＝(－2,10)＋2(－8,4)－(－10,14)＝(－2,10)＋(－16,8)－(－5,7)＝(－13,11)．(2)由(1)可知＝(－2,10)＝(－1,5)，＝－(－8,4)＝.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则＝(x1－2，y1＋4)，＝(x2，y2－6)，于是(x1－2，y1＋4)＝(－1,5)，(x2，y2－6)＝.因此解得故D(1,1)，E.1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b等于(　　)A．(－2，－1)      B．(－2,1)      C．(－1,0)      D．(－1,2)答案：D解析：∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)，∴a＝，－b＝.∴a－b＝(－1,2)．2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝，则点P的坐标为(　　)A．(－8,1)      B．C．      D．(8，－1)答案：B解析：＝(－8,1)，所以＝.设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，于是x－3＝－4，y＋2＝，解得x＝－1，y＝－，即P，选B．1．向量的坐标运算主要是利用向量的加、减及数乘运算法则进行．解题的关键是由已知的有向线段两个端点的坐标，求出相应向量的坐标，这时，一定是由向量的终点坐标减去向量起点的坐标．2．点的坐标与向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，向量的坐标才与点的坐标相等．相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却不一定相同．二、向量共线条件的应用(1)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，试推断是否存在实数k，使向量ka＋b与a－3b共线？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．(2)设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线？思路分析：(1)分别写出向量ka＋b和a－3b的坐标，利用向量共线的坐标表示可得到一个关于k的方程，方程有实根时k存在，否则，k不存在．(2)要使A，B，C三点共线，应使与共线，然后根据向量共线的条件求得k值．解：(1)由已知ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．若ka＋b与a－3b共线，则－4(k－3)－10(2k＋2)＝0，即24k＝－8，∴k＝－.故存在实数k＝－，使向量ka＋b与a－3b共线．(2)解法一：若A，B，C三点共线，则，共线，则存在实数λ，使得＝λ.∵＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)．∴解得k＝－2，或k＝11.解法二：若A，B，C三点共线，则，共线．∵＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，∴k2－9k－22＝0，解得k＝－2，或k＝11.1．若三点A(1,1)，B(2，－4)，C(x，－9)共线，则x的值为(　　)A．1      B．3      C．      D．51答案：B解析：依题意＝(1，－5)，＝(x－1，－10)，∵A，B，C三点共线，∴与共线．于是1×(－10)＝－5(x－1)，解得x＝3.2．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝__________.答案：－1解析：∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)．∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m－1)＝0.∴m＝－1.1．用坐标表示的两个向量共线的条件是两向量的横、纵坐标交叉相乘差为零，不能错记为和为零．2．要判断A，B，C三点是否共线，一般是看与，或与，或与是否共线．若共线，并且每组向量都有公共点，则A，B，C三点共线．三、平面向量基本定理的应用在ABCD中，设＝a，＝b，试用a，b表示，.思路分析：一种方法是直接利用向量加法、减法的运算法则进行分解、转化；另一种方法是先用未知向量，表示a，b，然后通过解方程求得，.解：如图，方法一(转化法)：设AC，BD交于点O，则有===a，===b.∴=+=－=a－b，=+=a+b.方法二(方程思想)：设=x，=y，则有+=，－=且==y，即∴x=a－b，y=a+b，即=a－b，=a+b.如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知=c，=d，试用c，d表示，.解：设=a，=b，因为M，N分别为CD，BC的中点，所以=b，=a，于是有解得即=(2d－c)，=(2c－d)．用基向量表示未知向量，一般有两种方法，一是充分利用向量线性运算，灵活应用三角形法则与平行四边形法则求解，二是采用方程思想，即直接用，表示a，b，然后把，看做未知量，利用方程思想求解，.1．若＝(2,4)，＝(1,3)，则等于(　　)A．(1,1)      B．(－1，－1)C．(3,7)      D．(－3，－7)答案：B解析：＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．2．已知向量a＝(2，－3)，b＝(3，λ)，若a∥b，则λ等于(　　)A．      B．－2      C．－      D．－答案：C解析：∵a∥b，∴2λ＋9＝0，解得λ＝－.3．设O点是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组中，可作为这个平行四边形所在平面的基底的是(　　)①与　②与　③与　④与A．①②      B．①③      C．①④      D．③④答案：B解析：依题意，与不共线，与不共线，可以作为一组基底．4．如图，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝(　　)A．(5e1＋3e2)B．(5e1－3e2)C．(3e2－5e1)D．(5e2－3e1)答案：A解析：依题意＝＝(＋)＝(＋)＝(3e2＋5e1)．5．已知A(－2，－3)，B(1,3)，C(2,5)，求证：A，B，C三点共线．证明：由于＝(3,6)，＝(4,8)，而3×8＝6×4，故∥，又与有公共点A，所以A，B，C三点共线．用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．知识精华技能要领