人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念图文课件ppt

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1.理解并掌握同角三角函数的基本关系式sin2x+cs2x=1, =tan x.(数学抽象)2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明.(数学运算、逻辑推理)
[激趣诱思]1963年,美国气象学家爱德华·罗伦兹提出一个观点:“一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶,偶尔扇动几下翅膀,可以在两周以后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风.”这就是闻名于世
的“蝴蝶效应”.此效应的本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化,蝴蝶扇动翅膀成为龙卷风的导火索.从这个比喻我们还可以看出,南美洲亚马孙河流域热带雨林中的一只蝴蝶与美国得克萨斯州的一场龙卷风看起来是毫不相干的两种事物,却会有着这样的联系,这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点.看似不相关的事物间都是相互联系的,那么“同一个角”的三角函数间肯定也会存在着密切的关系,本节课我们就来探索这个问题.
知识点:同角三角函数的基本关系1.平方关系(1)公式:sin2α+cs2α=1;(2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.2.商数关系(1)公式: =tan α;(2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.
名师点析 1.基本关系成立的前提是“同角”,它揭示了同角而不同名的三角函数关系,公式中的角可以是具体的数值,也可以是变量,可以是单项式表示的角,也可以是多项式表示的角α是(sin α)2的简写,读作“sin α的平方”,不能将sin2α写成sin α2,前者是α的正弦的平方,后者是α2的正弦,两者是不同的.
微拓展同角三角函数基本关系式的变形1.平方关系sin2α+cs2α=1的变形(1)sin2α=1-cs2α;(2)cs2α=1-sin2α;(3)1=sin2α+cs2α;(4)(sin α+cs α)2=1+2sin αcs α;(5)(sin α-cs α)2=1-2sin αcs α.
微练习(1)sin22 020°+cs22 020°=(　　)A.0B.1C.2 020D.2 020°(2)若sin θ+cs θ=0,则tan θ=　　　　　. 答案 (1)B　(2)-1解析 (1)由平方关系知sin22 020°+cs22 020°=1.(2)由sin θ+cs θ=0得sin θ=-cs θ,
角度1　已知某个三角函数值,求其余三角函数值例1(1)已知sin α= ,求cs α,tan α的值;(2)已知cs α=- ,求sin α,tan α的值.分析已知角的正弦值或余弦值,求其他三角函数值,应先判断三角函数值的符号,然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值,再利用商数关系求该角的正切值.
反思感悟 已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤第一步:由已知三角函数的符号,确定其角终边所在的象限;第二步:依据角的终边所在象限分类讨论;第三步:利用同角三角函数关系及其变形公式,求出其余三角函数值.
角度2　已知tan α,求关于sin α和cs α齐次式的值例2已知tan α=2,则(3)4sin2α-3sin αcs α-5cs2α=　　　　. 分析注意到所求式子都是关于sin α、cs α的分式齐次式(或可化为分式齐次式),将其分子、分母同除以cs α的整数次幂,把所求值的式子用tan α表示,将tan α=2整体代入求其值.
反思感悟 已知tan α,求关于sin α和cs α齐次式的值的基本方法
角度3　利用sin α+cs α,sin α-cs α与sin αcs α之间的关系求值
反思感悟 1.由(sin α+cs α)2=1+2sin αcs α,(sin α-cs α)2=1-2sin αcs α可知如果已知sin α+cs α,sin α-cs α,sin αcs α三个式子中任何一个的值,那么就可以利用平方关系求出其余的两个 θ±cs θ的符号的判定方法
(1)sin θ-cs θ的符号的判定方法:由三角函数的定义知,当θ的终边落在直线y=x上时,sin θ=cs θ,即sin θ-cs θ=0;当θ的终边落在直线y=x的上半平面区域内时,sin θ>cs θ,即sin θ-cs θ>0;当θ的终边落在直线y=x的下半平面区域内时,sin θ(2)sin θ+cs θ的符号的判定方法:由三角函数的定义知,当θ的终边落在直线y=-x上时,sin θ=-cs θ,即sin θ+cs θ=0;当θ的终边落在直线y=-x的上半平面区域内时,sin θ>-cs θ,即sin θ+cs θ>0;当θ的终边落在直线y=-x的下半平面区域内时,sin θ<-cs θ,即sin θ+cs θ<0.如图2所示.
反思感悟 三角函数式的化简过程中常用的方法(1)化切为弦,即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.(2)对于含有根号的,常把根号下式子化成完全平方式,去根号,达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cs2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
角度1　一般恒等式的证明
反思感悟 三角恒等式的证明方法非常多,其主要方法有:(1)从左向右推导或从右向左推导,一般由繁到简;(2)左右归一,即证明左右两边都等于同一个式子;(3)化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除差异;
角度2　给出限制条件的恒等式证明问题例6已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.
反思感悟 含有条件的三角恒等式的证明的基本方法同前面,但应注意条件的利用,常用方法有:①直推法:从条件直推到结论;②代入法:将条件代入到结论中,转化为三角恒等式的证明;③换元法.
一题多解:一道恒等式的多种证明
证法三　只需证明左、右两边都与某个中间结果相等即可,因此可先将它们的分母变为相同.
所以左边=右边,原式成立.
6.求证:2(1-sin α)(1+cs α)=(1-sin α+cs α)2.证明 (方法1)左边=2-2sin α+2cs α-2sin αcs α=1+sin2α+cs2α-2sin αcs α+2(cs α-sin α)=1+2(cs α-sin α)+(cs α-sin α)2=(1-sin α+cs α)2=右边.所以原式成立.(方法2)左边=2-2sin α+2cs α-2sin αcs α,右边=1+sin2α+cs2α-2sin α+2cs α-2sin αcs α=2-2sin α+2cs α-2sin αcs α.故左边=右边.所以原式成立.(方法3)令1-sin α=x,cs α=y,则(x-1)2+y2=1,即x2+y2=2x.故左边=2x(1+y)=2x+2xy=x2+y2+2xy=(x+y)2=右边.所以原式成立.