第五章 第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例-备战2022年新高考数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

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第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例
知识回顾
1．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．
2．平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b.
3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论
符号表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角的余弦
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
课前检测
1．（2020•安徽六安）已知单位向量的夹角为，若向量，且，则 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B【解析】依题意，，故，故，故，解得，故，故，故.
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)
A．4　　　 B．3　　　
C．2　　　 D．0
B　[a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b，∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.]
3．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝(　　)
A．　　　 B．2　　　
C．5　　　 D．50
A　[∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，
∴|a－b|＝＝.]
4．已知矩形ABCD中，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于(　　)
A．20 B．15 C．9 D．6
答案　C
解析　因为ABCD为矩形，建系如图．A(0,0)，M(6,3)，N(4,4)．

则＝(6,3)，＝(2，－1)，
·＝6×2－3×1＝9.
5.（2020全国卷文）若，，且，则与的夹角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相互垂直的向量数量积为零，求出与的夹角.
【详解】由题有，
即，
故，
因为，所以.
故选：B.
6．(多选)在△ABC中，＝c，＝a，＝b，在下列命题中，是真命题的为(　　)
A．若a·b>0，则△ABC为锐角三角形
B．若a·b＝0，则△ABC为直角三角形
C．若a·b＝c·b，则△ABC为等腰三角形
D．若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则△ABC为直角三角形
答案　BCD
解析　①若a·b>0，则∠BCA是钝角，△ABC是钝角三角形，A错误；②若a·b＝0，则⊥，△ABC为直角三角形，B正确；③若a·b＝c·b，b·(a－c)＝0，·(－)＝0，·(＋)＝0，取AC的中点D，则·＝0，所以BA＝BC，即△ABC为等腰三角形，C正确；④若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则a2＝(c－b)2，即b2＋c2－a2＝2b·c，即＝－cos A，由余弦定理可得cos A＝－cos A，即cos A＝0，即A＝，即△ABC为直角三角形，D正确，综上真命题为BCD.
7.设向量a＝(－1,2),b＝(m,1),如果向量a＋2b与2a－b平行,那么a与b的数量积等于________．

a＋2b＝(－1＋2m,4),2a－b＝(－2－m,3),由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0,则m＝－,
所以a·b＝－1×＋2×1＝.
课中讲解
考点一.平面向量的数量积
例1.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.
[解析]　法一：(几何法)因为·＝2·，
所以·－·＝·，
所以·＝·.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，
所以2||＝||·||cos，化简得||＝2.
故·＝·(＋)＝||2＋·＝(2)2＋2×2cos＝12.
法二：(坐标法)

如图，建立平面直角坐标系xAy.
依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n,0)，其中m＞0，n＞0，则由·＝2·，得(n,0)·(m＋2，m)＝2(n,0)·(m，m)，
所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.
故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.
[答案]　12
变式1.（2020宁夏二检）在等腰三角形中，，，点，是边上的两个三等分点，则（ ）
A. 0 B. 3 C. -6 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】
先取中点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，再求出坐标，得到与坐标，进而可求出其数量积.
【详解】如图，取中点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，因为，，则点坐标为，点坐标为，点坐标为，所以，，所以.
故选D

【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，可采用建系的方法求出向量的坐标，进而可求出结果，属于基础题型.
例2.在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为　　

A． B． C． D．0
【答案】C
【解析】由题意，，，
，，且，
又，；
，，

变式2．已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝(　　)
A. B.
C. D．
解析：选A　如图，设＝b，＝c，
则|b|＝|c|＝2，b·c＝|b||c|cos 60°＝2.又＝＋＝－b＋(1－λ)c，＝＋＝－c＋λb，
由·＝－，得[－b＋(1－λ)c]·(－c＋λb)＝(λ－1)|c|2－λ|b|2＋(λ－λ2＋1)b·c＝－，
即4(λ－1)－4λ＋2(λ－λ2＋1)＝－，
整理得4λ2－4λ＋1＝0，即(2λ－1)2＝0，解得λ＝.

