第一章 第三节 不等式与不等关系-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

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第三节 不等关系与不等式
知识回顾
．不等式的性质
为了利用不等式研究不等关系，需要对不等式的性质进行了解：
关于实数a，b大小的比较，有以下事实：
如果是正数，那么；如果等于零，那么；如果是负数，那么．反过来也对．用符号表示为：
可以证明：不等式具有以下性质：
性质
别名
性质内容
注意
性质1
对称性
a>b⇔bb，b>c⇒a>c

性质3
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
可逆
性质4
可乘性
⇒ac>bc
c的
符号
⇒acb＋d
同向
性质6
同向同正可乘性
⇒ac>bd
同向
性质7
可乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n≥2)
同正
性质8
可开方性
a>b>0⇒>(n∈N*，n≥2)

一元二次不等式的解集
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ0)的图象



方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
有两相异实根x1，x2(x10 (a>0)的解集
{x|xx2}

{x|x∈R}
ax2＋bx＋c0)的解集
{x|x1< x0 B．lg(a2＋1)>0 C.>0 D．3a>0
解析：当a＝0时，A、B两项中的不等式不成立；当a0，b>0，则不等式－bb>0，∴0. 故该命题为真命题．
(6)由已知条件，得b－a0，∴>0，∴abb，∴a>0，b1，即>1，
又abba>0，∴aabb>abba，
∴aabb与abba的大小关系为aabb>abba.
思维升华　比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．
变式1　(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为________．
答案　M>N
解析　因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N.
(2)若a>0，且a≠7，则(　　)
A．77aa7aa7
D．77aa与7aa7的大小不确定
答案　C
解析　＝77－aaa－7＝7－a，
则当a>7时，01，∴77aa>7aa7.
综上，77aa>7aa7.
考点二．不等式性质的应用
例1　(1)(2020·武汉部分市级示范高中联考)下列命题中正确的是(　　)
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若a>b，c
C．若a>b，c>d，则a－c>b－d
D．若ab>0，a>b，则
d，则ac>bd
D．若a>b，c>0，则ac>bc
答案　AD
解析　∵a>b，c>d，由不等式的同向可加性得a＋c>b＋d，故A正确；由A正确，可知B不正确；取4>－2，－1>－3，则4×(－1)b，c>0，∴ac>bc.故D正确．综上可知，只有AD正确．故选AD.
(2)已知a，b，c满足ca D.a>c>b
（答案）A
（解析）∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.
又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，
∴b－a＝a2－a＋1＝＋>0，
∴b>a，∴c≥b>a.

变式3. 若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是(　　)
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
（答案）C
（解析）方法一　因为＜＜0，故可取a＝－1，b＝－2.
显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.
方法二　由＜＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有＜，即①正确；
②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；
③中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，
所以a－＞b－，故③正确；
④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误.由以上分析，知①③正确.
考点三 一元二次不等式
例1. （2020·山东省实验高一月考）不等式的解集为，则能使不等式成立的的集合为（ ）.
A． B． C． D．
（答案）BC
（解析）因为不等式的解集为，
所以和是方程的两根且，
所以，，所以,,
由，得,
得,因为,所以,所以或,
所以不等式的解集为或,故选:BC.
变式1. （辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019-2020学年高二上学期期末）关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_______．
（答案）
（解析）
由于不等式的解集是，所以且，故.所求不等式可化为，即，解得.
例2.（河北省鸡泽一中2017-2018学年高二下学期第一次月考）在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x都成立，则(　　)
A. B. 0＜a＜2 C. －1＜a＜1 D. [来源:Zxxk.Com]
（答案）A
（解析）由已知，得，
即，
令，只需，
又，由，
所以，即，
解得，故选A．
变式2. （安徽蚌埠二中2019届模拟）若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值是(　　)
A.0 B.－2 C.－ D.－3
（答案）C
（解析）由于x∈，若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，
则a≥－，x∈时恒成立，
令g(x)＝x＋，x∈，
易知g(x)在上是减函数，则y＝－g(x)在上是增函数.
∴y＝－g(x)的最大值是－＝－.
因此a≥－，则a的最小值为－.
变式3. （福建泉州五中2019届模拟）若对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围。
（解析）由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
所以
解得x＜1或x＞3.
故x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)．

变式4. （江苏扬州中学2019届质检）对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4d，则ac>bd
D．若a>b，c>d，则>
答案　A
解析　若a>b，则a＋c>b＋c，故B错；设a＝3，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac|b|得，当b≥0时，a>b，当b－b，综上可知，当a>|b|时，则a>b成立，故选B.
3．若a