湘教版必修24.5向量的数量积教案

利用坐标计算数量积

【教学目标】

1．灵活运用向量数量积的坐标运算公式，夹角余弦的坐标表达式；

2．体会公式中体现的数形结合的思想

【教学重难点】

重点：向量数量积的坐标运算与度量公式

难点：灵活运用公式解决有关问题

【教学过程】

一、知识链接

1．两向量数量积定义：____________________________________________

2．向量数量积的性质：_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

知识重现

1．已知，在方向上的正射影的数量是3，则_______________

2．在中，，则________________

二、知识点梳理

1．数量积的坐标表达式______________________________________

2．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：

（1）_________________________________________。

（2）与向量垂直的向量可以写成_____________________________________。

3．向量的长度、距离和夹角公式推导

向量的长度公式________________________

距离公式：___________________________________

两向量夹角余弦公式的坐标表达式：___________________________________

三、自学检测

1．已知则______________，_________，________，_____________________

2．已知则_______________________

3．判断下面各对向量是否垂直

（1）

（2）

四、课内探究

探究一：推导向量内积的坐标运算公式

建立正交基底，已知，则

____________________________________________

=____________________________________________，

因为____________________________________________，

所以得到：

用语言描述为：____________________________________________。

练习一：已知向量的坐标，求

（1）；      （2）

探究二：两向量的垂直条件

例1．已知点，求证：

练习二：已知，求证：

考查的知识点：两向量垂直的条件

数学方法：用向量作工具将几何问题代数化，体现了数形结合的数学思想

探究三：向量的长度，距离和夹角公式推导

1．已知，由向量数量积的性质及向量的内积运算公式知，

______________________=______________________

所以得到，______________________

可以用语言表述为：____________________________________________。

2．如果，则____________________________________________

所以得到，____________________________________________

3．两向量夹角余弦的坐标表达式：

______________________

例2．已知求

思考：你能否写出求两向量夹角的一个算法？

S1：

S2：

S3：

S4：

例3．已知点，求的正弦值．

考查的知识点：两向量夹角坐标公式，长度公式

数学方法：两向量的坐标夹角公式体现了数形结合的数学思想

五、课堂小结

这节课研究的主要问题有：

知识方面：

数学思想方面：

六、当堂检测

（B级）1．已知，则_______________________________，

______________________________。

（B级）2．已知，则是___________________三角形

（A级）3．在中，则的值是（  ）

A．5        B．-5        C．        D．

七、思考探究

在中，，判断形状的方法有哪些？