2021-2022学年北师大版九年级上册数学期末复习卷（word版 含答案）

这是一份2021-2022学年北师大版九年级上册数学期末复习卷（word版 含答案），共18页。试卷主要包含了下列说法正确的个数有，已知等内容，欢迎下载使用。
期末数学复习卷
一．选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sinA的值为（　　）

A． B． C． D．
2．平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点P（0，4）与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定
3．在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2+4x﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣6） B．（1，﹣4） C．（1，﹣6） D．（﹣3，﹣4）
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝40°，则∠D的度数为（　　）

A．70° B．120° C．140° D．110°
5．为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．下列说法正确的个数有（　　）
①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；②在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等；
③等弧所对的圆心角相等；④过三点可以画一个圆；
⑤圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑥三角形的外心到三角形的三边距离相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝2x2+8x+m上的点，则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
8．一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角为40°，则梯子底端到墙角的距离为（　　）
A．5cos40°米 B．5sin40°米 C．米 D．米
9．如图，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）

A．0＜x＜2 B．x＜0或x＞2 C．x＜0或x＞4 D．0＜x＜4
10．如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A﹣B﹣C匀速运动，到点C停止运动．点P运动时，线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（　　）

A．10 B．12 C．20 D．24
二．填空题
11．若是二次函数，则m＝　 　．
12．如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y＝﹣3x2，②y＝﹣，③y＝﹣x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是　 　（填序号）

13．AB、AC是⊙O的弦，M、N分别是AB、AC的中点，若∠BAC＝40°，则∠MON的度数为　 　．
14．一名职业篮球球员某次投篮训练结果记录如图所示，由此可估计这名球员投篮800次，投中的次数约为 　 　次．

15．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝，则⊙O的半径是 　 　．

16．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知方程ax2+bx+c＝0的解是　 　，　 　．

17．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC的值为 　 　．

18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①abc＜0；②4a+c＜2b；③m（am+b）+b＞a（m≠﹣1）；④方程ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x2＜1，x1＞﹣3，其中正确结论的是　 　．

三．解答题
19．求下列各式的值：
（1）1﹣2sin30°cos30°；（2）3tan30°﹣tan45°+2sin60°；（3）（cos230°+sin230°）×tan60°．




20．某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心（不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹）．


21．如图，⊙O的两条弦AB，CD交于点E，OE平分∠BED．
（1）求证：AB＝CD．
（2）若∠BED＝60°，EO＝2，求BE﹣AE的值．





22．为落实德州市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开展了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．全校共有100名学生选择了A课程，为了解选A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试．将他们的成绩（百分制）绘制成频数分布直方图．
（1）其中70≤x＜80这一组的数据为74，73，72，75，76，76，79，则这组数据的中位数是 　 　，众数是 　 　．
（2）根据题中信息，估计该校共有 　 　人，选A课程学生成绩在80≤x＜90的有 　 　人．
（3）课程D在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为 　 　．
（4）如果学校规定每名学生要选两门不同的课程，小张和小王在选课程中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选课程A或B的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说明．






23．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的点，过点D作DE∥AB，交AC于点E，过点E作EF∥BC，交AB于点F，经过点D、E、F的⊙O与AB、BC的另一个公共点分别为G、H，连接EG、EH、GH．
（1）求证：△EGH∽△ABC；
（2）若AB＝15，BC＝10，
①当BG＝2时，求DH的长；
②若ED恰为⊙O的直径，则BD的长为　 　．

24．如图，直线y＝3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．

25．某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高BC＝80m，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．若在此处建桥，求河宽EF的长．（结果精确到1m）
[参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60]



26．2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示．
销售单价x（元）
30
40
45
销售数量y（件）
100
80
70
（1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？
（3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
27．如图，⊙O的半径为4，点E在⊙O上，OE⊥弦AB，垂足为D，OD＝2．
（1）求AB的长；
（2）若点C为⊙O上一点（不与点A，B重合），直接写出∠ACB的度数．

28．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（1，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P在过A，B，C三点的抛物线上，是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当0＜PD＜2时，请直接写出点P横坐标的取值范围．


参考答案
一．选择题
1．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得，AB＝＝5，
∴sinA＝＝，
故选：D．
2．【解答】解：由题意可作图，如下图所示：

