2021-2022学年陕西省延安市富县九年级（上）期中数学试卷 解析版

这是一份2021-2022学年陕西省延安市富县九年级（上）期中数学试卷 解析版，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年陕西省延安市富县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中）
1．（3分）剪纸艺术是第一批国家级非物质文化遗产，下列图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）二次函数y＝﹣（x+1）2+6的最大值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣6 D．6
3．（3分）已知x＝3是关于x的方程x2﹣bx﹣6＝0的一个根，则实数b的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
4．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°得到△AB'C'，则∠C'AB的度数为（　　）

A．80° B．70° C．90° D．100°
5．（3分）已知点M（m，﹣1）与点N（3，n）关于原点对称，则m+n的值为（　　）
A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3
6．（3分）已知一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（　　）
A．12 B．24 C．10 D．8
7．（3分）将二次函数y＝x2﹣4x﹣4的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到的图象对应的二次函数的表达式为y＝x2+ax+b，则ab的值为（　　）
A．﹣22 B．22 C．88 D．﹣88
8．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣2，3），抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，以下结论：①4a﹣b＝0；②a﹣b+c＝0；③若（﹣4，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2；④b2+3b＝4ac．其中正确的是（　　）

A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）把方程x2+4x+1＝0用配方法化为（x+m）2＝n的形式，则n的值是 　 　．
10．（3分）已知关于x的一元二次方程﹣mx2﹣6x+3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　 　．
11．（3分）已知点M（2+m，m﹣1）关于原点的对称点在第二象限，则m的取值范围是　 　．
12．（3分）我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”，抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝x﹣2的“和谐值”为 　 　．
13．（3分）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC和AB上，BE＝2，AF＝2，BF＝4，将△BEF绕点E顺时针旋转，得到△GEH，当点H落在CD边上时，F，H两点之间的距离为 　 　．

三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．（5分）用配方法解方程：x2﹣4x﹣3＝0．
15．（5分）如图，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C在AD上．若∠B＝21°，∠ACB＝26°，求出旋转的度数，并指出旋转中心．

16．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m+2＝0，求证：不论m取何实数，该方程总有两个实数根．
17．（5分）如图，Rt△OAB的斜边OA在y轴上，∠AOB＝30°，OB＝，将Rt△AOB绕原点顺时针旋转90°，求点A的对应点A′的坐标．

18．（5分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，将其化为y＝a（x﹣h）2＝+k的形式，并在所给的平面直角坐标系中画出它的图象．

19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，﹣4），
B（5，﹣4），C（4，﹣1）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°所得到的△A2B2C2，且C2的坐标为 　 　．

20．（5分）关于x的方程x2﹣2x﹣（2m﹣1）＝0有实数根，且m为非正整数，求m的值及此时方程的根．
21．（6分）如图，依靠一面长18m的墙，用34m长的篱笆围成一个矩形场地ABCD，AB边上留有2m宽的小门EF（不用篱笆围）．当矩形场地面积为160m2时，求AD的长．

22．（7分）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州历史文化．如图②，“东方之门”的内侧轮廊是由两条抛物线组成的，已知其底部宽度均为80m，高度分别为300m和225m，则在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度AB为多少米？

23．（7分）如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△ADE，点B的对应点为点D，点C的对应点E落在BC边上，连接BD．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）若AC＝3，BC＝7，求线段BD的长．

24．（8分）2022年杭州亚运会，即第19届亚洲运动会，将于2022年9月10日至25日，在中国杭州市举行．某网络经销商购进了一批以亚运会为主题，且具有中国风范、杭州韵味的文化衫进行销售．文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元．为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大？并求出最大利润．
25．（8分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣1，0），B（2，3）两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△AMC是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

26．（10分）如图①，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在斜边BC上，∠DAE＝45°，将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACF，连接EF．
（1）求证：△ADE≌△AFE；
（2）如图②，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，BD＝4，CE＝6，求DE的长．


2021-2022学年陕西省延安市富县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中）
1．（3分）剪纸艺术是第一批国家级非物质文化遗产，下列图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此解答即可．
【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．（3分）二次函数y＝﹣（x+1）2+6的最大值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣6 D．6
【分析】根据二次函数顶点特点可知，当x＝﹣1时，函数有最大值．
【解答】解：二次函数y＝﹣（x+1）2+6，当x＝﹣1时，函数有最大值6，
故选：D．
3．（3分）已知x＝3是关于x的方程x2﹣bx﹣6＝0的一个根，则实数b的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【分析】把x＝3代入方程得到关于b的方程，解方程即可．
【解答】解：∵x＝3是关于x的方程x2﹣bx﹣6＝0的一个根，
∴9﹣3b﹣6＝0，
∴b＝1．
故选：B．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°得到△AB'C'，则∠C'AB的度数为（　　）

