第四章图形的相似期末复习培优试题 2021-2022学年 北师大版数学九年级上册（word版 含答案）

这是一份第四章图形的相似期末复习培优试题 2021-2022学年 北师大版数学九年级上册（word版 含答案），共58页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.（2021九上·盐湖期中）如图，小颖把一面镜子水平放置在离树底（点B）8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢（点A），已知 米，小颖目高 米，则树的高度AB为（ ）
A. 3.2米 B. 4.8米 C. 8米 D. 20米
2.（2021九上·本溪期中）如图，有一块锐角三角形材料，边 ，高 ，要把它加工成矩形零件，使其边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，且 ，则这个矩形零件的长为（ ）
A. 32mm B. 36mm C. 40mm D. 44mm
3.（2021九上·铁东期中）如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则S四边形BEDC：S△ABC的值为（ ）
A. 1：4 B. 3：4 C. 2：3 D. 1：2
4.（2021九上·信都期中）如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为▱DEFG的工件，使GF在边BC上，D、E两点分别在边AB、AC上，若点D是边AB的中点，则S▱DEFG的面积为（ ）cm2 ．
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
5.（2021九上·永年期中）如图， 与 相交于点 ，点 在线段 上，且 ．若 ， ， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
6.（2021九上·城阳期中）如图，两条直线被三条平行线所截，若DE＝3，EF＝6，BC＝8，则AC＝（ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 9
7.（2021九上·卢龙期中）如图，△ABC∽△ACD ， 相似比为2，则S△BDC：S△DAC为（ ）
A. 4:1 B. 3:1 C. 2:1 D. 1:1
8.（2021九上·包河期中）如图，在 中，D、E分别是边 、 上的点， 与 相交于点F ， 若E为 的中点， ，则 的值是（ ）
A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 2
9.（2021九上·章丘期中）如图，正方形ABCD的边长为4，G是BC边上一点，若矩形DEFG的边EF经过点A ， GD＝5，则FG长为（ ）
A. 2.8 B. 3 C. 3.2 D. 4
10.（2021九上·章丘期中）如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝α，BC＝12，点D是边AB上一点，且BD＝4，点P是边BC上一动点，作∠DPE＝α，射线PE交边AC于点E ， 当CE＝9时，则满足条件的P点的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 以上都有可能
11.（2021九上·平阳月考）如图，在矩形 中， ， ， 平分 ，与对角线 相交于点N，F是线段 的中点，则 为（ ）
A. B. C. D.
12.（2020九上·揭西期末）如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE、AF于M、N，下列结论：①AF⊥BG；② ；③ ；④ ，其中正确的有（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
13.（2020九上·青山期末）如图，在矩形OABC中， ， ，把矩形OABC绕点A旋转，得到矩形ADEF且点D恰好落在BC上，连接OF交AD于点G．则点G的坐标是（ ）
A. B. C. D.
14.如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，EF⊥AC于点F，以下结论：①△BMD≌△DFE；②△NBE∽△DBC；③AC＝2DF；④EF AB＝CF BC，其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
15.如图，已知Rt△ABC中，AC=b，BC=a，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1 ， 连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2 ， 连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3 ， …，如此继续，可以依次得到点D4 ， D5 ， …，Dn ， 分别记△BD1E1 ， △BD2E2 ， △BD3E3 ， …，△BDnEn的面积为S1 ， S2 ， S3 ， …Sn ． 则Sn为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
16.（2021八下·岱岳期末）如图，在 中， ， 是 中点， 是 上一点， ， ，则 的长为 ．
17.（2021·包头）如图，在 中， ，过点B作 ，垂足为B ， 且 ，连接CD ， 与AB相交于点M ， 过点M作 ，垂足为N ． 若 ，则MN的长为 ．
18.（2021·安徽模拟）在矩形ABCD（AB＜ BC）的边上取一点E ， 将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若∠CBE＝15°，则 ＝ ________；
（2）如图2，延长EF ， 与∠ABF的平分线交于点M ， BM交AD于点N ， 当NF＝AN＋FD时， ＝________．
19.（2021八上·南阳期末）如图，等边 中，D是BC边上的一点，把 折叠，使点A落在BC边上的点D处，折痕与边AB、AC分别交于点M、N，若 ， ，那么边BC长为________.

20.（2021九上·福州期末）如图，在平行四边形 中， ， ， ，点 ， 分别在边 ， 上运动，且满足 ，连接 ， ，则 的最小值是 .
21.（2020九上·上海月考）如图， 为 的 边上的点、且 ，中线 被 截得的三线段为 ，则 ________
22.（2020·扬州）如图，在 中， ， ， ，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得 ，以EC、EF为邻边构造 ，连接EG，则EG的最小值为 .
23.（2020·泉州模拟）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于C点，点D在 上， ， 与 交于点 ，连接 ，若 ， ，则 ________．
24.（2020·青羊模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2 ，点P为AB边上的一个动点，连接PC，过点P作PQ⊥PC交BC边于点Q，则BQ的最大值为________．
25.（2020·高新模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝6 ，∠EDF的顶点D是AB的中点，且∠EDF＝45°，现将∠EDF绕点D旋转一周，在旋转过程中，当∠EDF的两边DE、DF分别交直线AC于点G、H，把△DGH沿DH折叠，点G落在点M处，连接AM，若 ＝ ，则AH的长为________．
26.（2019·沈阳）如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是________.
27.（2019·天府新模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是CD的中点，连接AE，将△ADE沿AE折叠至△AHE，连接BH，延长AE，BH交于点F；BF，CD交于点G，则FG=________．
28.感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD.（不要求证明）
探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD.
拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上.若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6 ，CE=4，则DE的长为________.
三、解答题
29.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，连接CE，DE．AC与DE相交于点F．
（1）求证：△ADF∽△CEF；