∵d＝4＜5，∴点P在⊙O内．故A正确，B、C、D错误，
故选：A．
3． 【解答】解：函数y＝2x2+4x﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象
y＝2（x﹣2）2+4（x﹣2）﹣3﹣1，即y＝2（x﹣1）2﹣6，顶点坐标是（1，﹣6），
故选：C．
4．【解答】解：∵BC＝CD，∴＝，∵∠DAB＝40°，∴∠BAC＝∠DAB＝20°，
∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＝180°﹣∠B＝110°，
故选：D．
5．【解答】解：画树状图如图：

共有12种等可能的结果，恰好抽到2名女学生的结果有6种，
∴恰好抽到2名女学生的概率为＝，
故选：B．


6．【解答】解：①平分弦（非直径）的直径，平分这条弦所对的弧，故不符合题意；
②在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的优弧和劣弧分别相等，故不符合题意；
③等弧所对的圆心角相等，故符合题意；
④过不在同一条直线上的三点可以画一个圆，故不符合题意；
⑤圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故不符合题意；
⑥三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，故不符合题意．
故选：A．
7．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，∴（﹣1，y1）关于对称轴的对称点为（﹣3，y1）
∵a＝2＞0，∴x＜﹣2时，y随x的增大而减小，∵﹣4＜﹣3＜﹣2，∴y2＜y1＜y3．
故选：D．
8．【解答】解：在Rt△ABC中，cosA＝，则梯子底端到墙角的距离AC＝AB•cosA＝5cos40°，
故选：A．

9．【解答】解：联立，解得，，
∴两函数图象交点坐标为（0，0），（2，4），由图可知，y1＜y2时x的取值范围是x＜0或x＞2．
故选：B．
10．【解答】解：根据图象可知，点P在AB上运动时，此时AP不断增大，
由图象可知：点P从A向B运动时，AP的最大值为5，即AB＝5，
点P从B向C运动时，AP的最小值为4，
即BC边上的高为4，
∴当AP⊥BC，AP＝4，
此时，由勾股定理可知：BP＝3，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∴PC＝3，∴BC＝6，
∴△ABC的面积为：×4×6＝12，
故选：B．
二．填空题
11．【解答】解：由题意得：m2﹣2＝2，且m﹣2≠0，解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
12．【解答】解：①y＝﹣3x2，②y＝﹣x2，③y＝﹣x2中，二次项系数a分别为﹣3、﹣、﹣1，
∵|﹣3|＞|﹣1|＞|﹣|，∴抛物线②y＝﹣x2的开口最宽，抛物线①y＝﹣3x2的开口最窄．
故答案为：①③②．
13．【解答】解：连接OM，ON，∵M、N分别是AB和AC的中点，∴OM⊥AB，ON⊥AC，
OM⊥AB，ON⊥AC，当AB，AC在圆心异侧时（如图1），
∵∠BAC＝40°，在四边形AMON中，∴∠MON＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°．
当AB，AC在圆心同侧时（如图2），
∵∠ADM＝∠ODN，∠AMD＝∠OND，∴△ADM∽△ODN，∴∠MON＝∠BAC＝40°．
故答案为：140°或40°．

14．【解答】解：由统计图可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.75附近，
则这名篮球球员投中的概率为0.75，投中的次数约为：800×0.75＝600（次）．
故答案为：600．
15．【解答】解：连接BC，如图，∵CD⊥AB，∴∠AHC＝90°，CH＝DH＝CD＝×4＝2，
在Rt△ACH中，∵∠A＝30°，∴AC＝2CH＝4，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝AC＝×4＝4，∴AB＝2BC＝8，
∴⊙O的半径为4．
故答案为4．

16．【解答】解：由图象可知对称轴x＝2，与x轴的一个交点横坐标是5，它到直线x＝2的距离是3个单位长度，所以另外一个交点横坐标是﹣1．所以x1＝﹣1，x2＝5．
故答案是：x1＝﹣1，x2＝5．
17．【解答】解：如图所示，作AD⊥BC，垂足为D，