A．80° B．70° C．90° D．100°
【分析】根据旋转可得∠CAC′＝50°，再根据角之间的和差关系可得答案．
【解答】解：∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，
∴∠CAC′＝50°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠C′AB＝50°+30°＝80°，
故选：A．
5．（3分）已知点M（m，﹣1）与点N（3，n）关于原点对称，则m+n的值为（　　）
A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3
【分析】利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而求出即可．
【解答】解：∵点M（m，﹣1）与点N（3，n）关于原点对称，
∴m＝﹣3，n＝1，
故m+n＝﹣3+1＝﹣2．
故选：C．
6．（3分）已知一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（　　）
A．12 B．24 C．10 D．8
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和，再根据对角线乘积的一半求出菱形面积即可．
【解答】解：设a，b是方程x2﹣14x+48＝0的两个根，
∴ab＝48，
则这个菱形的面积为ab＝24．
故选：B．
7．（3分）将二次函数y＝x2﹣4x﹣4的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到的图象对应的二次函数的表达式为y＝x2+ax+b，则ab的值为（　　）
A．﹣22 B．22 C．88 D．﹣88
【分析】首先将原函数解析式写成顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答，得出a，b的值，即可得出答案．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，
∴将抛物线y＝（x﹣2）2﹣8先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到：y＝（x﹣2﹣2）2﹣8+3，即y＝x2﹣8x+11，
∴a＝﹣8，b＝11，
故ab＝﹣8×11＝﹣88．
故选：D．
8．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣2，3），抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，以下结论：①4a﹣b＝0；②a﹣b+c＝0；③若（﹣4，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2；④b2+3b＝4ac．其中正确的是（　　）

A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，与y轴的交点以及二次函数增减性逐项进行判断即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2，
∴﹣＝﹣2，
∴4a﹣b＝0，
因此①正确；
∵抛物线的对称轴为x＝﹣2，图象与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）和点（0，0）之间，
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
因此②不正确；
∵|﹣4﹣（﹣2）|＜|1﹣（﹣2）|，
∴（﹣4，y1）到对称轴的水平距离小于（1，y2）到对称轴的水平距离，且抛物线开口向下，
∴y1＞y2，故③正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），
∴＝3，
∴b2+12a＝4ac，
∵4a﹣b＝0，
∴b＝4a，
∴b2+3b＝4ac，故④正确；
∴正确的有：①③④，
故选：A．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）把方程x2+4x+1＝0用配方法化为（x+m）2＝n的形式，则n的值是 　3　．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：∵x2+4x+1＝0，
∴x2+4x＝﹣1，
则x2+4x+4＝﹣1+4，即（x+2）2＝3，
∴m＝2，n＝3，
故答案为：3．
10．（3分）已知关于x的一元二次方程﹣mx2﹣6x+3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　m＞﹣3且m≠0　．
【分析】由二次项系数非零结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程﹣mx2﹣6x+3＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m＞﹣3且m≠0．
故答案为：m＞﹣3且m≠0．
11．（3分）已知点M（2+m，m﹣1）关于原点的对称点在第二象限，则m的取值范围是　﹣2＜m＜1　．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出对应点，进而利用第二象限点的坐标特点得出答案．
【解答】解：点M（2+m，m﹣1）关于原点的对称点为：（﹣2﹣m，1﹣m），
∵（﹣2﹣m，1﹣m）在第二象限，
∴﹣2﹣m＜0，1﹣m＞0，
解得：﹣2＜m＜1．
故答案为：﹣2＜m＜1．
12．（3分）我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”，抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝x﹣2的“和谐值”为 　　．
【分析】通过x2﹣2x+3﹣（x﹣2）求解．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴抛物线在直线上方，
设“和谐值”为h，
∵x2﹣2x+3﹣（x﹣2）＝（x﹣）2+，
∴该函数最小值为，
故答案为：．
13．（3分）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC和AB上，BE＝2，AF＝2，BF＝4，将△BEF绕点E顺时针旋转，得到△GEH，当点H落在CD边上时，F，H两点之间的距离为 　2　．

【分析】连接FH，由正方形的性质得出∠B＝∠C＝90°，AB＝BC，由旋转的性质得出EF＝EH，证明Rt△EBF≌Rt△HCE（HL），得出∠EFB＝∠HEC，证出∠FEH＝90°，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：连接FH，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC，
∵AF＝2，BF＝4，
∴AB＝6，
∵BE＝2，
∴CE＝4，
∴BF＝CE，
∵将△BEF绕点E顺时针旋转，得到△GEH，
∴EF＝EH，
在Rt△EBF和Rt△HCE中，
，
∴Rt△EBF≌Rt△HCE（HL），
∴∠EFB＝∠HEC，
∵∠EFB+∠BEF＝90°，
∴∠BEF+∠CEH＝90°，
∴∠FEH＝90°，
∵BF＝4，BE＝2，
∴EF＝＝＝2，
∴FH＝EF＝2．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．（5分）用配方法解方程：x2﹣4x﹣3＝0．
【分析】利用配方法求解即可．
【解答】解：移项得x2﹣4x＝3，
配方得x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，
开方得x﹣2＝±，
所以x1＝2+，x2＝2﹣．
15．（5分）如图，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C在AD上．若∠B＝21°，∠ACB＝26°，求出旋转的度数，并指出旋转中心．