（2）若AD=4，AB=6，求 的值．

30.（2021九上·南期中）已知：如图，△ABC中，D是边BC的中点，且AD＝AC ， DE⊥BC交AB于点E ， EC交AD于点F ．
（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）求 的值．
31.（2021八下·龙泉驿期末）如图
（1）如图1，在四边形ABCD中，点M在BC上，∠B＝∠C＝∠AMD时.求证：△ABM∽△MCD.
（2）如图2，在△ABC中，点M是边BC的中点，点D，E分别在边AB，AC上.若∠B＝∠C＝∠DME＝45°，BC＝8 ，CE＝6，求DE的长.
32.（2020九上·子洲期中）大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆 ，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得 米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与大雁塔底处的点A在同一直线上），这时测得 米， 米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度 .
33.（2021九上·沈北新期中）如图1，在正方形 中，点E是边 上一点，且点E不与点 重合，点F是 的延长线上一点，且 ．
（1）求证： ；
（2）如图2，连接 ，交 于点K ， 过点D作 ，垂足为H ， 延长 交 于点G ， 连接 ．
①求证： ；
②若 ，求 的长．
34.（2021九上·哈尔滨开学考）如图，在正方形 中，点E在 边上，点F在 边上， ，连接 ，与对角线 交于点O．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，过点A作 于点H，交 边于点K，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 ，若 ， ，求 的长．
35.（2021八下·重庆期末）在矩形 中， ， ，点 为 上的点，点 矩形内部一动点，连接 ， ；
（1）如图一，若满足 ， ， ， ，求证： ；
（2）如图二，当点 在线段 上的运动，求 的最小值；
（3）如图三，若点 为 的中点， 为矩形内部一动点，连接 ， ， ，问 是否有最小值，若有请直接写出答案；若没有，请说明理由.
36.（2021·衢州）如图，
（1）【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G.
求证： .
（2）【运用】
如图2，在（推理）条件下，延长BF交AD于点H.若 ， ，求线段DE的长.
（3）【拓展】
将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若 ， ，求 的值（用含k的代数式表示）.
37.（2021·洪泽模拟）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，得到△BFE.
（1）点F恰好在AD上；
①如图1，若∠FEB＝75°，求出AB：BC的值.
②如图2，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝ BC时，求出AB：BC的值.
（2）E从C到D的运动过程中.
①如图3，若AB＝5，BC＝8，∠ABF的角平分线交EF的延长线于点M，求M到AD的距离；
②在①的条件下，E从C到D的过程中，直接写出M运动的路径长.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【解析】【解答】解：根据题意得
∵∠CED＝∠AEB，∠CDE＝∠ABE，
∴△CED∽△AEB，
∴CD：AB＝DE：BE，即1.6：AB＝4：8，
∴AB＝3.2，
答：树的高度AB为3.2m．
故答案为：A．

【分析】先证明△CED∽△AEB，在利用相似比得出AB的长即可。
2.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，设 与 的交点为点 ，
是 的高，
，
四边形 是矩形，
，
四边形 是矩形，
，
设 ，则 ，
又 ，
， ，
， ，
，即 ，
解得 ，
则这个矩形零件的长为 ，
故答案为：B．

【分析】设 ，则 ，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，在进行计算即可。
3.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，
∴ ，
∴S四边形BEDC：S△ABC＝ ，
故答案为：B．

【分析】根据相似三角形的性质解答即可。
4.【答案】 B
【解析】【解答】解：过点A作AM⊥BC，交DE于点N，
∵∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，
∴BC＝ ＝10（cm），
∵ AB•AC＝ BC•AM，
∴AM＝ ，即AM＝ ＝4.8（cm），
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴DE∥BC．
又∵点D是边AB的中点，
∴DA＝ BA＝3cm．
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∴DE=5cm，AN＝MN＝2.4cm，
∴▱DEFG的面积为：5×2.4＝12（cm2）．
故答案是：B．
【分析】先求出AM＝ ，再求出△ADE∽△ABC，最后求解即可。
5.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵ ∥ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
解得： ，
∵ ∥ ，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
6.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ 即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
7.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△ACD ， 相似比为2，∴S△ABC：S△ACD=4，∴S△BDC：S△ACD=3：1．
故答案为：B．