由图可得AD＝3，BD＝4，∴AB＝＝5，∴sin∠ABC＝＝，
故答案为：．
18．【解答】解：抛物线开口向上，因此a＞0，对称轴为x＝﹣1＜0，a、b同号，所以b＞0，与y轴交于负半轴，c＜0，所以abc＜0，故①正确；
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，因此②正确；
当x＝﹣1时，y最小＝a﹣b+c，当x＝m（m≠﹣1）时，y＝am2+bm+c，有am2+bm+c＞a﹣b+c，即m（am+b）+b＞a，因此③正确；
由抛物线与x轴的交点为（1，0）（﹣3，0），因此方程ax2+bx+c﹣3＝0
的两根为x1，x2（x1＜x2），则x2＞1，x1＜﹣3，于是④不正确；
综上所述，正确的结论有：①②③，
故答案为：①②③．
三．解答题
19．【解答】解：（1）原式＝1﹣2××＝1﹣；
（2）原式＝3×﹣1+2×＝﹣1+＝2﹣1；
（3）原式＝（+）×＝．
20．【解答】解：在圆上取两个弦，根据垂径定理，
垂直平分弦的直线一定过圆心，
所以作出两弦的垂直平分线即可．



21．【解答】（1）证明：过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图，

∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，∴OM＝ON，∴AB＝CD；
（2）解：∵∠BED＝60°，OE平分∠BED，∴∠BEO＝∠BED＝30°，
∵OM⊥AB，∴∠OME＝90°，∵OE＝2，∴＝1，∴＝＝，
∵OM⊥AB，∴BM＝AM，∴BE﹣AE＝BM+EM﹣（AM﹣EM）＝2EM＝2．
22．【解答】解：（1）把70≤x＜80这组的数据排序为：72，73，74，75，76，76，79，
则这组数据的中位数是75，众数是76，
故答案为：75 76；
（2）估计该校共有：100÷20%＝500（人），
选A课程学生成绩在80≤x＜90的有：100×＝30（人），
故答案为：500，30；
（3）课程D在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为：360°×（1﹣20%﹣35%﹣15%）＝108°，
故答案为：108°；
（4）画树状图如下：

共有9种等可能的结果，小张和小王他俩第二次同时选课程A或B的结果有2种，
∴小张和小王他俩第二次同时选课程A或B的概率为．
23．【解答】（1）证明：∵四边形EFGH是⊙O的内角四边形，∴∠EFA＝∠EHG，
∵∠EGH和∠EDH是同弧所对圆周角，∴∠EGH＝∠EDH，
∵DE∥AB，EF∥BC，∴∠EFA＝∠B，∠EDH＝∠B，∴∠EGH＝∠EHG＝∠B，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠EHG，∠B＝∠EGH，
∴△EGH∽△ABC；
（2）解：AB＝15，BC＝10，
①如图，连接DG，

∵∠CHE+∠BHG+∠EHG＝180°，∠CHE+∠CEH+∠C＝180°，
∴∠CEH＝∠BHG，在△CEH和△BHG中，∠CEH＝∠BNG，∠C＝∠B，
∴△CEH∽△BHG，∴＝，
由（1）知：＝＝＝，∴＝，∵BG＝2，∴CH＝3，
∵四边形EFGH是⊙O的内角四边形，∴∠GDB＝∠GEH，
∵∠EHG＝∠B，∴△EHG∽△DBG，∴＝，∴＝＝，
∵BG＝2，∴BD＝3，∴DH＝BC﹣BD﹣CH＝10﹣3﹣3＝4．
答：DH的长为4；
②如图，设ED与GH交于点M，