例3.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，且∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝1，若点Q满足＝2，则·等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　D
解析　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，

则B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)，
又＝2，∴Q，
∴＝，＝，
∴·＝＋1＝.故选D.
变式3．如图，在平面四边形中，，，，．若点为边上的动点，则的最小值为　　

A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，
以所在的直线为轴，
过点做轴，过点做轴，
，，，，
，，
，
，
，
，
，，，，
设，
，，，，
，
当时，取得最小值为．
故选：．

考点二.与平面向量模有关的问题
例1.(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
2　[方法一　|a＋2b|
＝＝
＝
＝＝2.
方法二　(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，

则|a＋2b|＝||.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.]
变式1.(1)(2020·遵义统考)已知两个单位向量a和b的夹角为120°，k∈R，则|ka＋b|的最小值为(　　)
A. B. C．1 D.
答案　B
解析　|ka＋b|2＝k2a2＋2ka·b＋b2
因为a和b是单位向量，且夹角为120°，
所以|ka＋b|2＝k2a2＋2ka·b＋b2
＝k2|a|2＋2k|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2
＝k2－k＋1
＝2＋≥，
所以|ka＋b|≥，
所以|ka＋b|的最小值为.
(2)(2020·四川双流中学诊断)如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，与的夹角为60°，则||＝________.

答案　
解析　∵M为BC的中点，
∴＝(＋)，
∴||2＝(＋)2
＝(||2＋||2＋2·)
＝(1＋9＋2×1×3cos 60°)＝，
∴||＝.

例2．已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是　　
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】由，得，，
如图，不妨设，
则的终点在以为圆心，以1为半径的圆周上，
又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点的两条射线上．
不妨以为例，则的最小值是到直线的距离减1．
即．
故选：．
考点三.求向量的夹角
例1.　(1)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则a＋2b与b的夹角是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D．
(2)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.
[解析]　(1)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1××cos＝3，所以|a＋2b|＝.
又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1××cos＋2×＝，
所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝，
所以a＋2b与b的夹角为.
(2)因为a＝(1,2)，b＝(4,2)，
所以c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，|a|＝，|b|＝2，
所以a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.
因为c与a的夹角等于c与b的夹角，
所以＝，
所以＝，解得m＝2.
[答案]　(1)A　(2)2
变式1.　(1)(2020·昆明一中检测)已知向量a＝，|b|＝2，且a·b＝1，则a与b的夹角为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案　C
解析　|a|＝＝1，
∴cos〈a，b〉＝＝，
∴a与b的夹角为60°.
(2)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．
答案　
解析　由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
|e1－e2|＝
＝
＝＝2.
同理|e1＋λe2|＝.
所以cos 60°＝
＝
＝＝，
解得λ＝(
例2.已知向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝2，〈a，b〉＝，(c－a)·(c－b)＝
－1，则|c－a|的最大值为________．
答案　＋1
解析　设＝a，＝b，＝c，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，
∵|a|＝4，|b|＝2，a与b的夹角为，
则A(4,0)，B(2,2)，设C(x，y)，
∵(c－a)·(c－b)＝－1，∴x2＋y2－6x－2y＋9＝0，
即(x－3)2＋(y－1)2＝1，∴点C在以(3,1)为圆心，1为半径的圆上，|c－a|表示点A，C的距离，即圆上的点与A(4,0)的距离，∵圆心到A的距离为，
∴|c－a|的最大值为＋1.
.

考点四．平面向量与三角函数
例1.　已知向量a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，cos x)，f (x)＝a·b.
(1)求函数f (x)＝a·b的最小正周期；
(2)在△ABC中，BC＝，sin B＝3sin C，若f (A)＝1，求△ABC的周长．
解　(1)f (x)＝sin xcos x＋cos2x
＝sin 2x＋cos 2x＋，
f (x)＝sin＋，
所以f (x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由题意可得sin＝，
又0