【分析】利用相似三角形的性质可得S△ABC：S△ACD=4，再结合图形可得S△BDC：S△ACD=3：1．
8.【答案】 A
【解析】【解答】解：如图所示，过点E作 交AD于G ，
∵E是AC的中点， ，
∴EG是△ACD的中位线，△AGE∽△ADC ，
∴ ， ，
∴ ，
同理可证△FGE∽△FDB ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
9.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵G是边长为4的正方形ABCD边上一点，矩形DEFG的边EF经过点A ， GD＝5，
∴∠C＝∠E＝90°，∠EDG＝∠ADC＝90°，ED＝FG ， AD＝CD＝4，
∴∠EDA＝∠CDG ，
∴△EDA∽△CDG ，
∴ ，
即 ，
解得，ED＝3.2，
∴FG＝3.2，
故答案为：C ．
【分析】根据矩形和正方形的性质，可得出∠C＝∠E＝90°，∠EDG＝∠ADC＝90°，ED＝FG ， AD＝CD＝4，从而得出△EDA∽△CDG ， 即可得出 ，得出ED的值，再根据ED=FG，即可得出答案。
10.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝α，
∵∠DPC＝∠B+∠PDB ，
即∠DPE+∠EPC＝∠B+∠PDB ，
而∠DPE＝α，
∴∠EPC＝∠PDB ，
而∠ABC＝∠ACB ，
∴△PDB∽△EPC ，
∴
设PB＝x ， 则PC＝12﹣x ， 当CE＝9时，
∴
∴x2﹣12x+36＝0，
∵Δ＝（﹣12）2﹣4×36＝0，原方程只有一个实数根，
∴点P有且只有一个，
故答案为：A．
【分析】由已知得出∠ABC＝∠ACB＝α，再证明∠EPC＝∠PDB ， 则可判断△PDB∽△EPC ， 利用相似比得出 ， 设PB＝x ， 则PC＝12﹣x ， 当CE＝9时，得出 ， 根据判别式的意义得出Δ＝0，即原方程只有一个实数根，即可得出答案。
11.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图，作EG⊥AC于G，
∵CE平分∠ACB，
∴EG=EB，
∴AE=AB-BE=3-EG
由CE=CE，
∴Rt△BCE≌Rt△GCE（HL）
∴CB=CG，
∴CG=4，
∵ ，
∴AG=AC-CG=5-4=1，
在Rt△AEG中， ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵O和F分别是AC、CE的中点，
∴OF是△CAE的中位线，
∴ 且 ，
因为 ，
∴ ，
由矩形可知， ，
∴ ，
解得： ，
经检验，符合题意，
过N点分别向BC、OF作垂线，垂足分别为M、K，
由 ，得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
延长OF与BC交于点H，则NK+CH=CM= ，
∴△CNO的面积 .
故答案为：D.
【分析】作EG⊥AC于G，由角平分线的性质可得EG=EB，证明Rt△BCE≌Rt△GCE，得到CB=CG=4，由勾股定理求出AC，进而得到AG，在Rt△AEG中，应用勾股定理可得EG，进而求出BE、AE，易知OF是△CAE的中位线，得到OF∥AE，OF=AE，由矩形的性质可得BD=AC=5，由平行线分线段成比例的性质可得BN，过N分别向BC、OF作垂线，垂足分别为M、K，易得BM、CM的值，延长OF与BC交于点H，求出CM，据此求解.
12.【答案】 D
【解析】【解答】 四边形ABCD是正方形，
，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
又 ，
，
，即 ，即结论①符合题意；
在 中， ，
在 中， ，
则 ，结论②不符合题意；
由上已证： ，
，
，
即 ，结论③符合题意；
如图，过点G作 于点H，交AE于点O，则四边形ADGH是矩形，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，即 ，
解得 ，
，
又 ，
，
，则结论④符合题意；
综上，结论正确的有①③④，
故答案为：D．
【分析】利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，相似三角形的性质与判定求解即可。
13.【答案】 A
【解析】【解答】解：过D作DM⊥OA于M，FN⊥OA于N，则∠DMA=∠FNA=90°，
∵在矩形OABC中，A（5，0）．C（0，3），
∴OA=BC=5，AB=OC=3=DM，
∵把矩形OABC绕点A旋转，得到矩形ADEF且点D恰好落在BC上，
∴AD=OA=5，∠OAB=∠DAF=90°，AF=AB=3，
∴∠DAM=∠BAF=90°-∠DAB，
∵∠BAO=∠FNA=90°，
∴∠BAF=∠AFN，
∴∠DAM=∠AFN，
在Rt△DMA中，由勾股定理得：AM=
∴CD=OM=5-4=1，
即点D坐标是（1，3），
∵∠DMA=∠FNA，∠DAM=∠AFN，
∴△DAM∽△AFN，
∴ ，
∴ ，
解得：FN= ，AN= ，
∴ON=5+ = ，
即F点的坐标是（ ， ），
设直线AD的解析式是y=kx+b，
把A（5，0），C（1，3）代入得：
，
解得：k=- ，b= ，
∴直线AD的解析式是y=- ，
设直线OF的解析式是y=ax，
把F（ ， ）代入得： ，
解得：a=
∴直线OF的解析式是y= ，
解方程组 得： ，
即点G的坐标是（ ， ），
故答案为：A．
【分析】过D作DM⊥OA于M，FN⊥OA于N，则∠DMA=∠FNA=90°，求出OA=5，AB=3，根据勾股定理求出AM，求出点D坐标，求出△DAM∽△AFN，求出AN和FN，求出F坐标，求出直线AD和OF的解析式，再求出交点G的坐标即可．
14.【答案】 C
【解析】【解答】解: ∵AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线，
∴∠MBC＝∠C =45°,BM=AM=MC
∵DB＝DE,
∴∠DBE＝∠DEB
即∠DBM+45°＝∠CDE+45°.
∴∠DBM＝∠CDE
∵EF⊥AC,
∴∠DFE＝∠BMD=90°
在△BMD和△DFE中
∴△BMD≌△DFE.
故①正确.
由① 可得∠DBE＝∠DEB，∠MBC＝∠C
∴△NBE∽△DCB，
故②错，对应字母没有写在对应的位置上.
∵△BMD≌△DFE，
∴BM=DF,
∵BM=AM=MC，
∴AC=2BM,
∴AC＝2DF.
故③正确
易证△EFC∽△ABC,所以 ,
∴EFAB＝CF BC
故④正确
故答案为：C.
【分析】利用等腰直角三角形的性质，可证得DB＝DE，∠DBM＝∠CDE ，再利用AAS可证得△BMD≌△DFE，可对①作出判断；由①可证得∠DBE＝∠DEB，∠MBC＝∠C，利用相似三角形的判定，可证△NBE∽△DCB，可对②作出判断；利用全等三角形的性质可对③作出判断；根据已知易证△EFC∽△ABC，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，可对④作出判断，继而可得出答案。
15.【答案】 A
【解析】【分析】根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质，利用在△ACB中，D2为其重心可得D2E1=BE1 ， 然后从中找出规律即可解答．
【解答】
∵D1E1⊥AC，BC⊥AC，
∴D1E1∥BC，
∴△BD1E1与△CD1E1同底同高，面积相等，以此类推；
根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D1E1=BC，CE1=AC，S1=S△ABC；
∴在△ACB中，D2为其重心，
∴D2E1=BE1 ，
∴D2E2=BC，CE2=AC，S2=S△ABC ，
∵D2E2：D1E1=2：3，D1E1：BC=1：2，
∴BC：D2E2=2D1E1：D1E1=3，
∴CD3：CD2=D3E3：D2E2=CE3：CE2=3：4，
∴D3E3=D2E2=×BC=BC，CE3=CE2=×AC=AC，S3=S△ABC…；
∴Sn=S△ABC=×ab=
故选A．
【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质和三角形的重心等知识，解决本题的关键是根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质得到第一个三角形的面积与原三角形的面积的规律．也考查了重心的性质即三角形三边中线的交点到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．
二、填空题
16.【答案】
【解析】【解答】∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠AEC=∠AED+∠DEC=∠B+∠BAE，∠AED=∠B，
∴∠DEC=∠BAE，
∴△BAE∽△CED，
∴ ，
∵AB=AC=6，AD=DC=3，BE= ，
∴ ，
∴CE= ，
故填： ．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后计算求解即可。
17.【答案】
【解析】【解答】解：∵MN⊥BC ， DB⊥BC,
∴AC∥MN∥DB ，
∴ ，
∴
即 ,
又∵ ，
∴ ，
解得 ,
故填： ．
【分析】先证明 ，再求出 ，最后计算求解即可。
18.【答案】 （1）
（2）
【解析】【解答】（1）根据折叠的性质，得BF=BC ， ∠FBE=∠CBE=15°