【分析】先利用三角形内角和计算出∠BAC＝133°，再根据旋转的定义得出旋转中心．
【解答】解：∵∠B＝21°，∠ACB＝26°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣21°﹣26°＝133°，即∠BAD＝133°，
∴旋转的度数为133°，
由图可知旋转中心为点A．
16．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m+2＝0，求证：不论m取何实数，该方程总有两个实数根．
【分析】根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac的符号来证明结论成立．
【解答】证明：∵Δ＝b2﹣4ac
＝[﹣（m+3）]2﹣4（2m+2）
＝m2﹣2m+1
＝（m﹣1）2≥0，
∴不论m取何值时，方程总有两个实数根．
17．（5分）如图，Rt△OAB的斜边OA在y轴上，∠AOB＝30°，OB＝，将Rt△AOB绕原点顺时针旋转90°，求点A的对应点A′的坐标．

【分析】解直角三角形求出OA＝2，可得A（0，2），再利用旋转变换的性质求解即可．
【解答】解：在Rt△AOB中，∠B＝90°，OB＝，∠AOB＝30°，
∴AO＝＝2，
∴A（0，2），
∴将Rt△AOB绕原点顺时针旋转90°，点A的对应点A′的坐标为（2，0）．
18．（5分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，将其化为y＝a（x﹣h）2＝+k的形式，并在所给的平面直角坐标系中画出它的图象．

【分析】用配方法配方成顶点式，然后列表，描点连线画出函数图象．
【解答】解：y＝x2﹣4x+3
＝x2﹣4x+4﹣4+3
＝（x﹣2）2﹣1；
（2）列表；
x
……
0
1
2
3
4
……
y
……
3
0
﹣1
0
3
……
描点、连线作出函数的图象如图：
．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，﹣4），
B（5，﹣4），C（4，﹣1）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°所得到的△A2B2C2，且C2的坐标为 　（﹣1，﹣4）　．

【分析】（1）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，C2的坐标为（﹣1，﹣4）．
故答案为：（﹣1，﹣4）．

20．（5分）关于x的方程x2﹣2x﹣（2m﹣1）＝0有实数根，且m为非正整数，求m的值及此时方程的根．
【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围，求得m＝0，进而解方程得出答案．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣（2m﹣1）＝0有实数根，
∴b2﹣4ac＝4﹣4[﹣（2m﹣1）]≥0，
解得：m≥0，
∵m为非正整数，
∴m＝0，
∴原方程可化为x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0，
解得：x1＝x2＝1．
21．（6分）如图，依靠一面长18m的墙，用34m长的篱笆围成一个矩形场地ABCD，AB边上留有2m宽的小门EF（不用篱笆围）．当矩形场地面积为160m2时，求AD的长．

【分析】设AD＝BC＝xm，则AB＝（34+2﹣2x）m，根据矩形场地面积为160m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长18m，即可得出AD的长为1m．
【解答】解：设AD＝BC＝xm，则AB＝（34+2﹣2x）m，
依题意得：x（34+2﹣2x）＝160，
整理得：x2﹣18x+80＝0，
解得：x1＝8，x2＝10．
当x＝8时，34+2﹣2x＝34+2﹣2×8＝20＞18，不合题意，舍去；
当x＝10时，34+2﹣2x＝34+2﹣2×10＝16＜18，符合题意．
答：AD的长为1m．
22．（7分）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州历史文化．如图②，“东方之门”的内侧轮廊是由两条抛物线组成的，已知其底部宽度均为80m，高度分别为300m和225m，则在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度AB为多少米？

【分析】以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点A、B 的横坐标，从而可得AB的长．
【解答】解：以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图：

∴C（﹣40，0），D（40，0），
设外侧抛物线的解析式为y＝a（x+40）（x﹣40），将（0，300）代入，得：
300＝a（0+40）（0﹣40），
解得：a＝﹣，
∴外侧抛物线的解析式为y＝﹣x2+300，
将y＝225代入得﹣x2+300＝225，
解得：x＝±20，
∴A（﹣20，225），B（20，225），
∴AB＝40，
答：在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度AB的长为40m．
23．（7分）如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△ADE，点B的对应点为点D，点C的对应点E落在BC边上，连接BD．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）若AC＝3，BC＝7，求线段BD的长．

