2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何知识点练习卷（A）

这是一份2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何知识点练习卷（A），共19页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
立体几何A卷（共22题） 一、选择题（共8题）如图所示是某一几何体的三视图，则这个几何体是  A．圆柱体 B．圆锥体 C．正方体 D．球体 已知 ， 是空间两条不同的直线，， 是空间两个不同的平面，下列命题为真命题的是  A．若 ，，则  B．若 ，，则  C．若 ，，则  D．若 ，，则  设空间直角坐标系中有 ，，， 四个点，其坐标分别为 ，，，，下列说法正确的是  A．存在唯一的一个不过点 ， 的平面 ，使得点 和点 到平面 的距离相等 B．存在唯一的一个过点 的平面 ，使得 ，  C．存在唯一的一个不过 ，，， 四点的平面 ，使得 ，  D．存在唯一的一个过 ， 两点的平面 ，使得直线 与平面 的夹角的正弦值为  已知长方形 的长 为 ，宽 为 ，沿对角线 折起，形成四面体 ，则该四面体外接球的表面积为  A．  B．  C．  D．  已知向量 ，，，若 ，则 与 的夹角为  A．  B．  C．  D．  若一个正三棱锥的侧面积为底面积的 倍，底面边长为 ，则体积    A．  B．  C．  D．  已知一个几何体的三视图如图所示，图中长方形的长为 ，宽为 ，圆半径为 ，则该几何体的体积和表面积分别为  A． ，  B． ，  C． ，  D． ，  下列不能确定两个平面垂直的是  A．两个平面相交，所成二面角是直二面角 B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线 C．一个平面经过另一个平面的一条垂线 D．平面 内的直线 垂直于平面 内的直线  二、多选题（共4题）在正方体 中，下列各式运算的结果为 的有  A．  B．  C．  D．  下列四个命题，其中正确的是  A．棱台的所有侧棱延长后交于一点 B．多面体至少有四个面 C．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 设几何体 是棱长为 的正方体， 与 相交于点 ，则下列结论正确的是  A．  B．  C．  D．  如图， 为正方形 边 上异于 ， 的动点，将 沿 翻折成 ，在翻折过程中，下列说法正确的是  A．存在点 和某一翻折位置，使得  B．存在点 和某一翻折位置，使得  C．存在点 和某一翻折位置，使得直线 与平面 所成的角为  D．存在点 和某一翻折位置，使得二面角 的大小为  三、填空题（共4题）两条相等的平行线段在同一平面内的射影长    ． 母线和底面圆的直径都为 的圆锥的体积为    ． 正方体各面所在的平面将空间分成      个部分． 正方体 的棱长为 ，， 分别为 ， 的中点，则点 到平面 的距离为    ． 四、解答题（共6题）在空间四边形 中， 是线段 的中点， 在线段 上，且 ．(1)  试用 表示向量 ；(2)  若 ，，，，求 的值． 如图，已知三棱柱 的侧棱与底面垂直，，，， 分别是 ， 的中点．(1)  求异面直线 与 所成角的余弦值；(2)  求二面角 的余弦值． 已知如图所示的长方体 ．(1)  与直线 异面的棱所在的直线有哪几条？(2)  与直线 平行的平面有哪几个？与直线 相交的平面有哪几个？ 设正方体 的棱长是 ，求棱 和平面 的距离． 如图，在三棱锥 中， 是 的重心（三条中线的交点）， 是空间任意一点．(1)  用向量 ，， 表示向量 ，并证明你的结论；(2)  设 ，，请写出点 在 的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）． 如图，在直四棱柱 中，已知 ，．(1)  设 是 中点，求证：；(2)  求二面角 的大小．
答案一、选择题（共8题）1.  【答案】A【解析】由正视图与侧视图可知，几何体是柱体，由俯视图可知，三视图是圆柱体．【知识点】三视图、棱柱的结构特征 2.  【答案】B【知识点】空间的平行关系、空间的垂直关系 3.  【答案】B【解析】对于A选项，当 或平面 过线段 的中点时，点 和点 到平面 的距离相等，故A选项错误；对于B选项，，，所以 ，所以 ，设 ，因为 ，，所以 该方程组无解，所以 ，，， 四点不共面，所以 与 异面，易知过点 且与 垂直的平面 有且只有一个，又因为 ，所以 点不在平面 内，所以 ，故B选项正确；对于C选项，由于 ， 异面，设 为 ， 的公垂线，且 ，，过直线 上的任意一点（异于 ， 两点）作平面 ，使得 ，则 ，，这样的平面 有无数个，故C选项错误；对于D选项，，，设平面 的一个法向量为 ，由题意可得 ， ，所以 整理得 ， ，即方程 有两个不等的实数解，所以存在两个过 ， 两点的平面 使得直线 与平面 的夹角的正弦值为 ，故D选项错误．故选B．【知识点】利用空间向量判定线线的垂直、平行关系、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 4.  