∴∠FBC=∠FBE+∠CBE=30°
∵四边形ABCD是矩形
∴BC∥AD
∴∠AFB=∠FBC=30°
∵∠A=90°
∴BF=2AB
∴BC=2AB
∴
故答案为：
（2）过N作NG⊥BF于点G ， 如图
∵BM平分∠ABF ， AD⊥AB ， NG⊥BF
∴AN=GN
∵BN=BN
∴Rt△ABN≌Rt△GBN
∴BG=AB
∵∠NGF=∠A=90°，∠NFG=∠BFA
∴△NGF∽△BAF
∴
∵NF=AN+FD
∴AD=BC=2NF
∴AB=2GN
设AN=GN=a ， FD=b ， 则NF=a+b ， AB=2a ， AD=BF=BC=2a+2b
∴FG=BF-BG=2b
在Rt△NFG中，由勾股定理得：
即
即
∴BC=
∴
故答案为: ．
【分析】（1）根据折叠的性质可得BF=BC，∠AFB=2∠CBE=30°，从而可得BC=2AB，即可得出结果；
（2）过点N作NG⊥BF于点G，则易得AN=GN，AB=BG，△NFG∽△BFA，由对应边成比例可得BG=2NG，设AN=a，FD=b，则在Rt△NFG中，由勾股定理可得a，b的关系，从而求得结果。