【分析】（1）由旋转的性质可得AC＝AE，∠CAE＝90°，∠AED＝∠ACE，可得∠ACE＝∠AEC＝45°＝∠AED，可得结论；
（2）由直角三角形的性质可求EC＝6，可求BE＝1，由勾股定理可求BD的长．
【解答】解：（1）∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，
∴AC＝AE，∠CAE＝90°，∠AED＝∠ACE，
∴∠ACE＝∠AEC＝45°＝∠AED，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥BC；
（2）∵AE＝AC＝3，∠EAC＝90°，
∴EC＝6，
∴BE＝BC﹣EC＝1，
∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，
∴DE＝BC＝7，
∴DB＝＝＝5．
24．（8分）2022年杭州亚运会，即第19届亚洲运动会，将于2022年9月10日至25日，在中国杭州市举行．某网络经销商购进了一批以亚运会为主题，且具有中国风范、杭州韵味的文化衫进行销售．文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元．为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大？并求出最大利润．
【分析】（1）根据“销售单价每降低1元，则每天可多售出2件”列函数关系式；
（2）根据总利润＝单件利润×销售量列出函数关系式，然后利用二次函数的性质分析其最值．
【解答】解：（1）由题意可得：y＝20+2（70﹣x），
整理得：y＝﹣2x+160，
∴每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣2x+160（30≤x＜70）；
（2）设销售所得利润为w，由题意可得：
w＝（x﹣30﹣2）y＝（x﹣32）（﹣2x+160）＝﹣2x2+224x﹣5120，
整理得：w＝﹣2（x﹣56）2+1152，
∵﹣2＜0，
∴当x＝56时，w取最大值为1152，
∴当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1152元．
25．（8分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣1，0），B（2，3）两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△AMC是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将（﹣1，0），（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c求解．
（2）通过解析式求出点C坐标，设点M坐标为（1，m），用含m代数式分别表示出AM2，CM2，AC2，根据勾股定理分类讨论A，M，C为直角顶点，进而求解．
【解答】解：（1）将（﹣1，0），（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）存在，理由如下：
把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3得y＝3，
∴点C坐标为（0，3），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
设点M坐标为（1，m），
∴AC2＝12+32＝10，CM2＝12+（m﹣3）2＝m2﹣6m+10，AM2＝m2+22＝m2+4，
①当∠AMC为90°时，
AM2+CM2＝AC2，即m2+4+m2﹣6m+10＝10，
解得m＝1或m＝2，
∴点M坐标为（1，1）或（1，2）．

②当∠ACM＝90°时，
AC2+CM2＝AM2，即10+m2﹣6m+10＝m2+4，
解得m＝，
∴点M坐标为（1，），
③当∠MAC＝90°时，
AM2+AC2＝CM2，即m2+4+10＝m2﹣6m+10，
解得m＝﹣．
∴M坐标为（1，﹣）．
综上所述，点M坐标为（1，1）或（1，2）或（1，）或（1，﹣）．
26．（10分）如图①，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在斜边BC上，∠DAE＝45°，将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACF，连接EF．
（1）求证：△ADE≌△AFE；
（2）如图②，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，BD＝4，CE＝6，求DE的长．

【分析】（1）先判断出AD＝AF，∠BAD＝∠CAF，再判断出∠FAE＝∠DAE，即可得出结论；
（2）将△ABD绕点A逆时针旋转120°至△ACF，连接EF，同（1）的方法判断出DE＝EF，再判断出∠ECF＝60°，过点F作FH⊥BC于H，在Rt△CHF中，求出CH＝2，FH＝2，在Rt△EHF中，用勾股定理求出EF，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACF，
∴△ABD≌△ACF，
∴AD＝AF，∠BAD＝∠CAF，
由旋转知，∠DAF＝90°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠FAE＝∠DAF﹣∠DAE＝45°＝∠DAE，
在△ADE和△AFE中，
，
∴△ADE≌△AFE（SAS）；
（2）解：如右图，将△ABD绕点A逆时针旋转120°至△ACF，连接EF，
∴△ABD≌△ACF，
∴BD＝CF＝4，AD＝AF，∠BAD＝∠CAF，
由旋转知，∠DAF＝120°，
∵∠DAE＝60°，
∴∠FAE＝∠DAF﹣∠DAE＝60°＝∠DAE，
在△ADE和△AFE中，
，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴DE＝EF，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
由旋转知，∠ACF＝∠B＝30°，
∴∠ECF＝∠ACB+∠ACF＝60°，
过点F作FH⊥BC于H，
在Rt△CHF中，CF＝4，∠CFH＝90°﹣∠ECF＝30°，
∴CH＝2，FH＝2，
在Rt△EHF中，EH＝EC﹣CH＝6﹣2＝4，
根据勾股定理得，EF＝＝＝2，
∴DE＝2．