∵EG＝EH，ED恰为⊙O的直径，∴DE⊥GH，∴MH＝MG，DH＝DG，∴＝，∴＝，
∴＝3，∵DE∥AB，DE⊥HG，∴HG⊥AB，∴sin∠GHD＝sin∠GED＝＝，∴＝，
∵＝，∴设BG＝2a，则CH＝3a，BH＝6a，∴BC＝CH+BH＝9a，
∵BC＝10，∴a＝，∴BH＝，∵DG＝DH，∴∠DHG＝∠DGH，
∵∠DHG+∠B＝90°，∠DGH+∠DGB＝90°，∴∠B＝∠DGB，∴DG＝DB，
∴DH＝DG＝BD＝BH＝．∴BD的长为．
故答案为：．
24．【解答】解：（1）对于直线y＝3x+3，
令x＝0，求出y＝3，令y＝0，求出x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（0，3），
又C（3，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），
将B（0，3）代入上式得：3＝﹣3a，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（ x﹣3）＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴是直线x＝1；顶点坐标是（1，4）．
25．【解答】解：在Rt△BCE中，BC＝80m，∠BEC＝∠DBE＝45°，∴∠CBE＝45°，
∴∠BEC＝∠CBE＝45°，∴CE＝BC＝80m．
在Rt△BCF中，BC＝80m，∠BFC＝∠DBF＝31°，tan∠BFC＝，∴．
∴CF≈133.3．∴EF＝CF﹣CE＝133.3﹣80＝53.3≈53（m）．
答：河宽EF的长约为53m．
26．【解答】解：（1）设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝kx+b，
将点（3，100）、（40，80）代入一次函数关系式得：，解得：．
∴函数关系式为y＝﹣2x+160；
（2）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＝800，整理得：x2﹣110x+2800＝0，
解得：x1＝40，x2＝70．∵单价不低于成本价，且不高于50元销售，∴x2＝70不符合题意，舍去．
∴销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元；
（3）由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，抛物线开口向下，∴当x＜55时，w随x的增大而增大，
∵30≤x≤50，∴当x＝50时，w有最大值，此时w＝﹣2（50﹣55）2+1250＝1200．
∴销售单价定为50元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大，最大利润是1200元．
27．【解答】解：（1）连接OA，∵弦AB⊥OE，∴AD＝BD＝AB，∠ODA＝90°，∴AD2+OD2＝OA2
∴AD2＝42﹣（2）2＝4，∴AD＝2，∴AB＝4；
（2）分两种情况讨论：
情况一，在优弧上，连接OA，OB，如图1，
∵OD＝2，OA＝4，∴cos∠AOD＝＝＝，
∴∠AOD＝30°，∴∠AOB＝60°，∴，
情况二，在劣弧上，∠ACB＝180°﹣30°＝150°，综上所述，∠ACB＝30°或150°．
28．【解答】解：（1）∵点点B的坐标为（1，0），且OA＝OC＝4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上，
∴OB＝1，OA＝OC＝4OB＝4，∴点C的坐标为（0，4），点A的坐标为（﹣4，0），
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，，解得，
即抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）存在，
第一种情况，当以点C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC交抛物线于点P1，过点P1作y轴的垂线，垂足为M，

∵∠ACP1＝90°，∴∠MCP1+∠ACO＝90°，∵∠ACO+∠OAC＝90°，∴∠MCP1＝∠OAC，
∵OA＝OC，∴∠MCP1＝∠OAC＝45°，∴∠MCP1＝∠MP1C，∴MC＝MP1，
设点P1（m，﹣m2﹣3m+4），则﹣m+4＝﹣m2﹣3m+4，解得，m1＝0（舍去），m2＝﹣2，
∴当m＝﹣2时，﹣m2﹣3m+4＝6，∴点P1（﹣2，6）；
第二种情况，
当点A为直角顶点时，过点A作AP2⊥AC交抛物线于点P2，交y轴于点F，作P2N⊥y轴于点N，


∴P2N∥x轴，∵∠CAO＝45°，∴∠FP2N＝∠FAO＝45°，∴∠P2FN＝45°，
∴∠AFO＝45°，P2N＝NF，∴OF＝OA，
设P2（n，﹣n2﹣3n+4），则n+4＝﹣（﹣n2﹣3n+4），解得，n1＝﹣4（舍去），n2＝2，
∴当n＝2时，﹣n2﹣3n+4＝﹣6，即P2（2，﹣6），
由上可得，点P的坐标是（2，﹣6）或（﹣2，6）；
（3）∵点A坐标为（﹣4，0）点C坐标为（0，4），∴直线AC的解析式为y＝x+4，
过点P作y轴的平行线交AC于点Q，

设点P坐标为（x．﹣x2﹣3x+4），其中﹣4＜x＜0，则点Q坐标为（x，x+4），
∵点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点，∴PQ＝（﹣x2﹣3x+4）﹣（x+4）＝﹣x2﹣4x，
∴PQ＝﹣（x+2）2+4，即当x＝﹣2时，P点坐标为（﹣2，6），此时PQ的最大值为PQ＝4，
又∵∠CAO＝∠OCA＝45°，PQ∥y轴，∴∠PQD＝∠OCA＝45°，
∴△PQD是等腰直角三角形，∴PQ＝PD，
又∵0＜PD＜2，∴0＜PQ＜4，即：0＜﹣x2﹣4x＜4，
∴当x＝﹣2时，PQ的最大值为PQ＝4，此时PD＝2．
当0＜PD＜2时，点P横坐标的取值范围为：﹣4＜x＜0且x≠﹣2．