19.【答案】
【解析】【解答】解：设 ， ，
是等边三角形，
， ，
由折叠的性质可知：MN是线段AD的垂直平分线，
， ，
， ，
，
，
，
，
∽ ，
： ： ：3，
： ：3，
，
， ， ，
，
，
，
，
故答案为 .
【分析】设 ， 由 ∽ ，可得 ： ： ：3，推出 ： ：3，推出 ，推出 ， ， ，再根据 ，构建方程即可解决问题；
20.【答案】
【解析】【解答】∴求 的最小值，即求 的最小值，
∴作B关于AD的对称点 ，连接解：∵四边形 是平行四边形，且∠
∴∠ ，
连接 ，如图，
∵
∴
∴ 且∠
∴△
∴
∴
∴
， 交AD于M，此时 与 的交点为点E，这时 最小
∴ 的最小值
∵∠
∴∠ ，∠
∴
∴
∴
∴
∴ 的最小值
即 的最小值
故答案为：
【分析】连接 ，可得 且∠ ，证明△ ，得出结论 ，从而可得求 的最小值，即求 的最小值 ，求出 的最小值 即可.
21.【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴
∴F是BC的中点
∵BD是三角形ABC的中线；
∴点N为三角形ABC的重心，
∴ ，
设FN=k，则AN=2k，AF=3k
过点B作BG//AF交AE的延长线于G,
∴△BGE∽△FAE，
∴
∴BG=1.5k，
∵BG//AF
∴△BGM∽△NAM，
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】根据已知 得出F是BC的中点，再结合已知得出点N为三角形ABC的重心，再根据重心的性质以及相似三角形的性质即可得出结论
22.【答案】 9
【解析】【解答】解：连接FC，交EG于点O，过点D作DM//FC，交EG于点M，如图所示，
∵
∴
∵DM//FC，
∴△DEM∽△FEO，
∴ ，
∵DM//FC，
∴△DMN∽△CON，
∴ ,
∵四边形ECGF是平行四边形，
∴CO=FO，
∴
∴ ,
∴ ,
过点C作CH⊥AB于点H，
在Rt△CBH，∠B=60︒，BC=8，
∴CH=BCsin60︒=4 ，
根据题意得，EG必过点N，当EN⊥CD时，EG最小，此时四边形EHCN是矩形，
∴EN=CH=4 ，
∴EO= ,
∴EG=2EO=9 .
故答案为：9 .
【分析】连接FC，作DM//FC，得△DEM∽△FEO，△DMN∽△CON，进一步得出DM= ，EO= ，过C作CH⊥AB于H，可求出CH= ，根据题意，EG必过点N，当EN⊥CD时，EG最小，此时四边形EHCN是矩形，故可得EN=CH= ，代入EO= 求出EO即可得到结论.
23.【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点C作 于点M，过点E作 于点N，
∵ ， ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
在 与 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ∽ ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，
，
在 中， ，
∴ ， ，
在 中，
，
在 中，
，
∵ ，
∴ ∽ ，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】过点C作CM⊥DE于点M，过点E作EN⊥AC于点N，先证△BCD∽△ACE，求出AE的长及∠CAE=60°，推出∠DAE=90°，在Rt△DAE中利用勾股定理求出DE的长，进一步求出CD的长，分别在Rt△DCM和Rt△AEN中，求出MC和NE的长，再证△MFC∽△NFE，利用相似三角形对应边的比相等即可求出CF与EF的比值．
24.【答案】 2
【解析】【解答】解：过Q作QE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2 ，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝4 ，BC＝ AC＝6，
∵∠AFC＝90°，∠A＝60°，
∴∠ACF＝30°，
∴AF＝ ，CF＝3，
设PF＝x，BQ＝y，
∴QE＝ BQ＝ y，BE＝ y，
∴PE＝3 ﹣ y﹣x，
∵PQ⊥PC，
∴∠PEQ＝∠CFP＝∠CPQ＝90°，
∴∠EQP+∠EPQ＝∠EPQ+∠CPF＝90°，
∴∠PQE＝∠CPF，
∴△PEQ∽△CFP，
∴ ，
∴
∴x2+（ y﹣3 ）x+ ＝0，
∵方程有实数解，
∴△≥0，
∴（ y﹣3 ）2﹣6y≥0，
整理得，y2﹣20y+36≥0，
解得y≤2或y≥18（舍弃），
∴BQ≤2，
∴BQ的最大值为2．
故答案为2．
【分析】过Q作QE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，利用相似三角形的性质根据一元二次方程，利用根的判别式解决问题即可．
25.【答案】 或 或3
【解析】【解答】解：①如图1中，当点H在线段AC上，点G在AC的延长线上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD⊥AB，CD＝DA＝DB，
∴∠ACD＝∠DCB＝45°，∠DCG＝135°，
∵∠EDF＝∠EDM＝45°，DG＝DM，
∴∠ADC＝∠MDG，
∴∠ADM＝∠CDG，
∴△ADM≌△CDG（SAS），
∴∠DAM＝∠DCG＝135°，
∵∠CAB＝45°，
∴∠CAM＝90°，
∴MH＝GH＝ ＝ ＝5k，
∵∠GDH＝∠GAD＝45°，∠DGH＝∠AGD，
∴△DGH∽△AGD，
∴ ＝ ，
∴DG2＝GH•GA＝40k2 ，
∵AC＝BC＝6 ，∠ACB＝90°，
∴AB＝ AC＝12，
∴AD＝CD＝6，
∵DJ⊥AC，
∴AJ＝JC＝3 ，DJ＝AJ＝IC＝3 ，
∴GJ＝8K﹣3 ，
在Rt△DJG中，∵DG2＝DJ2+GJ2 ，
∴40k2＝（8k﹣3 ）2+（3 ）2 ，
解得k＝ 或 （舍弃），
∴AH＝3k＝ ．
②如图2中，当点H在线段AC上，点G在上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．
同法可得：40k2＝（8k﹣3 ）2+（3 ）2 ，
解得k＝ （舍弃）或 ，
∴AH＝3k＝ ．
③如图3中，当点H在线段CA的延长线上，点G在线段AC上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．
同法可得：10k2＝（3 ﹣2k）2+（3 ）2 ，
解得k＝ 或﹣3 （舍弃），
∴AH＝3k＝3 ，
综上所述，满足条件的AH的值为 或 或3 ．
故答案为 或 或3 ．
【分析】分三种情形：①如图1中，当点H在线段AC上，点G在AC的延长线上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．②如图2中，当点H在线段AC上，点G在上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．③如图3中，当点H在线段CA的延长线上，点G在线段AC上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．首先证明AM⊥AC，利用相似三角形的性质以及勾股定理构建方程解决问题即可．
26.【答案】
【解析】【解答】解：如图，作FH⊥PE于H.
∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，
∴AC＝5 ，∠ACD＝∠FCH＝45°，
∵∠FHC＝90°，CF＝2，
∴CH＝HF＝ ，
∵CE＝4AE，
∴EC＝4 ，AE＝ ，
∴EH＝5 ，
在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（5 ）2+（ ）2＝52，
∵∠GEF＝∠GCF＝90°，
∴E，G，F，C四点共圆，
∴∠EFG＝∠ECG＝45°，
∴∠ECF＝∠EFP＝135°，
∵∠CEF＝∠FEP，
∴△CEF∽△FEP，
∴ ，
∴EF2＝EC•EP，
∴EP＝
故答案为： 。