【答案】D【解析】根据题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半；所以长宽分别为 和 的长方形 沿对角线 折起二面角得到四面体 ，则其外接球的半径为：；所以四面体外接球的表面积：．【知识点】组合体、球的表面积与体积 5.  【答案】C【解析】由题意可得 ，且 ，又 ，所以 ，又 ，所以 ．【知识点】空间向量的数量积运算 6.  【答案】C【知识点】棱锥的表面积与体积 7.  【答案】B【知识点】三视图 8.  【答案】D【解析】如图所示，在正方体 中，平面 内的直线 垂直于平面 内的一条直线 ，但平面 与平面 显然不垂直．【知识点】平面与平面垂直关系的判定 二、多选题（共4题）9.  【答案】B；C；D【解析】A. ，故错误；B. ，故正确；C. ，故正确；D. ，故正确．【知识点】空间向量的加减运算 10.  【答案】A；B【解析】对于选项 A，利用棱台的定义和特殊几何体加以说明，棱台可以“还原”成棱锥，即侧棱延长后一定相交，故A正确；对于选项B，显然要构成空间几何体至少需有四个顶点（不在同一个面上），当有三个顶点时，只能围成一个平面图形，当有四个顶点（不在同一个面上）时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故选项B正确；两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，所以选项C错误；若两底面根本就不相似，则该六面体不是棱台，所以选项D错误．【知识点】空间几何体的结构特征 11.  【答案】A；C；D【解析】如图，建立空间直角坐标系，则 ，，，，，，，所以 ，，，，，，．所以 ，所以A正确， ，所以B不正确， ，所以C正确， ，所以D正确．【知识点】空间向量的数量积运算 12.  【答案】A；C；D【解析】当 时，因为 ，，，所以 ，故 ，故A正确；四边形 为梯形，所以 与 必然相交，故B错误；如图（）所示， 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，则图（）中 ， 在平面 的射影 在 上，连接 ，，故 为直线 与平面 所成的角，设二面角 的平面角为 ，取 ，，故 ，，，，要使直线 与平面 所成的角为 ，只需 ，在 中，由余弦定理得 ，解得 ，经验证，满足题意，故C正确；过点 作 交 于 ，连接 ，因为 ，，，所以 ，，则 为二面角 的平面角，取二面角 的平面角为 ，要使二面角 的大小为 ，只需 ，连接 ．因为 ，，所以 ，设 ，，则 ，，化简得 ，解得 ，经验证，满足题意，故D正确．故选ACD．【知识点】二面角 三、填空题（共4题）13.  【答案】相等【知识点】直线与平面的位置关系 14.  【答案】  【知识点】圆锥的表面积与体积 15.  【答案】【知识点】平面的概念与基本性质 16.  【答案】 【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 四、解答题（共6题）17.  【答案】(1)  因为 ，所以 ，所以 ．又 ，所以 ．(2)  由（）可知，，，又 ，所以   即 的值为 ．【知识点】空间向量基本定理、空间向量的数量积运算 18.  【答案】(1)  如图，以 为坐标原点，，， 所在直线分别为 ，， 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，所以 ，．所以 ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ．(2)  平面 的一个法向量为 ．设平面 的一个法向量为 ．因为 ，，由 ， 得，  不妨取 ，则 ，，所以 ，所以 ，所以二面角 的余弦值为 ．【知识点】二面角、异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 19.  【答案】(1)  与直线 异面的棱所在的直线有 条，分别为 ，，，，，．(2)  与直线 平行的平面只有 个，为平面 ；与直线 相交的平面有 个，分别为平面 ，平面 ，平面 ，平面 ．【知识点】直线与平面的位置关系、直线与直线的位置关系 20.  【答案】 ．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 21.  【答案】(1)   ．证明如下：  (2)  若 ，，则点 在 的内部（不包括边界）的充分必要条件是： ，且 ，，．【知识点】空间向量基本定理 22.  【答案】(1)  建立如图所示空间直角坐标系，并设 ，则 ，，，，，．所以直线 的一个方向向量为 ．设 是平面 的一个法向量，则 ，．又因为 ，，所以 解得 令 ，则平面 的一个法向量 ．所以 ，显然直线 在平面 外，所以 ．(2)  设 是平面 的一个法向量，则 ，．又因为 ，，所以 所以 令 ，则平面 的一个法向量 ．设 与 的夹角为 ，则  所以 ，结合图形可知所求二面角为锐二面角．所以二面角 的大小为 ．【知识点】二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题