【分析】如图，作FH⊥PE于H，根据正方形的性质及勾股定理得出AC＝5 ，∠ACD＝∠FCH＝45°，根据等腰直角三角形的性质得出CH＝HF＝ ，进而得出CE,AE,EH的长，在Rt△EFH中，利用勾股定理算出EF的长；根据确定圆的条件得出E，G，F，C四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等得出∠EFG＝∠ECG＝45°，然后判断出△CEF∽△FEP，根据相似三角形对应边成比例得出 ， 根据比例式即可求出EP的长。
27.【答案】
【解析】【解答】解：过点H作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，
∴∠BAD＝∠BMN＝90°，∠D＝∠MNC＝90°，
∴四边形ADNM是矩形，
∴AM＝DN，MN＝AD＝2，
∵将△ADE沿AE折叠至△AHE，
∴AH＝AD＝2，∠AHE＝90°，HE＝DE＝1，
∴∠AHM＋∠EHN＝90°，且∠MAH＋∠AHM＝90°，
∴∠MAH＝∠EHN，且∠AMH＝∠ENH＝90°，
∴△AMH∽△HNE，
∴ ，
∴ ，
∴MH＝2NE，HN＝ ，
∵MH＋HN＝MN＝2，
∴2NE＋ ＝2，
∴NE＝ ，
∴MH＝ ，HN＝ ，AM＝ ，
∴BM＝ ，
∴BH＝ ，
∵AB∥CD，
∴ ，
∴NG＝ ，HG＝ ，
∴BG＝ ，EG＝ ，
∵AB∥CD，
∴ ，即
∴FG＝ ，
故答案为： ．
【分析】过点H作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，通过证明△AMH∽△HNE，可得 ，进而得出MH＝2EN，HN＝ ，可求NE的长，即可求BM，MH，HN的长，由平行线分线段成比例可得HG，GN，EG的长，再次利用平行线分线段成比例可得FG的长．
28.【答案】
【解析】【解答】感知：∵∠APD=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∵∠B=90°，
∴∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠DPC，
∵AB∥CD，∠B=90°，
∴∠C=∠B=90°，
∴△ABP∽△DCP.
探究：∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠CPD，
∴∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD.
∵∠B=∠APD，
∴∠BAP=∠CPD.
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD，
拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE，
∴ ，
∵点P是边BC的中点，
∴BP=CP=3 ，
∵CE=4，
∴ ，
∴BD= ，
∵∠B=∠C=45°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=90°，
即AC⊥AB且AC=AB=6，
∴AD=AB﹣BD=6﹣ = ，AE=AC﹣CE=6﹣4=2，
在Rt△ADE中，DE= .
故答案是： .
【分析】感知：由同角的余角相等可得∠BAP=∠DPC，由平行线的性质可得∠C=∠B=90°，根据两个角对应相等的两个三角形相似可得△ABP∽△PCD；
探究：由角的构成易证∠BAP=∠CPD，结合已知根据两个角对应相等的两个三角形相似可得△ABP∽△PCD；
拓展：同理可证△BDP∽△CPE，可得比例式 ， 可求得BD的值，易得∠A=180°﹣∠B﹣∠C=90°，根据AD=AB﹣BD可求得AD的值，根据AE=AC﹣CE可求得AE的值，在Rt△ADE中，用勾股定理可求得DE的长.
三、解答题
29.【答案】 （1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB．
（2）解：∵E为AB的中点，∴CE= AB=AE，∴∠EAC=∠ECA；∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE=AF：CF；
∵CE= AB=3，AD=4，∴ = = ，∴ =
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义证明∠DAC=∠CAB，从而得出△ADC∽△ACB；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及等量代换证明∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；进而得到△AFD∽△CFE，，根据相似三角形的性质得出AD：CE=AF：CF；进而得出答案。
30.【答案】 （1）证明：∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACB，
∵D是边BC的中点，DE⊥BC
∴DE是BC的中垂线
∴BE=CE
∴∠B＝∠ECB，
∴△ABC∽△FCD；
（2）解：∵△ABC∽△FCD，
∴ ，
∵D是BC边的中点，
∴BC＝2CD，
∴AD＝AC＝2FD，
∵∠ACD＝∠ADC，∠B＝∠FCD，
∴∠EAD＝∠ACE，
∴△EAF∽△ECA，
∴ ，
∴EC＝2EA＝4EF，
∴ ＝3．
【解析】【分析】（1）由AD＝AC，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知交相等，利用两对对应角相等的三角形相似即可得出证明；
（2）由相似三角形的性质得出 ， 由D是BC边的中点，得出BC＝2CD，得出AD＝AC＝2FD，由于∠ACD＝∠ADC，∠B＝∠FCD，推出∠EAD＝∠ACE，得出△EAF∽△ECA，根据相似三角形的性质得出 ， 即可得出结论。

31.【答案】 （1）解：∵∠AMB+∠AMD+∠DMC=180°，∠B+∠AMB+∠BAM= 180°，∠B＝∠AMD
∴∠BAM=∠DMC
∵∠B＝∠C
∴△ABM∽△MCD
（2）解：∵M是BC的中点
∴BM=CM=
∵∠DMB+∠DME+∠EMC=180°，∠B+∠DMB+∠BDM= 180°，∠B＝∠DME
∴∠BDM=∠EMC
∵∠B＝∠C
∴△BDM∽△CME
∴
∴
∵∠B＝∠C＝45°
∴∠A=180°－∠B－∠C=90°
∴由勾股定理得：AB=AC=
∴AD=AB-BD= ，AE=AC-CE=8-6=2
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
【解析】【分析】（1）利用已知条件可证得∠B＝∠AMD，再利用有两组对应角分别相等的三角形相似，可证得结论.
（2）利用线段中点的定义求出BM的长，再证明∠BDM=∠EMC，利用有两组对应角分别相等的三角形相似，可证得△BDM∽△CME，利用相似三角形的对应边成比例，可求出BD的长；再利用勾股定理求出AB的长，根据AD=AB-BD，可求出AD的长，然后利用勾股定理求出DE的长.
32.【答案】 解：∵DC∥AB，HG∥AB，
∴△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，
∴ ＝ ， ＝ ，
∵DC＝HG，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，解得： CA＝120（米），
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，解得： AB＝62（米）.
答：大雁塔的高度AB为62米.
【解析】【分析】易证△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，然后根据相似三角形的对应边成比例及等量代换可得 ＝ ，由此可得关于AC的方程，解方程即可求出AC，再根据相似三角形的性质求解即可.
33.【答案】 （1）证明：∵四边形 是正方形，
．
又 ，
．
（2）解：①证明；由（1）得 ，
．
．
为等腰直角三角形．
又 ，
点H为 的中点．
．
同理，由 是 斜边上的中线得，
．
．
②∵四边形 是正方形，
．
又 ，
．
．
又 为等腰直角三角形，
．
．
四边形 是正方形，
．
．
．
．
．
又∵在等腰直角三角形 中，
．
．
【解析】【分析】（1）由 ， ， 即可求解；
（2）①由（1）得 ， 得出 为等腰直角三角形，则点H式EF的中点，故 ． 进而求解；②证明 ， 则 ， 即 ， 进而求解。

34.【答案】 （1）证明：如图一中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵BE＝DF，
∴AE＝CF，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF．
（2）证明：作BM∥EF交CD于M．
∵BE∥FM，EF∥BM，
∴四边形EFMB是平行四边形，
∴BE＝FM＝DF，
∵AK⊥EF，EF∥BM，
∴AK⊥BM，
∴∠MBC+∠ABM＝90°，∠ABM+∠BAK＝90°，
∴∠BAK＝∠MBC，
∵AB＝BC，∠ABK＝∠BCM＝90°，
∴△ABK≌△BCM（ASA），
∴BK＝CM，
∵BC＝CD，
∴CK＝DM＝2DF
（3）解：连接并延长CH交AB于P，延长HF至L，使FL=HK，连接LC，

∵∠KHF=∠BCD=90°，
∴∠HKC+∠CFH=180°，
∵∠CFL+∠CFH=180°，
∴∠CFL=∠HKC,
∵EK∥AC，
∴ ＝ ，
∵BA＝BC，
∴BK＝BE＝DF，
∴KC＝CF，
∴△CKH≌△CFL，
∴∠HCK=∠FCL,HC=CL，
∵∠HCK+∠DCH=90°，
∴∠FCL +∠DCH=90°，即∠LCH=90°，
∵ ，
∴CH=6，
∵CK＝2DF＝2BE，
∴CK＝2BK，
∴ ＝ ＝ ，
∵△AOE≌△COF，
∴OA＝OC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∵OE＝OF，
∵ ＝ ，
∵PE∥CF，
∴ ＝ ＝ ，
设PE＝a，则CF＝4a，DF＝BE＝2a，AB＝CD＝BC＝6a，
∴BP＝3a＝PA，
∵ ＝ ＝ ，CH＝6，
∴PH＝ ，
在Rt△BCP中，9a2+36a2＝ ，
∴a2＝ ，
∵a＞0，
∴a＝ ，
∴EK＝ BE＝2 a＝ ．
【解析】【分析】（1）先求出 ∠EAO＝∠FCO， 再利用AAS证明 △AOE≌△COF 最后求解即可；
（2）先求出 ∠BAK＝∠MBC， 再利用ASA证明 △ABK≌△BCM ，最后证明求解即可；
（3）根据题意求出 ∠CFL=∠HKC，再利用全等三角形的判定与性质，最后利用勾股定理计算求解即可。
35.【答案】 （1）证明：如图所示，过点P作PF⊥BC交BC于F
在直角三角形PFB中，
∴BF=PF，
∴
即BF=PF=1=EC
又∵BF+EF+EC=BC=5
∴EF=BC-BF-EC=3
∴FE=CD
∴△PFE≌△ECD
∴PE=DE
（2）解：如图所示，作D点关于BC的对称点 ，连接 ，当 、 、 三点共线且与BD垂直时即为最小值
在矩形ABCD中，∠BCD=90°，在 中，∠
∴△BCD∽
∴
∴
又∵ ，
∴
由对称性可知
∴
∴ 的最小值为
（3）解：如图所示，将三角形BPC顺时针旋转90°得到新三角形 ，然后过点 作 ⊥AD交AD于N，连接 Q交BC于M
由旋转的性质可知， ， ，∠ =∠ =90°
∴
∴
故当Q、P、 、 四点共线， 有最小值
∵∠ =90°
∴A、B、 三点共线，
∴在直角三角形 中，
∴
∵点 为 的中点
∴
∴
∴ 的最小值为
【解析】【分析】(1)过点P作PF⊥BC交BC于F，根据等腰直角三角形的性质求得PF=1，则可得出PF=EC，再利用线段间的关系求出EF=CD，然后利用HL证明△PFE≌OECD即可得证；
(2)作D点关于BC的对称点D' , 连接ED’, 当P'、E'、D' 三点共线且与BD垂直时有最小值，先证明 △BCD∽ ，根据相似的性质求出D'P'，然后由对称的性质即可得出答案；
(3)将△BPC顺时针旋转90°得到△BP'C' , 然后得到PQ +PB+ PC=PQ+PP'+P'C'，推出当点Q、P、P'、C'四点共线时此时有最小值，然后利用勾股定理求出C'Q，即可求出结果.


36.【答案】 （1）证明：如图1，

由 折叠得到，
，
.
又 四边形ABCD是正方形，
，
，
，
又 正方形
，
（2）解：如图，连接 ，
由（1）得 ，
，
由折叠得 ， ，
.
四边形 是正方形，
，
，
又 ，
，
.
， ，
， .
，
，
（ 舍去）
（3）解：如图，连结HE，
由已知 可设 ， ，可令 ，
①当点H在D点左边时，如图，

同（2）可得， ，
，
由折叠得 ，
，
又 ，
，
，
又 ，
，
，
，
，
，
.
，
，
，
（ 舍去）.
②当点 在 点右边时，如图，
同理得 ， ，
同理可得 ，
可得 ， ，
，
，
（ 舍去）.
【解析】【分析】（1）利用折叠的性质可证得BE⊥CF，利用正方形的性质可得到BC=CD，∠D=∠BCE，利用余角的性质可得到∠BEC=∠CGD；然后利用AAS可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可求出DG的长，利用折叠的性质可得到BC=BF，CE=EF=9；再证明∠HFG=∠HGF，利用等角对等边可证得HF=HG，结合已知条件可求出HD，HF的长；再利用勾股定理建立关于DE的方程，解方程求出DE的长.
（3）连结HE， 设DH=4m，HG=5m， ，①当点H在D点左边时，同理可证得HF=HG，可得到DG=9，利用折叠的性质及余角的性质可推出∠BEC=∠CGD，利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△CDG∽△BCE，利用相似三角形的性质，可表示出CE的长，即可得到DE的长；然后利用勾股定理，可求出x的值，即可得到DE与EC的比值；②当点 在 点右边时，如图，同理可证得△CDG∽△BCE，利用相似三角形的性质，可表示出CE的长，即可得到DE的长；然后利用勾股定理，可求出x的值，即可得到DE与EC的比值.
37.【答案】 （1）解：①如图1中，设 .
∵四边形 是矩形，
∴
由翻折的性质可知，
∴ ，
∴
∴
∵
∴
∴ .
②过点N作NG⊥BF于点G，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设AN＝x，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，
∴AN＝NG＝x，AB＝BG＝2x，
设FG＝y，则AF＝2y，
∵AB2+AF2＝BF2 ，
∴ ，
解得 .
∴ .
∴
（2）解：①如图3﹣1中，过点M作MK⊥AD于K，MH⊥BA交BA的延长线于H，交CD的延长线于G.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠BAD＝∠ABD＝∠ADC＝90°，AB＝CD＝5，AD＝BC＝8，
∵MH⊥AB，MK⊥AD，
∴∠H＝∠HAK＝∠AKM＝90°，
∴四边形AKMH是矩形，
∴AH＝MK，
∵BM平分∠ABF，
∴∠MBH＝∠MBF，
∵∠H＝∠AFM＝90°，BM＝BM，
∴△BMH≌△BMF（AAS），
∴BH＝BF，
∵BF＝BC＝8，
∴BH＝BC＝8，
∴MK＝AH＝BH﹣AB＝8﹣5＝3，
∴M到AD的距离为3.
②如图3﹣2中，当点E与D重合时，
∵△BMH≌△BMF，
∴MH＝MF，
设MH＝MF＝m，
∵四边形AHGD是矩形，
∴AH＝DG＝3，GH＝AD＝8，∠G＝90°，
∵CD＝DF＝5，GM＝GH﹣HM＝8﹣m，
在Rt△DGM中，则有 ，
解得m＝ ，
∴GM＝8﹣ ＝ ，
观察图象可知，当E从C到D的过程中，点M运动的路径是线段MG，
∴点M的运动的路径的长为
【解析】【分析】（1）①设DF＝m，解直角三角形求出AB，AD（用m表示即可）再求比值即可求解；
②过点N作NG⊥BF于点G，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△NFG∽△BFA，得比例式 ， 设AN＝x，易得AN＝NG＝x，AB＝BG＝2x，设FG＝y，则AF＝2y，利用勾股定理可得关于x、y之间的关系式，整理得y＝x，由线段的构成BF=BG+GF可将BF用含x的代数式表示，再求比值即可；
（2）①如图，过点M作MK⊥AD于K，MH⊥BA交BA的延长线于H，交CD的延长线于G．用角角边易证△BMH≌△BMF，则BH＝BF，根据MK＝AH＝BH﹣AB可求解；
②如图，当点E与D重合时，求出MG的长，可求解